大兴区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

大兴区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A．33% B．49% C．62% D．88% 2． 方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（ ） A．关于x轴对称

B．关于y轴对称

C．关于直线y=x轴对称

22

D．关于直线y=﹣x轴对称

223． 若圆心坐标为2,1的圆在直线xy10上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ） A．x2y10 B．x2y14 C．x2y18 D．x2y116

2222x2y24． 已知双曲线C:221(a0,b0)，F1,F2分别在其左、右焦点，点P为双曲线的右支上

abPM所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐 的一点，圆M为三角形PF1F2的内切圆，

近线平行且距离为

2，则双曲线C的离心率是（ ） 22 2A．5 B．2 C．2 D．

5． 四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

6． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

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A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B） 7． ∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（ ）

A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0 C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0

8． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 9． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）

A．A．10

B．4 C． D．2

B．40

C．50 C．

D．80

10．设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是（ ）

11．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．

D．

12．下列函数中哪个与函数y=x相等（ ） A．y=（

2）

B．y=

C．y=

D．y=

二、填空题

x2x,x0,13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数fx{x在其定义域上恰有两

lnx,x0a个零点，则正实数a的值为______．

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14．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n的最小值是 ． 15．已知面积为

的△ABC中，∠A=

若点D为BC边上的一点，且满足

=

，则当AD取最小时，

BD的长为 ．

16．已知直线l的参数方程是

（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到

直线l的距离为4的点个数有 个．

17．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）

18．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

12x(a3)xlnx. 2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

112（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

2e已知函数f(x)

20．（本小题满分12分）111]

在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF//DB. （1）已知ABBC，AFCF，求证：AC平面BEF； （2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证： GH//平面ABC.

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21．已知正项等差{an}，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=（1）求证{bn}为等比数列． （2）若{bn}前3项的和等于

22．已知函数

．

，求{an}的首项a1和公差d．

（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

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23．（本小题满分10分）

x2t,x2y21，直线l:已知曲线C:（为参数）. 49y22t,（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值.

24．已知函数θ∈（0，π），（1）求θ的值；

（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（3）若在上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．

，m∈R．

上为增函数，且

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大兴区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B 【

解

析

】

2． 【答案】A

22222

【解析】解：方程x+2ax+y=0（a≠0）可化为（x+a）+y=a，圆心为（﹣a，0）， 22

∴方程x+2ax+y=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，

故选：A．

【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．

3． 【答案】B 【解析】

考

点：圆的方程.1111] 4． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知1,0到直线bxay0的距离为线，离心率为2.故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．

【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造a,b,c的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中a,b,c与椭圆中a,b,c的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出a,c的值,可得；（2）建立a,b,c的齐次关系式,将用a,c表示,令两边同除以或a化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.

22b2，那么，得ab，则为等轴双曲2222ba第 6 页，共 16 页

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5． 【答案】B

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0）， =（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ， 则cosθ=故选：B．

=

=

．

6． 【答案】A

【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成， ∴对应的集合表示为A∩∁UB． 故选：A．

7． 【答案】C

22

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x﹣2x+3≤

0．

故选：C．

8． 【答案】A 【解析】

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考

点：斜二测画法． 9． 【答案】C

【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥

由图可知，底面两条对角线的长分别为2故底面棱形的面积为侧棱为2故V=

故选C

10．【答案】

【解析】 二项式定理． 【专题】计算题．

，则棱锥的高h=

=2

=2

=3

，2，底面边长为2

C

k

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．

5kk5k

【解答】解：（x+2）的展开式中x的系数为C52﹣ k5k14

当k﹣1时，C52﹣=C52=80， k5k23

当k=2时，C52﹣=C52=80， k5k32

当k=3时，C52﹣=C52=40， k5k4

当k=4时，C52﹣=C5×2=10， k5k5

当k=5时，C52﹣=C5=1，

故展开式中x的系数不可能是50

k

故选项为C 11．【答案】D

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数． 【解析】解：设F2为椭圆的右焦点

由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，

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所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2． 又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a， 所以|PF2|=2a﹣c． 所以2a﹣c=故选D．

．

，所以e=

．

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．

12．【答案】B

【解析】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同． B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数． C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致． D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同． 故选B．

【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．

二、填空题

13．【答案】e

【解析】考查函数fx{x2xx0axlnx，其余条件均不变，则：

当x⩽0时,f（x）=x+2x，单调递增， f（−1）=−1+2−1<0,f（0）=1>0，

由零点存在定理,可得f（x）在（−1,0）有且只有一个零点； 则由题意可得x>0时,f（x）=ax−lnx有且只有一个零点，

lnx有且只有一个实根。 xlnx1lnx,g'x令gx， xx2即有a当x>e时,g′（x）<0,g（x）递减; 当00,g（x）递增。 即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为

1， e如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象

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只有一个交点时,则a1. e回归原问题，则原问题中ae.

点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

14．【答案】 2 ．

【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=loga（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），故2m+n=1．

mn

∴4+2≥2

=2=2．

mn

当且仅当4=2，即2m=n，

即n=，m=时取等号．

mn

∴4+2的最小值为2

．

故答案为：2

15．【答案】

．

【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0）， 则

=（﹣2x，﹣y），

=（x，﹣y）， ，

⇒

=

cos

=9，

=18，

∵△ABC的面积为∴∵

22

∴﹣2x+y=9，

∵AD⊥BC， ∴S=•

•

=

⇒xy=3

，

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由故答案为：

得：x=

．

，

【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．

16．【答案】 2

【解析】解：由

，消去t得：2x﹣y+5=0，

222

由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ=8ρcosθ+6ρsinθ，即x+y=8x+6y，

22

化为标准式得（x﹣4）+（y﹣3）=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．

又圆心到直线l的距离是

故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个， 故答案为：2．

，

【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．

17．【答案】 24

【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得故答案为：24．

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

=48种方法，

因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，

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18．【答案】 2：1 ．

【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r， 所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl

所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1

=πrl

三、解答题

19．【答案】（1）；（2）0a1.1111] 【解析】

则

1f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x1而当x0时，(x)3231，

x∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

则f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立， 这是不可能的. 综上，a1. 的最小值为1. 1

（2）由f(x)(a)x(a2)x2lnx0， 得(a)x(2a)x2lnx，

1x122122第 12 页，共 16 页

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1(1)x22x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxxr(x)即a，令，， r'(x)33x2x2xx得1x2lnx0的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据EF//DB,所以平面BEF就是平面BDEF,连接DF,AC是等腰三角形ABC和ACF的公共底边，点D是AC的中点，所以ACBD,ACDF,即证得AC平面BEF的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC的中点为，连接GI，HI，根据中位线证明平面HGI//平面ABC,即可证明结论.

试题解析：证明：（1）∵EF//DB，∴EF与DB确定平面BDEF.

如图①，连结DF. ∵AFCF，D是AC的中点，∴DFAC.同理可得BDAC. 又BDDFD，BD、DF平面BDEF，∴AC平面BDEF，即AC平面BEF.

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考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.

【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行. 21．【答案】

【解析】（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d． ∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，

2

∴a2=a1a4．

2

即（a1+d）=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．

当d=0时，an=a1，bn=当d=a1时，an=na1，bn=

==

，∴

，∴

=1，∴{bn}为等比数列；

=，∴{bn}为等比数列．

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综上可知{bn}为等比数列． （2）解：当d=0时，S3=当d=a1时，S3=

=

=

，所以a1=

；

，故a1=3=d．

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．

22．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=

．

≥0在[1，+∞）上恒成立．

要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需结合a＞0可知，只需a易知，此时

，x∈[1，+∞）即可．

=1，所以只需a≥1即可．

=0得

．

（2）结合（1），令f′（x）=

当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0； 当

时，

，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上递减，在

上f′（x）＞0，

所以此时f（x）在当

时，

上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；

，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，

．

所以f（x）min=f（e）=

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．

23．【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）由平方关系和曲线C方程写出曲线C的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C的参数方程设曲线上C任意一点P的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P直线的距离，利用正弦函数求出PA，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA的最大值与最小值.

x2cos22525，y2x6；（2），.

55y3sin第 15 页，共 16 页

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试题解析：（1）曲线C的参数方程为x2cos，（为参数），直线的普通方程为y2x6.

y3sin5|4cos3sin6|． 54d25则|PA||5sin()6|，其中为锐角，且tan，当sin()1时，|PA|取

3sin30522525得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为. 55（2）曲线C上任意一点P(2cos,3sin)到的距离为d考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 24．【答案】

【解析】解：（1）∵函数增函数， ∴g′（x）=﹣

+

≥0在，mx﹣

≤0，﹣2lnx﹣

＜0，

上为

∴在上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立． ②当m＞0时，F′（x）=m+

2

∵x∈，∴2e﹣2x≥0，mx+m＞0，

﹣=，

∴F′（x）＞0在恒成立． 故F（x）在上单调递增， F（x） max=F（e）=me﹣只要me﹣

﹣4，

．

，+∞）

﹣4＞0，解得m＞

故m的取值范围是（

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对 数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

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