平面解析几何初步典型例题

1. 直线方程

（一）直线的位置关系

1. 已知集合A(x,y)y3a1，B(x,y)(a21)x(a1)y15，若 x2AB，则a的值为____________________

2．若直线2x(m1)y40与直线mx3y40平行，则m．3 3.已知m{

1，0，1}，n{

1，1}，若随机选取m，n，则直线mxny10恰好不经

过第二象限的概率是．

xy≥3，

1

4．已知实数x，y满足约束条件y≤3，则z5x2y2的最大值为．

2x≤3，



5. 已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2(0k1k2)，设l1,l2的夹角（锐角）为. （1）求证：tank2k1

1k1k2（2）求直线2xy10与直线x3y30的夹角 6. 求函数y7. 求函数yx22x5x24x13的最小值. x24x13x22x5的最小值.

228. 若x2y21，则xy的最大值为_______.

9. 已知直线l过不同的两个点A(cos,sin)，B(0,1)，则直线l的倾斜角的取值围是___________. 0,23, 44（二）直线应用题

MON60，1. 如图所示，有两条道路OM与ON，现要铺设三条下水管道OA，OB，

1 / 11

0

，若下水管道的总长度为3km，设OAa(km)，AB（其中A，B分别在OM，ON上）

OBb(km)．

（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值围； （2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为NBbP3km，到点47km，问下水管道O的距离PO为4AB能否经过污水总管的接口点P？若

能，求出a的值，若不能，请说明理由． O解：建系，检验是否三点共线即可

2. 如图在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，证明：EGDF；

（Ⅱ）设点E关于直线AC的对称点为E，问点E是否在直线DF上，并说明理由．

证明：（Ⅰ）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设AD长度为1，

则可得A(0,0)，D(0,1)，E(1,0)，F(2,0)，C(3,1) ． …………………2分

1所以直线AC方程为yx，①

31直线DF方程为yx1，②…………………4分

262由①②解得交点G(,) ． …………………6分

55aHAM2 / 11

∴EG斜率kEG2，又DF斜率kDF1， 2∴kEGkDF1，即有EGDF． ………………… 8分 （Ⅱ）设点E(x1,y1)，则EE中点M(x11y1,)， 22y11x11,232 由题意得 ………………… 11分

y111,x11343解得E(,)． ………………… 14分

55∵

314()1， 525∴点E在直线DF上． …………………16分 3.如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正向上，

OA = 10 km，OB = 20 km，C在O的北偏西45° 方向上，CO =52km．

（1）求居民区A与C的距离；

（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ<π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）． ① 求w关于θ的函数表达式； ② 求w的最小值与此时tan的值．

EθC北在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠AC∥OB，OA＝4，BOOAC＝90°，AAC＝5，OB＝6．M、N分别是线段AC、线段BC上的动点，当△MON的面积最大且周长最小时，点M的坐标为 _______ .

（第18题） F2. 圆的方程

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1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线3xy60与圆(x3)2(y1)22交于A，B两点，则直线OA与直线OB的倾斜角之和为．

 3xy1,a0,b0,若ab2. 已知x,yR,集合A(x,y)x2y21,B(x,y)AB只有一个元素，则a,b应满足的关系为__________

3. 已知r0，集合M(x,y)xy1,N(x,y)xyr222，若

MNM，则r的最大值为______________；若M2，1 222NN,则r的最小值为

_____________ 4. 已知圆C:(xa)(ya)1(a0)与直线y3x相交于P，Q两点，若

PCQ900，则实数a．

变式1 “PCQ90”改为所求三角形CPQ面积最大，则实数a=_____. 变式2“PCQ90”中90改为60，则实数a=________.

0

0

00变式3“PCQ90”中“=”改为“<”，则实数a的取值围为__________. 5. 一类存在性问题探究

例：（2013年锡常镇徐连一模）若对于给定的正实数k，函数f(x)0k的图像上总存 x在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的 取值围是

9k2解法1：可转化为双向不等式的有解问题，即1x23，解得：0k

2x2解法2：可利用图像研究其充要条件为：2k9，解得：0k9 2原型：（2012年高考题）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直

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线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_____________

6. 已知圆C的接正方形相对的两个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(3,5)． （Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M(2,0)的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程. 解：（Ⅰ）由题意得圆心C(2,2)，……………… 2分 半径RAC10，……………… 4分

所以圆C的方程为(x2)(y2)10．……………… 6分 （Ⅱ）显然直线l不可能垂直x轴，设直线l的方程为yk(x2)，

因为直线l与圆C有且只有一个公共点， 所以圆心到直线的距离d22|2k22k|k1210， ……………… 9分

解得k3或k． ……………… 12分 所以直线l的方程为3xy60或x3y20． ……………… 14分 7. 若圆x2y2m2(m0)与圆x2y26x8y110相交，则实数m的取值围为．（1，11）

8.在直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），则满足PA2PB24且在圆x2y24上的点P的个数为． 2

9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24x8y190关于直线l：x2y50对称的圆C2的方程为．x2y21 10. 已知圆O的方程为x

2

13 y

2

r（r为正的常数），

2

设P（m，n）为平面的一个定点，求证：存在定点Q，

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使得对圆O上的任意一点M，均有

MP为定值． MQ11. 已知x,yR，且xy2y0，求证：xy6x80. 圆构成的区域的包含关系.

x212. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆y21的左、右焦点分别为F 与F，圆F：

42222x32y25．

（1）设M为圆F上一点，满足MF'MF1，求点M的坐标；

（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，

证明：点F到直线QT的距离FH为定值．

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（第17题）

yF 'QOHFxPT

3. 动态问题研究

1. 已知圆M：(x1)(y3)4，过x轴上的点P(a,0)存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标a的取值围为．

222MCmr解：取AB中点C，连接MC、MP，设AB2m则 相减得222MC3mMP22MP28m2r28m24，0mr∴MP28m2436，即(a1)23236

∴133a133

2. 已知A = { (x，y) | x2

yB． MAPoxy2≤4 }，B = { (x，y) | (xa)2 (ya)2≤2a2，a 0 }，

则A∩B表示区域的面积的取值围是___________．（0，2π）

3. 分别在曲线ye与直线yex1上各取一点M与N，则MN的最小值为．

x1e12

专题思考：两条曲线，两个动点问题的研究很不容易；所以研究这类问题我们的想法是能不能先定一个点，只研究一个动点问题；

变式1：（2012年新课标全国理科卷）设点P在曲线y1xe上，点Q在曲线yln(2x)2上，则PQ的最小值为____________ 两函数互为反函数；2(1ln2)

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y2x22y21各取一点M,N，则MN的最小值为_____ 1与圆(x1）变式2：在椭圆

4261

变式3：已知M(x1,y1),N(x2,y2),x1x20是双曲线y为___________. 26

改编自2011年高考题：在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数fx的图象交于P,Q两点，则线段PQ长的最小值为 背景：在双曲线中，两个实轴顶点间的距离为所求最小值

变式4：如果M是函数yf(x)图像上的点，N是函数yg(x)图像上的点，且M,N两 点之间的距离MN能取到最小值d，那么将d称为函数yf(x)与yg(x)之间的距离.

3图像上两点，则MN的最小值x2x按这个定义，函数f(x)x和g(x)x24x3之间的距离是

71 24. 在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a,b)到两直线l1：yx和l2：yx2的距离 之和为22，则a2b2的最大值为．18 解：由题意得：abab24

ab,ab,（1）ab2,此时a2b2的最大值为18；（2）ab2,此时a2b2的最大值为10；

a3.a1.ab,ab,（3）ab2,此时a2b2的最大值为10；（4）ab2,此时a2b2的最大值为18.

b1.b3.5. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y216，点P(1,2)，M，N为圆O上不同的两点，且满足PMPN0．若PQPMPN，则PQ的最小值为．335 8 / 11

妙解：PQ2PR，由题意得PROR16，可得点R所在的轨迹方程为：

22127，可得最小值 (x)2(y1)2246. 已知A = { (x，y) | x2 y2 ≤4 }，B = { (x，y) | (x a)2 (y a)2≤2a2，

a 0 }，则A∩B表示区域的面积的取值围是___________．

7. 已知圆C：x2 y2 1，点P(x0，y0)在直线x y 2 0上，O为坐标原点，

若圆C上存在点Q，使∠OPQ 30，则x0的取值围是．

8. 已知实数a，b，c成等差数列，点P( 1，0)在动直线axbyc0上的射影为M，点N（2，1），则线段MN长的取值围是____________．

9. 过点P(,1)的直线l与圆C:(x1)y4交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为．

122210. 点P为单位圆O外的一点，PA，PB为圆O的两条切线，则PAPB的最小值为．

11. 设m，nR，若直线(m1)x+(n1)y2=0与圆x2+y2=1相切，则m+n的最大值是_________.

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12. 曲线C：y1与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为|x|1圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则“望圆”面积的最小值为．

x2Fx,y的最小值为________．13.设F(x,y)(xy)2()2，对于一切x，y∈R，y≠0，

2y14. 已知集合A{(x,y)|(x3)2(y4)2}，B{(x,y)|2|x3||y4|}，若A45B，则实数的取值围是__________.

变式：（2008浙大自主招生）已知集合A(x,y)(x1)2(y2)24， 5B(x,y)x12y2a，若AB，则实数a的取值围是_______. a2

15.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C:x2y22mx4ym2280， 动直线AB过点P且交圆C于A,B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取 值围为． [323,327)(327,323]

讲评建议：设圆心角为θ，α<=θ<180度，则……，所以α<=90度. 则弦长小于等于4，圆心距大于等于4，又……

22

16. 设t∈R，[t]表示不超过t的最大整数．则在平面直角坐标系xOy中，满足[x]+[y]=13

的点P(x，y)所围成的图形的面积为．8．

解：本题主要考查运用所学知识分析问题与解决问题的能力． 先考察点当x≥0，y≥0的情形．由[x]+[y]=13，得 [x]2,[y]3,[x]3,2x3, 所以，3y4,[y]2.3x4, 2y3.2

2

从而，当x≥0，y≥0时，P(x，y)所围成的图形的面积为2． 其次，由对称性，点P在坐标平面所围成的图形面积为4×2=8．

2

2

2

2

可求解下列变式题：变[x]+[y]=13为[x]+[y]=25，则面积为16．

17. 在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为__________. 4π/5

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[解]以AB为直径的圆过坐标原点，则原点到直线距离即为圆直径的最小值.

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