大兴区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学(1)

一、选择题

1． 记

,那么

+

﹣

A

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ BCD

2． 已知函数f（x）=1+x﹣+…+，则下列结论正确的是（ ） B．f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点 D．f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点

A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点 C．f（x）在（0，1）上恰有两个零点

3． 已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（ ） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，

kx＋b

4． 函数f（x）＝，关于点（－1，2）对称，且f（－2）＝3，则b的值为（ ）

x＋1A．－1 C．2

象限”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6． 下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）

B．1 D．4 ] C．（﹣∞，

] D．（﹣∞，

]

5． 已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四

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7． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

8． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（ ）

A．9.6 B．7.68 C．6.144 D．4.9152

9． 已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，A．

B．

C．﹣ D．﹣

）平行，则λ=（ ）

10．已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PAPB 的最小值为

A、42 B、32 C、422 D、322

11．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（ ） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） 12．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

D．（0，1）

A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B）

二、填空题

13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．

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214．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________.

【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.

22

15．0） 已知一个动圆与圆C：（x+4）+y=100相内切，且过点A（4，，则动圆圆心的轨迹方程 ．

16．复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．

2217．已知直线：3x4ym0（m0）被圆C：xy2x2y60所截的弦长是圆心C到直线的距离的2倍，则m . 18．如图，已知m，n是异面直线，点A，Bm，且AB6；点C，Dn，且CD4.若M，N分 别是AC，BD的中点，MN22，则m与n所成角的余弦值是______________.

【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.

三、解答题

19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2AD旋转一周所成几何体的表面积．

，AD=2，求四边形ABCD绕

20．如图，底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，D为线段B1C1中点． （Ⅰ） 证明：AC1∥平面A1BD；

（Ⅱ） 在棱CC1上是否存在一点E，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．

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21．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且

．

（1）求A； （2）若

22．（本小题满分12分）已知A2,1,B0,2且过点P1,1的直线与线段AB有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.

23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APECPE，点H是线段ED的中 点.

（1）证明：A、E、F、D四点共圆； （2）证明：PFPBPC.

2，求bc的值，并求△ABC的面积．

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24．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． （1）若0＜α＜

，且sinα=

，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

25．已知F1，F2分别是椭圆且|PF1|=4，PF1⊥PF2． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求点P的坐标．

26．（本题满分15分）

22正项数列{an}满足anan3an12an1，a11． *（1）证明：对任意的nN，an2an1；

=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，

（2）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意的nN，2*12n1Sn3．

【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.

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大兴区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】【解析1】

,

所以【解析2】

，

2． 【答案】B

232014

【解析】解：∵f′（x）=1﹣x+x﹣x+…+x

=（1﹣x）（1+x2+…+x2012）+x2014； ∴f′（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立； 故f（x）在（﹣1，0）上是增函数； 又∵f（0）=1，

＜0；

f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣故选B．

故f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点；

【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．

3． 【答案】D

【解析】解：x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立， 所以（x+y）（+）=10+当且仅当

≥10

=16，

；

时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m

]；

故m的取值范围是（﹣故选D．

4． 【答案】

【解析】解析：选B.设点P（m，n）是函数图象上任一点，P关于（－1，2）的对称点为Q（－2－m，4－n），

则，恒成立．

k（－2－m）＋b

4－n＝－1－m

由方程组得4m＋4＝2km＋2k恒成立，

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km＋bn＝

m＋1

∴4＝2k，即k＝2，

2x＋b－4＋b

∴f（x）＝，又f（－2）＝＝3，

x＋1－1∴b＝1，故选B.

5． 【答案】A

【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，

若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．

6． 【答案】D 【解析】

考

点：平面的基本公理与推论． 7． 【答案】C

【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，

3

而在8个点中选3个点的有C8=56，

所以所求概率为故选：C

=

【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

8． 【答案】C

x

【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）， 4

结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）=6.144．

故选：C．

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9． 【答案】C

【解析】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，∴=

=

，

）平行，

∴λ=﹣． 故选：C．

【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．

10．【答案】D.

【解析】设POt，向量PA与PB的夹角为，

PAPBt12，sin21t，

22PAPBt223(t1)，依不等式PAPB的最小值为223.

t11．【答案】C

【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，

0

又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=3+0=1＞0，

cos12sin21222PAPBPAPBcos(t1)(1)(t1)，，22tt∴f（﹣1）f（0）＜0，

可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C．

【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．

12．【答案】A

【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成， ∴对应的集合表示为A∩∁UB． 故选：A．

二、填空题

13．【答案】【

8 9解

析

】

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【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好． 14．【答案】22.

【解析】分析题意得，问题等价于xax64只有一解，即xax20只有一解， ∴a80a22，故填：22. 15．【答案】

+

=1 ．

222复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，

22

∵圆C：（x+4）+y=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，

∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|， ∵圆B经过点A（4，0），

∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10， ∵|AC|=8＜10，

∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆， 设方程为

（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，

+

=1．

222

∴a=5，b=a﹣c=9，得该椭圆的方程为

故答案为： +=1．

16．【答案】

．

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【解析】解：复数z=复数z=故答案为：

=﹣i（1+i）=1﹣i，

．

（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．

17．【答案】9 【解析】

考点：直线与圆的位置关系

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2R2d2，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离. 18．【答案】【

5 12解

析

】

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的 几何体，如右图：

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面= πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1=

=

=

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20．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF， △AB1C1中，D，F分别为A1B，B1C1中点， 所以DF∥AC1．…

因为DF⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD， 所以AC1∥平面A1BD．…

解：（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1… 证明如下：

方法1：△A1BE中，因为A1E=BE，且F为A1B中点，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．… 因为A1B∩AB1=F，A1B，AB1⊂平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1… 又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1… 方法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG． 因为FG∥AA1，且，CE∥AA1，且所以FG∥CE，且FG=CE，

所以，四边形CEFG为平行四边形，所以CG∥EF… 因为AA1⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以CG⊥AA1． 又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面A1ABB1， 所以，CG⊥平面A1ABB1…

因为CG∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1…

又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…

，

【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

21．【答案】

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【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=∴B+C=则A=（2）∵a=2解得：bc=4， 则S△ABC=

bcsinA=

×4×

=

．

， ；

，b+c=4，cosA=﹣

，

，

222222

∴由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA=b+c+bc=（b+c）﹣bc，即12=16﹣bc，

【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

22．【答案】k3或k2. 【解析】

试题分析：根据两点的斜率公式，求得kPA2，kPB3，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.

11122，kPB3 1210所以，由图可知，过点P1,1的直线与线段AB有公共点,

试题解析：由已知，kPA所以直线的斜率的取值范围是:k3或k2.

考点：直线的斜率公式.

23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【

解

析】

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11

11]

试题解析：解：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴BAPC，APDCPE， ∴BAPAPDCCPE，

∵ADEBAPAPD,AEDCCPE ∴ADEAED，即ADE是等腰三角形

又点H是线段ED的中点，∴ AH是线段ED垂直平分线，即AHED

又由APECPE可知PH是线段AF的垂直平分线，∴AF与ED互相垂直且平分， ∴四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆. （5分） （2由割线定理得PAPBPC，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，

2∴PAPF，从而PFPBPC （10分）

2考点：与圆有关的比例线段． 24．【答案】

【解析】解：（1）∵0＜α＜∴cosα=

，

，且sinα=

，

∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣， =

×（

+

）﹣

=．

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． =sinxcosx+cos2x﹣ =sin2x+cos2x =∴T=由2kπ﹣

sin（2x+

=π， ≤2x+

≤2kπ+

，k∈Z，得kπ﹣

，kπ+

≤x≤kπ+

，k∈Z，

），

∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣

]，k∈Z．

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25．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2， 在△PF1F2中，由勾股定理得，

22

即4c=20，解得c=5．

，

∴m=9﹣5=4；

（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，∵

，

，

，

，

∴，解得．

∴P（）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．

26．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

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