2020-2021学年山西省太原师范学院附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)

学试卷（10月份）

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致．

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．

3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A．3x2+﹣1＝0

B．5x2﹣6y﹣3＝0

C．ax2+bx+c＝0

D．3x2﹣2x﹣1＝0

2．下列说法正确的是（ ） A．矩形对角线相互垂直平分

B．对角线相等的菱形是正方形 C．两邻边相等的四边形是菱形

D．一条对角线分别平分对角的四边形是平行四边形

3．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ） A．﹣1

B．﹣

C．0

D．1

4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ） A．16

B．24

C．16或24

D．48

5．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8，∠BOC＝120°，则BC的长为（ ）

A． B．4 C． D．8

6．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下

列四个判断中，不正确的是（ ）

A．四边形AEDF是平行四边形

B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

7．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（ ）

A．5000﹣150x＝4704 C．5000﹣150x﹣x2＝4704

B．5000﹣150x+x2＝4704 D．5000﹣150x+x2＝4704

8．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（ ）

A．20° B．30° C．40° D．50°

9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（ ）

A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4

10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（ ） ①△FPD是等腰直角三角形； ②AP＝EF＝PC； ③AD＝PD； ④∠PFE＝∠BAP．

A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④

二、填空题（每题3分，共18分）

11．方程3x（2x+1）＝2x+1解为 ．

12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝ ．

13．有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片，它们的背面完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，放回卡片洗匀，再随机抽取一张，

以其正面的数字作为b的值，记点A为（a，b）．在平面直角坐标系中，若O（0，0），B（0，2），则点A，B，O可以构成直角三角形的概率是 ． 14．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 ．

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是 ．

16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．

三、解答题（本题共7小题，共52分） 17．解方程： （1）x2﹣25＝0； （2）x2﹣3x＝2（3﹣x）； （3）2x2+3x﹣1＝0．

18．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．求这个增长率．

19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

20．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：

小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： ． 小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： ． （2）请写出一种完整的解答过程．

21．2020年，新型冠状病毒席卷全球，疫情当前，全国上下砥砺同行．某中学校指导中心为引导未成年人以健康心理、阳光心态抗击疫情，积极开展了心理援助工作，并推出有奖征稿活动．活动结束后，该指导中心对参赛学生的获奖情况进行统计，共回收40份征文，其中一等奖获奖率10%，二等奖获奖率20%，三等奖获奖率25%．

若获得“一等奖”的学生中有来自七年级，来自九年级，其余来自八年级，学校决定从获得“一等奖”的学生中任选2名作为代表在线上分享心灵战“疫”小锦囊，请用列表或画树状图的方法求所选2名学生中恰好是1名七年级和1名九年级学生的概率． 22．阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．

（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；

（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

23．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F．

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）求菱形的边长并直接写出折痕EF的长；

（3）如图2，将“矩形ABCD”改为“平行四边形ABCD，且∠ABC＝60°”，其他条件不变，请直接写出折痕EF的长．

参

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A．3x2+﹣1＝0

B．5x2﹣6y﹣3＝0

C．ax2+bx+c＝0

D．3x2﹣2x﹣1＝0

【分析】利用与一元二次方程定义进行分析即可．

解：A、含有分式，3x2+﹣1＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、含有2个未知数，5x2﹣6y﹣3＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、3x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D．

2．下列说法正确的是（ ） A．矩形对角线相互垂直平分

B．对角线相等的菱形是正方形 C．两邻边相等的四边形是菱形

D．一条对角线分别平分对角的四边形是平行四边形

【分析】根据矩形的性质可得A错误；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形可得B正确；

解：A．矩形的对角线相等，故A说法错误； B．对角线相等的菱形是正方形，正确；

C．两组邻边分别相等的四边形是菱形，故C说法错误；

D．一条对角线分别平分对角的四边形不一定是平行四边形，故D说法错误； 故选：B．

3．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ） A．﹣1

B．﹣

C．0

D．1

【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．

解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，

∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0， 解得：故选：A．

4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ） A．16

B．24

C．16或24

D．48

，

【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长． 解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣10x+24＝0，

因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 解得：x＝4或x＝6， 分两种情况：

①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝6时，6+6＞8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24． 故选：B．

5．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8，∠BOC＝120°，则BC的长为（ ）

A． B．4 C． D．8

【分析】根据矩形的性质即可求出答案． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC，

∵∠BOC＝120°， ∴∠ACB＝30°， ∴

，

，

由勾股定理可知：故选：C．

6．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（ ）

A．四边形AEDF是平行四边形

B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．

解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确． B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．

C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠FAD，∵∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．

D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误． 故选：D．

7．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（ ）

A．5000﹣150x＝4704 C．5000﹣150x﹣x2＝4704

B．5000﹣150x+x2＝4704 D．5000﹣150x+x2＝4704

【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：依题意，得：100×50﹣（100+50）x+x2＝4704， 即5000﹣150x+x2＝4704． 故选：B．

8．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（ ）

A．20° B．30° C．40° D．50°

【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE＝OB＝OD，根据菱形性质可得∠DBE＝∠ABC＝70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED＝90°﹣∠OEB即可． 解：∵四边形ABCD是菱形，

∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝70°． ∵DE⊥BC，

∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD， ∴∠OEB＝∠OBE＝70°． ∴∠OED＝90°﹣70°＝20°． 故选：A．

9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在

运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（ ）

A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4

【分析】当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据△BPQ的面积为8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值． 解：当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 故选：B．

10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（ ） ①△FPD是等腰直角三角形； ②AP＝EF＝PC； ③AD＝PD； ④∠PFE＝∠BAP．

A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④

【分析】用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形，从而判定②正确；

直接用正方形的性质和垂直得出①正确， 利用全等三角形和矩形的性质得出④正确，

由点P是正方形对角线上任意一点，说明AD和PD不一定相等，得出③错误． 解：∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点， ∴PA＝PC，∠BCD＝90°，

∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD， ∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠C＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴PC＝EF，

∴PA＝EF，故②正确，

∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°， ∵∠PFC＝∠BCD＝90°， ∴PF∥BC，

∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∵∠DFP＝90°，

∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确， 在△PAB和△PCB中，

，

∴△PAB≌△PCB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP，

在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP， ∴∠PFE＝∠BAP．故④正确，

∵点P是正方形对角线BD上任意一点， ∴AD不一定等于PD，

只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误， 故选：C．

二、填空题（每题3分，共18分）

11．方程3x（2x+1）＝2x+1解为 x1＝﹣，x2＝ ．

【分析】先变形得到3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程． 解：3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣1）＝0， 2x+1＝0或3x﹣1＝0， 所以x1＝﹣，x2＝． 故答案为x1＝﹣，x2＝．

12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝ 30° ．

【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，求出OB＝OC，OB＝OA，根据矩形性质和已知求出∠BAE＝∠DAE＝45°，求出∠OBC＝∠OCB＝30°，求出△AOB是等边三角形，推出AB＝OB＝BE，求出∠OEB＝75°，最后减去∠AEB的度数，即可求出答案． 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OB＝OC，OB＝OA， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠AEB＝45°， ∵∠1＝15°，

∴∠OCB＝∠AEB﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠AOB＝30°+30°＝60°， ∵OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝OB，

∵∠BAE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴∠OEB＝∠EOB，

∵∠OBE＝30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO＝180°， ∴∠OEB＝75°， ∵∠AEB＝45°，

∴∠2＝∠OEB﹣∠AEB＝30°， 故答案为：30°．

13．有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片，它们的背面完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，放回卡片洗匀，再随机抽取一张，以其正面的数字作为b的值，记点A为（a，b）．在平面直角坐标系中，若O（0，0），B（0，2），则点A，B，O可以构成直角三角形的概率是

．

【分析】通过列表展示所有9种等可能情况，找到使点A，B，O可以构成直角三角形的结果数，根据概率公式求解可得． 解：列表如下：

1 2 3

1 （1，1） （2，1） （3，1）

2 （1，2） （2，2） （3，2）

3 （1，3） （2，3） （3，3）

由表可知，共有9种等可能结果，其中点A，B，O可以构成直角三角形的有4种结果，则点A，B，O可以构成直角三角形的概率是． 故答案为：．

14．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那

么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 3，0 ．

【分析】方法一：根据方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，进行转化，即可得到c的值，然后即可得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根；方法二：根据平移的特点，由方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，可以得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根．

解：方法一：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1， ∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0， ∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣， ∴﹣2+c+1+c＝0， 解得，c＝0.5， ∴（﹣2+0.5）2＝﹣， ∴

＝，

∵a（x+c﹣2）2+b＝0， ∴（x+0.5﹣2）2＝， 解得，x1＝3，x2＝0， 故答案为：3，0．

方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1， ∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3， 故答案为：3，0．

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是 （

） ．

【分析】延长BA交y轴与D，过B作BE⊥x轴，垂足E，则∠ADO＝∠CEB＝90°，结合菱形的性质证明△AOD≌△CBE可得AD＝CE，再由A点坐标可求解BE，OE的长，进而可求解B点坐标．

解：延长BA交y轴与D，过B作BE⊥x轴，垂足E，则∠ADO＝∠CEB＝90°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AO＝AB＝BC＝OC，AB∥OC，AO∥BC， ∴∠DAO∠ABC＝∠ECB， ∴△AOD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE， ∵A（1，2），

∴CE＝AD＝1，BE＝DO＝2， ∴OA＝∴OC＝∴OE＝∴B（故答案为（

， ， ）．

）．

，

16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是

．

【分析】根据正方形的性质求出AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM＝4，FM＝2，∠AMF＝90°，根据正方形性质求出∠ACF ＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH＝AF，根据勾股定理求出AF即可．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3， ∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°， 延长AD交EF于M，连接AC、CF，

则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°， ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形， ∴∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵H为AF的中点， ∴CH＝AF，

在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝∴CH＝

，

．

＝

＝2

，

故答案为：

三、解答题（本题共7小题，共52分） 17．解方程： （1）x2﹣25＝0； （2）x2﹣3x＝2（3﹣x）； （3）2x2+3x﹣1＝0．

【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用公式法解出方程． 解：（1）x2﹣25＝0， x2＝25， 即x＝±5， x1＝﹣5，x2＝5；

（2）x2﹣3x＝2（3﹣x）， x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x+2）＝0，

则x﹣3＝0或x+2＝0， 即x1＝3，x2＝﹣2； （3）2x2+3x﹣1＝0， a＝2，b＝3，c＝﹣1，

Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， 则x＝

＝

，

x1＝，x2＝．

18．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．求这个增长率．

【分析】设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解． 解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x， 根据题意，得2（1+x）2＝2.42， 解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．

答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．

19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝于是得到结论．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，

∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°，

∴平行四边形OEFG是矩形；

（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB＝AD＝10， ∴∠AOD＝90°， ∵E是AD的中点， ∴OE＝AE＝AD＝5；

由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴FG＝OE＝5， ∵AE＝5，EF＝4， ∴AF＝

＝3，

＝3，

∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．

20．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：

小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： （1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000 ．

小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： （y﹣750）（30+＝12000 ．

（2）请写出一种完整的解答过程．

【分析】（1）根据总利润＝每件皮衣的利润×销售数量，即可得出关于x（y）的一元二次方程；

（2）选择小明（小红）的设法，解方程即可求出结论．

解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件， 依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+依题意，得：（y﹣750）（30+

）＝12000．

）

×10）件，

）

故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+＝12000．

（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000， 整理，得：x2﹣200x+7500＝0， 解得：x1＝50，x2＝150， ∴1100﹣x＝1050或950．

答：每件皮衣定价为1050元或950元． 选择小红的设法，则（y﹣750）（30+整理，得：y2﹣2000y+997500＝0， 解得：y1＝1050，y2＝950．

答：每件皮衣定价为1050元或950元．

）＝12000，

21．2020年，新型冠状病毒席卷全球，疫情当前，全国上下砥砺同行．某中学校指导中心为引导未成年人以健康心理、阳光心态抗击疫情，积极开展了心理援助工作，并推出有奖征稿活动．活动结束后，该指导中心对参赛学生的获奖情况进行统计，共回收40份征文，其中一等奖获奖率10%，二等奖获奖率20%，三等奖获奖率25%．

若获得“一等奖”的学生中有来自七年级，来自九年级，其余来自八年级，学校决定从获得“一等奖”的学生中任选2名作为代表在线上分享心灵战“疫”小锦囊，请用列表或画树状图的方法求所选2名学生中恰好是1名七年级和1名九年级学生的概率． 【分析】先求出获得“一等奖”的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，分别记为A、B、C、D，再画树状图，所有等可能的结果共12种，其中所选的2名学生中恰好是1名是七年级和1名是九年级的结果有4种，然后由概率公式求解即可． 解：∵共回收40份征文，其中一等奖获奖率10%， ∴获得一等奖的学生人数为：40×10%＝4（人），

∵获得“一等奖”的学生中有来自七年级，来自九年级，其余来自八年级， ∴获得“一等奖”的学生中，七年级有1人记为A，八年级有1人记为B，九年级有2人记为C、D， 画树状图如下：

由图可知，所有等可能的结果共12种，其中所选的2名学生中恰好是1名是七年级和1名是九年级的结果有4种，

则P（所选2名学生中恰好是1名七年级和1名九年级学生）＝22．阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．

．

（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ﹣2 ，x3＝ 1 ； （2）拓展：用“转化”思想求方程

＝x的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；

（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；

（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 解：（1）x3+x2﹣2x＝0， x（x2+x﹣2）＝0， x（x+2）（x﹣1）＝0

所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1； 故答案为：﹣2，1； （2）

＝x，

方程的两边平方，得2x+3＝x2 即x2﹣2x﹣3＝0 （x﹣3）（x+1）＝0 ∴x﹣3＝0或x+1＝0 ∴x1＝3，x2＝﹣1， 当x＝﹣1时，

＝

＝1≠﹣1，

所以﹣1不是原方程的解． 所以方程

＝x的解是x＝3；

（3）因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m 设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m 因为BP+CP＝10， BP＝∴∴

+

＝10﹣，CP＝

＝10

+9+x2

两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20整理，得5

＝4x+9

两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0 即（x﹣4）2＝0 所以x＝4．

经检验，x＝4是方程的解． 答：AP的长为4m．

23．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F．

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）求菱形的边长并直接写出折痕EF的长；

（3）如图2，将“矩形ABCD”改为“平行四边形ABCD，且∠ABC＝60°”，其他条件不变，请直接写出折痕EF的长．

【分析】（1）根据折叠的性质得OA＝OC，EF⊥BC，EA＝EC，再利用AD∥AC得到∠FAC＝∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF＝OE，加上OA＝OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；

（2）设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得（8﹣x）2+42＝x2，然后解方程即可得到菱形的边长；先在Rt△ABC中，利用勾股

定理计算出AC＝4OE＝

，则OA＝AC＝2

；

，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出

，所以EF＝2OE＝2

（3）根据题意可证出四边形AECF为菱形，设AE＝CE＝a，则BE＝8﹣a，过点A作AH⊥BC于点H，解直角三角形得出a＝4，则BE＝4＝CE＝AF，结合AF∥BE可判定四边形ABEF为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD折叠，A，C重合，折痕为EF， ∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC， ∵AD∥BC， ∴∠FAC＝∠ECA， 在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OF＝OE， ∵OA＝OC，

∴四边形AECF为平行四边形， ∵AC⊥EF，

∴四边形AECF为菱形；

（2）解：设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x， 在Rt△ABE中，BE2+AB2＝AE2， 即（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， 即菱形的边长为5， 在Rt△ABC中，AC＝∴OA＝AC＝2

，

＝

＝4

，

在Rt△AOE中，AE＝5， OE＝

∴EF＝2OE＝2

＝；

＝

，

（3）解：如图2，

平行四边形ABCD折叠，A，C重合，折痕为EF， ∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝CE， ∵AD∥BC， ∴∠FAC＝∠ECA， 在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OF＝OE， ∵OA＝OC，

∴四边形AECF为平行四边形， ∵AC⊥EF，

∴四边形AECF为菱形， 设AE＝CE＝a，则BE＝8﹣a， 过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△ABH中，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴∠BAH＝30°， ∴BH＝AB＝2， ∴

∴EH＝6﹣a，

在Rt△AHE中，AE2＝AH2+EH2， 即a2＝解得：a＝4， ∴BE＝4＝CE＝AF，

+（6﹣a）2， ，

又AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形， ∴EF＝AB＝4．