用牛顿环测透镜曲率半径的数据处理方法

步超 100104103 机械工程及自动化

摘要：牛顿环实验是大学物理实验中非常重要的实验，以单色平行光投射到牛

顿环装置上， 则由空气膜上下表面反射的光波将互相干涉， 形成的干涉条纹为博 的等厚各点的轨迹， 这种干涉是一种等厚干涉。 处理该实验的测量数据常采用逐 差法，最小二乘法，加权平均以及其它方法。通过介绍用逐差法、线性回归法、 加权平均法处理牛顿环测透镜曲率半径数据的方法和过程。 比较三种实验数据处 理方法的优缺点 ,其中加权平均法既考虑了如何克服实验的系统误差 , 又能按照 处理原则去对待非等精度测量 , 且建立在数理统计理论基础上。该方法主要是比 较相应的权 , 进而求出加权平均值 , 得出加权平均法为牛顿环实验数据处理的最 佳方法，但加权平均法中要计算的数据较多， 公式较多， 较传统的方法要复杂的 多。故 探讨如何简化加权平均法， 利用 Matlab 软件进行处理。

关键字 ：牛顿环实验、加权平均法、非等精度实验数据的处理、干涉条纹 、加 权平均值 英文译文： Buchao 100104103 Mechanical engineering

and automation

Newton rings experiment is university physics experiment is very important experiment, deal with the experiment

The test data of the long through \"gradual deduction method, the least square method, and the weighted average, and other methods. Through the detailed introduction is used by differential method, linear regression method, the weighted average method to deal with Newton ring the lens curvature radius the method and process of data. Compare three kind of experiment data processing and the advantages and disadvantages of the methods, of which the weighted average method takes into account both the how to overcome the experiment system error, and can according to principles of management to treat the measurement precision, and

established in the mathematical statistics theory basis. This method is mainly to compare the corresponding rights, and seek the weighted

average, draw the weighted average method for Newton rings experiment data processing the best method, but the weighted average method to compute the data in the more, the formula is more, more traditional method is more complicated. Discusses how to simplify the weighted average method, use of Matlab software for processing.

Key word: of Newton ring's experiments, weighted average method, the accuracy of experimental data processing, the interference fringes,

weighted average

引言：

牛顿环是牛顿在 1675 年所做的著名实验。牛顿环是等厚干涉的一种，它在 光学计量、 基本物理量测量等方面有广泛的应用： 用牛顿环测定光波的波长、 透 镜曲率半径，用牛顿环来检验磨制透镜的质量等。 处理牛顿环的测量数据常采用逐差法， 最小二乘法， 加权平均以及其它方法， 因 为该实验测量是非等精度的测量， 逐差法可以很好的克服实验的系统误差， 但是 没有按照数据的处理原则去对待非等精度的测量， 该方法虽然被广泛的使用， 但 是处理的结果并不是很理想， 最小二乘法回避了非等精度性的困难， 但是它没有 考虑实验的系统误差， 所以用该方法来处理实验得到的数据也不是很理想的。 基 于以上两中方法的利弊， 本实验可以采用加权平均法来处理实验数据， 它既考虑 了如何消除实验的系统误差， 又按照了数据处理原则来处理非等精度的测量， 因 此它是处理牛顿环实验数据的较为理想的方法。

1 实验原理

牛顿环仪是由待测平凸透镜 L（曲率半径约为 200—700 cm）和磨光的平玻璃板 P叠合装在金属框架 F中构成（如图一） ，框架上有三个螺旋 H，用以调节 L和 P 之间的接触，改变干涉环纹的形状和位置。调节 H时，螺旋不可旋的过紧，以免 接触压力过大引起透镜弹性形变，甚至损坏透镜。

图二测量原理

如图二所示．将曲率半径很大的平凸透镜的凸面放在一光学平面玻璃上，在 透镜和平面之间形成空气膜，以平行单色光垂直照射时，经空气膜层上，下两表 面反射的两束光发生干涉，在空气膜上表面出现一组干涉条纹。干涉条纹是以接 触点 O为圆心的一系列同心圆环，称为牛顿环。

在图中，设 r 为牛顿环某环的半径， e 为与该环对应的空气膜层的厚度。 考虑 到光在空气膜下表面反射的光，是从光疏介质 （空气）入射到光密介质 （ 玻璃） ，有 半波损失，而在空气膜上表面反射的光，是从光密介质入射到光疏介质，无半波 损失。所以在空气膜上、下表面反射的两束反射光的光程差为

2e （1）

2

在直角三角形 AOC中，有

R （R e） r

2

2

2

从而得

r e 2R e

考虑到 e<2

2

r 2R

代入（ 1）式，可得到

2

(2)

R2

根据干涉相长和干涉相消的条件

可得明环半径为

r

(2k 1)R

2

(k 1,2,

)

(3)

暗纹半径为

r kR

(k 0,1,2,

)

(4)

必须指出，由于干涉条一定宽度， 上式中的 是第 K 级牛顿环的条

r 纹有 纹中 心到圆环中心的距离， 根据二光相干时光强分布的理论计算可知， 各级牛

顿环的 条纹宽度并不相同， K 愈小，即距离环中心愈近， 条纹愈粗， 中心为一圆形暗斑。

将（ 4）式加以变换，可得

R rk /k

2

(5)

显然，只要测出第 K级暗纹的半径 r k，由已知波长 λ即可根据上式算出曲率 半径 R。但由于接触压力引起的弹性形变使接触部位不是一个点而是一个小圆 面， 圆环中心为一暗斑，使得中心难以找准，这样，干涉级数 k和第 k级暗纹 半径 rk 都难以测准，另外，接触面镜面上可能有微小灰尘存在，会引起附加光 程差，这会给测量带来系统误差。

设Dm、Dn分别是第 m级和第 n级暗环的直径，由式 （4） 可得到：

22

Dm 4Rm

22

2

2

2

Dn 4Rn

2

R (Dm Dn)/4(m n) (6) R (rm rn)(rm rn) (m n) (7)

不难证明用上面的式子计算曲率半径 R 可消除前面所述因素的影响，而且 即使中心 O未能找准， 测量的 D不是直径而是牛顿环的弦长， 也不产生原理性误 差。

本实验已知钠光波长 λ=5 8 9.3 nm ，测出 Dm和 Dn代入 （6） 式即可求出 R。

2 牛顿环干涉条纹的特点

（1） 干涉图样是以接触点为圆心的一组明、 暗相间的同心圆环，有半波损失时， 中间为一暗斑。

（ 2） 从中心向外，条纹级数越来越高，条纹的间隔越来 越密。

（3）用白光照射将形成彩色光谱，对每一级光谱，红色 的在外圈，紫色的在内圈。

（ 4） 增大透镜与平板玻璃间的距离， 膜的等厚线向中心 收缩，则干涉圆环也向中心收缩（内陷） ，膜厚每改变

/2n2 ，条纹就向外冒出（扩张）或向中心内陷一条。

3 实验数据处理：

定义 [Dk Dk m] 为 m个相邻牛顿换直径平方差的测量精度，由误差传 递

2

2

2

推倒可以得到：

2 2 2 2 2

2

[Dk Dkm] 0.0002 （Dk Dk m）

2

2

2

2

2

2

2

由此可见，当 k取不同的值的时候， [Dk Dk m ]也不同，所以该实验是非等 精度的测量，应该用加权平均法处理该实验的数据，不妨令

Xk Dk Dk m ，由于本实验的 m 20,所以X k Dk Dk 20 ，且 X k相应的权重 为

2

2

2

2

a

ak

2

2

2

1 1 ，

2

[Dk Dk20]

(ak Xk) X k

a

[Xk]

，

所以加权平均值为：

，

k

，

很明显， X1,X2 .... Xn,都是非等精度的测量值，其对应的权值分别为：

a1,a2 .... an ，所以 X k的均方差误差为：

S

X

k

[ak (X k X k)]

(n 1) ak

2

，

由此可见，

(DD

R

22

k2 k2 m

) X k R， 4m 4m

，

S

X

最终的结果

为：

4m RRS

k Sk

R

3.1 加权平均法 :

R3=R3±σ R3=(1 271.1 ±0.2) mm

下面对这三种数据处理方法进行检验 , 选择最优的数据处理方法 , 检验方法较 多,现选择采用 t 分布检验 [9]:

t=x1-x2(n1-1) σ2 1+(n2-1) σ2 2ν (1/n1+1/n2) 式中:n1 和 n2分别为凸透镜球面的上、 下两面的折射率 , 由于凸透镜球面周 围都为空气薄膜 , 故 n1=n2, 则令ν=n1+n2-2=2(n-1), :

t= (-R2)/( σ2R1+σ2R2)

方法 1 与方法 2 比较计算,可得:t1=0.350; 方法 2 与方法 3 比较计算 ,可 得 :t2=0.340 。

若取显著水平 σ=10%,则置信率 p=90%,ν=18, 查 t 分布表可得 [10]t ζ =1.734, 则|t1|=0.354<1.734,|t2|=0.340<1.734 。

若 取 σ = 50 %,则 p=50%, ν =18, 查 表得 t ζ =0.688, 则 |t 1|=0.354<0.688,|t2|=0.340<0.688 。

通过上面分析可以看出三种数据处理方法有如下特点 :

(1) 逐差法主要是围绕如何克服实验的系统误差来进行的 , 是建立在算术计 算的基础上 , 但并不满足非等精度测量实验数据处理的条件 , 而牛顿环

干涉实验 是非等精度测量 , 故逐差法对于牛顿环实验来说并不是一种理想的数据处理方 法。

(2) 线性回归法主要是为了避免非等精度测量的困难 , 但未考虑该次实验中 的系统误差 , 所以线性回归法对于牛顿环实验来说也不是理想的数据处理方法。

(3) 加权平均法既考虑了如何克服实验的系统误差 , 又能按照处理原则去 对待非等精度测量 , 且建立在数理统计理论基础上 , 所以加权平均法是处理牛顿 环实验数据的最佳方法。

3.2 实验数据处理 MATLAB 程序

function DP(D)

L=D(1,:);n=numel(L);

c=0.0002;X=0;m=20,k=2, h=53*power(10,-7);S3=0;S4=0; for i=1:n;

a(i)=D(1,i)-D(2,i); b(i)=D(3,i)-D(4,i); x(i)=a(i)^2-b(i)^2; y(i)=a(i)^2+b(i)^2; p(i)=1/(c*y(i)); end

for i=1:n;

X=X+(p(i)*x(i))/sum(p(:)); end

for i=i:n;

S3=S3+p(i)*(x(i)-X)^2; S4=S4+p(i); end

S1=(S3/(S4*(n-1)))^0.5; R=X/(4*m*h*1000), S=k*S1/(4*m*h*1000),

3.3 数据处理举例

环的级数( k) 45 44 43 左环的位置 /mm 38.353 38.271 38.176 右环的位置 /mm 22.206 22.383 22.531 25 24 23 环的级数( k-m) 左环的位置 /mm 36.321 36.256 36.142 右环的位置 /mm 24.1 24.406 24.529 表 1：用牛顿环测量透镜的曲率半径实验数据

42 38.075 22.4 22 36.014 24.656 41 37.994 22.732 21 35.885 24.781 40 37.901 22.834 20 35.785 24.912 应用上述 MATLAB 程序处理该实验数据得到的结果为：

m = 20 k = 2 R = 2.3502 S = 0.0381

其中 m为该实验所采用的级差， k 为不确定度的扩展系数， R为侧得的

透镜 的曲率半径的平均值， S 为不确定度。 所以该透镜的曲率半径为：

R R S 2.350 0.038 （单位： m） （扩展系数为：k 2）

3.4 程序的使用效果 该程序使用起来比较简单，做完实验后只需要将实

验数据按表 1 的形式填 入到表格中，然后将表格中的数据直接导入到 MATLAB 中，运行程序就可以 了，方便且易行。

结束语：

本文对牛顿环实验数据加权平均法进行分析。 逐差法在牛顿环干涉实验中是一 种常用的实验处理方法 , 其原理简单且便于理解 , 对它的实验原理不用再做过多 的叙述, 但由于逐差法不满足非等精度测量实验数据的条件 ,而牛顿环干涉实验 就是一种非等精度测量 , 故该方法对于牛顿环干涉实验并不是一种理想的实验处 理方法; 线性回归法先利用数值插值法对实验数据进行处理 ,再利用最小二乘法 将实验数据拟合成一条直线函数 , 最后用Matlab 软件计算出线性拟合系数 B及相 关系数r, 进而算出凸透镜的曲率半径 R和测量的相对不确定度 ; 加权平均值法主 要是比较相应的权 ,进而求出加权平均值 , 利用Matlab软件处理较为方便 , 在优化 模型中应用较广。 经过分析与讨论可知应用加权平均值法为牛顿环实验数据处理 的最佳方法。

参考文献：

《大学物理实验》 姚安居 吴庆州 编 中国矿业大学出版社 《光学——新概念物理教程》——赵凯华主编 高等教育出版社 《 MATLAB基础应用简明教程》

张平 主编 北京航空航天大学出版社