大兴区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． “方程

+

=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的（ ）条件． B．充要

C．充分不必要

A．必要不充分 2． 在区域A．0

D．不充分不必要

22

内任意取一点P（x，y），则x+y＜1的概率是（ ）

B． C． D．

3． 设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5 4． 已知双曲线A．

B．

﹣ C．

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．

的值等于126，则判断框中的①可以是（ ）

5． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的

A．i＞4？ B．i＞5？ C．i＞6？ D．i＞7？

6． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A．xR,xx2

B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x02x010 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数

D．已知m，n表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且m，n，则“”是 “m//n”的必要不充分条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

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27． 设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

8． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．123 B．163 C．203 D．323 9． 四棱锥的棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ） A．96

B．48

C．24

10．下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）

D．0

A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜

11．在复平面内，复数（﹣4+5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

12．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的 值是 ．

14．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

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15．设函数

则

______；若

，

，则

的大小

关系是______．

16．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是 ； ①直线l的倾斜角为α；

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值； ③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交； ④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；

⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

17．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ． 18．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．

三、解答题

19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

非体育迷 体育迷合计

（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 男 女 总计

（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．

2

附：K=

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.0246.635 7.879 10.83

P（K2≥k0）

k0

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20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ABC60，侧面PDC为等边三角形，

o且与底面ABCD垂直，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PADM；

（Ⅱ）求直线PC与平面DCM所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

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已知函数f(x)（1）求数列an的通项公式；

12x1，数列an满足：a12，an1f（nN）. xan1（2）设数列an的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn.

Sn【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.

22．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．

（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记fx）fx）=ax2+bx+c与g=ax2+bx+c•lnx′x0）直线AB的斜率为k若（满足k=f（，则称其为“K函数”．判断函数（（x）是否为“K函数”？并证明你的结论．

23．（本小题满分12分）

数列{bn}满足：bn12bn2，bnan1an，且a12,a24. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前项和Sn.

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24．设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,ca2bsinA． （1）求角B的大小；

（2）若a33，c5，求．

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大兴区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：若方程

+=1表示椭圆，则满足，即

，

即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立， 当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程性不成立． 故“方程故选：C．

+

+

=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要

=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．

2． 【答案】C

分析可得区域

【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），

表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；

=

，

x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为

22

由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x+y＜1的概率是

=

；

故选C．

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【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．

3． 【答案】B

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 4． 【答案】D 【解析】解：双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．

22

根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，

可得，1=，∴ =，

，可得e=

故此双曲线的离心率为：故选D．

． ．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．

5． 【答案】 C

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=0，i=1 S=2，i=2

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不满足条件，S=2+4=6，i=3 不满足条件，S=6+8=14，i=4 不满足条件，S=14+16=30，i=5 不满足条件，S=30+32=62，i=6 不满足条件，S=62+=126，i=7

由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出S的值为126， 故判断框中的①可以是i＞6？ 故选：C．

【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基本知识的考查．

6． 【答案】D

7． 【答案】A

【解析】解：令f（x）=x﹣

3

2

∵f′（x）=3x﹣3

∴f（x）=x﹣

，

ln2＞0，

ln=3x2+在R上单调递增；

又f（1）=1﹣=＞0， f（0）=0﹣1=﹣1＜0，

3

∴f（x）=x﹣

的零点在（0，1），

3x

∵函数y=x与y=（）的图象的交点为（x0，y0），

∴x0所在的区间是（0，1）． 故答案为：A．

8． 【答案】C

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【解析】

考点：三视图． 9． 【答案】 B

【解析】

排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．

【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．

分析得到四棱锥没有公共点的棱分4组，只有2种情况，

（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）

4

那么安全存放的不同方法种数为2A4=48．

故选B．

【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖． 10．【答案】D

【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，

可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收， 名师出高徒也具有相关关系， 吸烟有害健康也具有相关关系， 故选D．

【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．

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11．【答案】B

【解析】解：∵（﹣4+5i）i=﹣5﹣4i， ∴复数（﹣4+5i）i的共轭复数为：﹣5+4i，

∴在复平面内，复数（﹣4+5i）i的共轭复数对应的点的坐标为：（﹣5，4），位于第二象限． 故选：B．

12．【答案】B

3

【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C6=20种， 11

其中恰有两个球同色C3C4=12种，

故恰有两个球同色的概率为P=故选：B． 础题．

=，

【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基

二、填空题

13．【答案】【解析】

34 5考

点：点关于直线对称；直线的点斜式方程. 14．【答案】 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

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考点：几何体的三视图与体积. 15．【答案】，

【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】

，因为

又若所以：

，结合图像知：。

，所以

故答案为：， 16．【答案】 ②③④

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），

22

可以认为是圆（x﹣1）+（y﹣2）=1的切线系，故②正确；

对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，

22

如圆C：（x﹣1）+（y﹣2）=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．

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【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．

17．【答案】 ．

2

【解析】解：∵抛物线C方程为y=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1）， 由

，消去x得

．

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，

2

∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y2=﹣4， 2

消去y2得k=3，解之得k=±

．

故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．

18．【答案】 2：1 ．

【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r， 所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl

所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1

=πrl

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：

非体育迷 体育迷合计

15 10

45 55

男 30 女 45

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75 总计 25 100

=

≈3.030．

2

将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K的观测值为：k=

∵3.030＜3.841，

∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．

a2）“超级体育迷”有5名，（2）由频率分布直方图中可知：从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，，（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中ai（i=1，2，3）表示男性，bj（j=1，2）表示女性．

设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）． ∴P（A）=

．

【点评】本题考查了“性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．

20．【答案】

o【解析】由底面ABCD为菱形且ABC60，∴ABC，ADC是等边三角形， 取DC中点O，有OADC,OPDC，

∴POA为二面角PCDA的平面角， ∴POA90．

o分别以OA,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图， 则A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,1,0),B(3,2,0),C(0,1,0)． …… 3分

3333,1,),∴DM(,2,),2222 3),0),PADM0, PADCPADC(3,0,P∴ PADM …… 6分

（Ⅰ）由M为PB中点，M(（Ⅱ）由DC(0,2,0)，PADC0，∴PADC， ∴ 平面DCM的法向量可取PA(3,0,3), …… 9分 DPC(0,1,3)， 设直线PC与平面DCM所成角为， 则sin|cosPC,PA||zMyBOACPCPA36． |4|PC||PA|626 ．…… 12分 4x即直线PC与平面DCM所成角的正弦值为21．【答案】

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【解析】（1）∵f(x)2x1112，∴an1f()2an. xxan即an1an2，所以数列{an}是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴ana1(n1)d22(n1)2n. （5分） （2）∵数列{an}是等差数列，

(a1an)n(22n)nn(n1)， 221111∴. （8分） Snn(n1)nn11111∴Tn

S1S2S3Sn11111111()()()() 122334nn1n11. （12分） n1n1∴Sn22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数， 则有g′（x）=2ax+b+=

＞0；

2

从而有2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；

2

又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，

故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

22

（Ⅱ）函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”，g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”， 2

事实上，对于二次函数f（x）=ax+bx+c，

k=

又f′（x0）=2ax0+b， 故k=f′（x0）；

=a（x1+x2）+b=2ax0+b；

2

故函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”； 2

对于函数g（x）=ax+bx+c•lnx，

不妨设0＜x1＜x2，则k=

=2ax0+b+；

而g′（x0）=2ax0+b+

；

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故=，化简可得，

=；

设t=，则0＜t＜1，lnt=；

；则s′（t）=

＞0；

设s（t）=lnt﹣则s（t）=lnt﹣故s（t）＜s（1）=0； 则lnt≠

；

是（0，1）上的增函数，

2

故g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”．

【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．

23．【答案】（1）bn2n12；（2）Sn2n2(n2n4)． 【解析】

试题分析：（1）已知递推公式bn12bn2，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得bn，变形形式为bn1x2(bnx)；（2）由（1）可知anan1bn2n2(n2)，这是数列{an}的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由an(anan1)(an1an2)

(a2a1)a1求得．

试题解析：（1）bn12bn2bn122(bn2)，∵又b12a2a124，

bn122，

bn2第 16 页，共 17 页

∴an(222232n)2n22(21)2n22n12n.

21n

4(12n)n(22n)2n2(n2n4). ∴Sn122考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 24．【答案】（1）B【解析】1111]

6；（2）b7．

（2）根据余弦定理，得

b2a2c22accosB2725457，

所以b7. 考点：正弦定理与余弦定理．

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