高一物理圆周运动经典例题

 课 题 圆周运动典型例题 1．掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式； 2．学会应用牛顿第二定律解决圆周运动问题 教 学 目 的 3．掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能 4. 会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 重 难 点 会分析判断临界时的速度或受力特征；应用牛顿第二定律解决圆周运动的动力学问题 教 学 内 容 【基础知识网络总结】 1．变速圆周运动特点： （1）速度大小变化——有切向加速度、速度方向改变——有向心加速度． 故合加速度不一定指向圆心． （2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心． 2．处理圆周运动动力学问题般步骤 （1）确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图 （2）标出已知量和需求的物理量 （3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合 （4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解． 3．火车转弯问题 由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力． 铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则： (1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度vP． (2)若火车实际速度大于vP，则外轨将受到侧向压力． (3)若火车实际速度小于vP，则内轨将受到侧向压力．

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4．“水流星”问题 绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。 (1)杯子在最高点的最小速度vmin＝(gL)1/2 (2)当杯子在最高点速度为v1>vmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v2vmin时，水对杯底的压力为多大? 5.斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度a＝gtanα的问题 a．斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度a＝gtanα 因为F2＝FNcosα＝mg F1＝FNsinα＝ma 所以a＝gtanα b．火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和α的关系仍为a＝gtanα，再用tanα＝h/L,a＝v2/R解决问题． c．加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有a＝gtanα的关系． 6.典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动 这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。 1．如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能向下，mv2如绳拉球。这种情况下有FmgRmg即vgR，否则不能通过最高点。 ①临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v=Rg．②小球能通过最高点的条件是在最高点v>Rg．③小球不能通过最高点的条件是在最高点v2

2．弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：mgFmv2Rmg,vgR，否则车将离开桥面，做平抛运动。 3．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当vgR时物体受到的弹力必然是向下的；当vgR时物体受到的弹力必然是向上的；当vgR时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。 【重难点例题启发与方法总结】 1、如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ22=45°，g=10m/s．求： （1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A、B两绳始终张紧？ （2）当ω=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？ [解析]（1）当B绳恰好拉直，但TB=0时，细杆的转动角速度为ω1， 有： TAcos30°=mg T020Asin30m1LAsin30 解得：ω1=2．4 rad/s 当A绳恰好拉直，但TA=0时，细杆的转动角速度为ω2， 有：T0Bcos45mg T0m20Bsin452LAsin30 解得：ω2=3.15（rad/s） 要使两绳都拉紧2.4 rad/s≤ω≤3.15 rad/s （2）当ω=3 rad/s时，两绳都紧． TAsin30TBsin45m2LAsin30 TAcos30TBcos45mg TA=0.27 N， TB=1.09 N

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2、如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°.在距转动中心0.1 m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为 A.8 rad/s B.2 rad/s C.124rad/s D.60rad/s 〖解析〗木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则 μmgcos37°－mgsin37°=mω2r ω=g（cos37sin37）r =10（0.80.80.6）0.1 rad/s=2 rad/s 所以，选项B正确. 3、如图所示，在倾角为α=300的光滑斜面上，有一根长为L=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆周运动，试计算： （1）小球通过最高点A的最小速度；（2）小球通过最高点的最小速度。 （3）若细绳的抗断拉力为Fmax=10N，小球在最低点B的最大速度是多少？ 〖解析〗（1）小球在最低点时的等效重力为G=mgsinα 小球在最高点A速度最小。 A L O vAmingLgLsin2m/s B α （2）根据动能定理：mgsin2L12122mvB2mvA 图26 当小球在最高点速度最小时，在最低点速度一定最小 解得最低点速度的最小值是vBm25m/s （3）若绳子的抗断拉力为10N，根据牛顿第二定律 Fmgsinmv2R 解得小球在最低点B的最大速度是vBM=6m/s

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4、在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A转动，将杆拉到某位置放开，末端C球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于C球重的2倍．求：（g=10m/s2） （1）C球通过最低点时的线速度； A （2）杆AB段此时受到的拉力． [解析]（1）C球通过最低点时，受力如图且作圆周运动 TAB B F向=TBC-mg mg 2即2mg-mg=mvCTBC=2mg C L mg 得c球通过最低点时的线速度为：vC=gL （2）以最低点B球为研究对象， 其受力如图4-3-9所示，B球圆周运动的F向=TAB-mg-2mg 即T=mv2BL/2，且v1AB-3mgB=2vC 得杆AB段此时受到的拉力为：TAB=3．5mg [点评]此题涉及到两个物体，按常规要分别研究各个物体，分别列出方程，此时还不能求解，必须还要找到两个物体联系的量再列一个方程才能求解，因而，找到两个物体物理量间的联系是解题的关键；本题中两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同是个隐含条件． 5、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 ⑴当v＝1T 6gL 时，求绳对物体的拉力； θ N ⑵当v＝32gL 时，求绳对物体的拉力。 解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为mg 0，则有 mgtcm30m20lsin30(2分) 解得036gl 2（1）当16gl时,有Tsin30Ncos30m0lsin30(2分)Tcos30Nsin30 mg(2分)解得T1336mg1.03mg(2分)

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（2）当32gl0时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则 Tcosmg(2分)Tsinm2lsin30(2分)解得T2mg(2分) 6、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ） A. 球A的线速度必定大于球B的线速度 B. 球A的角速度必定小于球B的角速度 C. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期 D. 球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力 FNAFAGAFNBFBGBα 解析：对小球A、B受力分析，两球的向心力都来源于重力mg和支持力FN的合力，其合成如图4所示，故两球的向心力FAFBmgcot v2比较线速度时，选用Fmr分析得r大，v一定大，A答案正确。 比较角速度时，选用Fm2r分析得r大，一定小，B答案正确。 比较周期时，选用Fm(2T)2r分析得r大，T一定大，C答案不正确。 小球A和B受到的支持力F都等于mgNsin，D答案不正确。

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【重难点关联练习巩固与方法总结】 1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m／s时，车对桥的压力为车重的34 。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ） A、15 m／s B、20 m／s C、25 m／s D、30m／s 2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为mA2kg，离轴心r120cm，B的质量为mB1kg，离轴心r210cm，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求 （1）当圆盘转动的角速度0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g10m/s2） 解析：（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，Fm2r可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r1r2，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。再增大，AB间绳子开始受到拉力。 由FFfm0.5m1gfmm210r2，得： 0mrm5rad/s 1111r（2）达到0后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为1，绳中张力为FT，对A、B受力分析： 对A有FFm2Fm2fm1T11r1 对B有FTfm221r2 联立解得： Ffm1Ffm21mrmr52rads/7.07rads/ 11223、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量m1，B球的质量为m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0，设A球运动到最低点，B球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是＿＿＿＿＿＿。

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4、如图39－3所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则[ABC ] A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力 B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大 C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力 D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力 5、如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是 【 】 A．两物体均沿切线方向滑动 B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动 D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动； 物体B发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远 6、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=gR，物体甲将 A．沿球面下滑至M点 B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动 C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动 D．立即离开半圆球做平抛运动 7、长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为 3kg 的木球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是 ，方向向 。 8、如图所示，木板B托着木块A在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置a运动到最高点b的过程中 ( ) A、B对A的支持力越来越大 B、B对A的支持力越来越小 C、B对A的摩擦力越来越大 D、B对A的摩擦力越来越小

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9、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比T1 ∶T2 为 ( ) A、1∶1 B、2∶1 C、3∶2 D、3∶1 10、如图所示,小球 M 与穿过光滑水平板的小孔 O 的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使 M 在水平板上作半径为 a ，角速度为ω１的匀速圆周运动，求：(1) 此时 M 的速率.(2)若将绳子突然放松一段，小球运动 t 时间后又拉直，此后球绕 O 作半径为 b 的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间 t . 11、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都是v0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足的关系。 B A

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【课后强化巩固练习与方法总结】 1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( ) A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损 B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损 C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损 D.以上三种说法都是错误的 2、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 （） 3、如图所示，光滑的水平圆盘中心O处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A和B，两球质量相等，圆盘上的A球做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要使B球保持静止状态，求A球的角速度ω应是多大 O A B

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