高考文科数学试题导数

二、函数与导数

（一）选择题

（辽宁文）（11）函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则

f(x)2x4的解集为

（A）（1，1） （B）（1，+） （C）（，1） （D）（，+）

（重庆文）3．曲线yx3x在点（1，2）处的切线方程为

A．y3x1 C．y3x5

B．y3x5 D．y2x

22（重庆文）6．设alog13124,blog1,clog3,则a,b,c的大小关系是 2333B．cba

C．bac

D．bca

A．abc

（重庆文）7．若函数f(x)x

1(n2)在xa处取最小值，则a n2D．4

A．12 B．13 C．3

（辽宁文）（6）若函数f(x)x为奇函数，则a=

(2x1)(xa)（A）

123 （B） （C） （D）1 234（上海文）15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数为〖答〗

A．yx

2B．yx

1C．yx

22D．yx

|x|13（全国新课标文）（3）下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是

3（A）yx （B）y|x|1 （C）yx1 （D）y2x

（全国新课标文）（10）在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为

（A）(,0) （B）(0,) （C）(,) （D）(,)

（全国新课标文）（12）已知函数yf(x)的周期为2，当x[1,1]时f(x)x，那么函

数yf(x)的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有A

（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个

（全国大纲文）10．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1x)，则f()=

214141142132452A．-

1 2B．

14C．

1 4D．

1 2

x（湖北文）3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(则g(x)= x)gx()e，

A．eexx B．

x1x(ee) 2C．

1x(eex) 2D．

x1x(ee) 2（福建文）6．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

是 A．（-1,1） B．（-2,2） C．（-∞，-2）∪（2，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

（福建文）8．已知函数f（x）=

A．-3

B．-1

3。若f（a）+f（1）=0,则实数a的值等于 C．1

2D．3

（福建文）10．若a>0,b>0,且函数f（x）=4xax2bx在x=1处有极值，则ab的最大

值等于

A．2

B．3

xC．6 D．9

（山东文）3.若点（a,9）在函数y3的图象上，则tan=

a的值为 6（A）0 (B)

3 (C) 1 (D) 323 （山东文）4.曲线yx11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15

（山东文）10．函数yx2sinx的图象大致是C 2

（陕西文）4. 函数yx的图像是 （ ）

13

（陕西文）6.方程xcosx在,内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根

1（四川文）4．函数y()x1的图象关于直线y=x对称的图象像大致是

2

（四川文）11．在抛物线yx2ax5(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两

点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x25y236相切，则抛物线顶点的坐标为 （A）(2,9) （B）(0,5) （C）(2,9) （D）(1,6)

（天津文）5．已知alog23.6,blog43.2,clog43.6则

A．abc B．acb C．bac

D．cab

（天津文）8．对实数a和b，定义运算“”：aba,ab1,设函数

b,ab1.f(x)(x22)(x1),xR。若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，

则实数c的取值范围是 （ ）

A．(1,1](2,) C．(,2)(1,2]

（浙江文）（10）设函数fxaxbxca,b,cR，若x1为函数fxe的一个

22B．(2,1](1,2] D．[-2，-1]

极值点，则下列图象不可能为yfx的图象是

（江西文）3.若f(x)1，则f(x)的定义域为( )

log1(2x1)2A.(,0) B.(,) C.(,0)(0,) D.(,2)

（江西文）4.曲线ye在点A（0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.

（湖南文）7．曲线yx121212121 esinx1在点M(,0)处的切线的斜率为（ ）

sinxcosx24A．

2211 B． C． D．

2222（湖南文）8．已知函数f(x)e1,g(x)x4x3,若有f(a)g(b),则b的取值范围为

A．[22,22] B．(22,22) C．[1,3] D．(1,3)

（北京文）（3）如果log1xlog1y0，那么

22x2（A）yx1 (B)xy1 (C)1xy (D)1yx

（北京文）（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x件，

则平均仓储时间为

x天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的8生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

（A）60件 (B)80件 （C）100件 （D）120件

（安徽文）（5）若点（a,b）在ylgx 图像上，a,则下列点也在此图像上的是D

（A）（

，b） a（B）（10a,1b） （C） （

,b+1） a（D）（a2,2b）

（安徽文）（10）函数f(x)ax(1x)在区间〔0,1〕

上的图像如图所示，则n可能是A （A）1 （B）2 （C）3

（D）4

（广东文）4．函数f(x)

n2

1lg(1x)的定义域是 1xA．(,1) B．(1,) C．(1,1)(1,) D．(,)

4．（C）．1x0x1且x1，则f(x)的定义域是(1,1)(1,)

1x0g)(x)（广东文）10．设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f和(fg)(x)：对任意xR，(f下列等式恒成立的是 A．((fg)(x)f(g(x))；(fg)(x)f(x)g(x)，则

　g)　h)(x)((fh)　(gh))(x)

　(gh))(x) h)　

B．((fg)　h)(x)((fC．((fg)h)(x)((f　h))(x) g)　(g　　D．((fg)　(gh))(x) h)(x)((fg)　10．（B）．对A选项 ((f　g)　h)(x)(fg)(x)h(x)f(g(x))h(x)

((fh)　(gh))(x)(fh)((gh)(　x))(fh)((g(x)h(x)) f(g(x)h(x))h(g(x)h(x))，故排除A

对B选项 ((fg)　h)(x)(fg)(h(x))f(h(x))g(h(x))

　((fh)　(gh))(x)(fh)(x)(gh)(x)f(h(x))g(h(x))，故

选B

对C选项 ((fg)h)(x)(fg)(h(x))f(g(h(x)))

((f　h))(x)(fg)((g　h)(x))(fg)(g(h(x))) g)　(g　f(g(g(h(x))))，故排除C

对D选项 ((fg)　h)(x)(fg)(x)h(x)f(x)g(x)h(x)

　故((fg)　(gh))(x)(fg)(x)(gh)(x)f(x)g(x)g(x)h(x)，

排除D

（天津文）8．对实数a和b，定义运算“”：aba,ab1,设函数

b,ab1.f(x)(x22)(x1),xR。若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，

则实数c的取值范围是 （ B ）

A．(1,1](2,) C．(,2)(1,2]

B．(2,1](1,2] D．[-2，-1]

（二）填空题

（辽宁文）（16）已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是____(,2ln22]_______．

（山东文）16.已知函数f（x）=logaxxb(a＞0，且a1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数

*的零点x0(n,n1),nN,则n= . f（x）【答案】5

【解析】方程logaxxb(a＞0，且a1)=0的根为x0,即函数ylogax(2a3)的图象与函数yxb(3b4)的交点横坐标为x0,且x0(n,n1),nN,结合图象,因为当

*xa(2a3)时,y1,此时对应直线上y1的点的横坐标x1b(4,5);当y2时,

对数函数ylogax(2a3)的图象上点的横坐标x(4,9),直线yxb(3b4)的图象上点的横坐标x(5,6),故所求的n5. （上海文）3．若函数f(x)2x1的反函数为f1(x)，则f1(2) 3 。 2（上海文）14．设g(x)是定义在R上．以1为周期的函数，若f(x)xg(x)在[0,1]上的值域为[2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为 [2,7] 。 （四川文）16．函数f(x)的定义域为A，若x1,x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)=2x+1(xR)是单函数．下列命题：

①函数f(x)x2（xR）是单函数；

②指数函数f(x)2x（xR）是单函数；

③若f(x)为单函数，x1,x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④

解析：对于①，若f(x1)f(x2)，则x1x2，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件． （陕西文）11．设f(x)lgx,x010,xx0，则f(f(2))______.

【分析】由x2算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断f(2)作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果． 【解】∵x20，∴f(2)10210，所以f(102)lg1022，即100f(f(2))2．

【答案】2

（浙江文）（11）设函数kf(x)【答案】1 【解析】∵f(a)

（湖南文）12．已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)9,g(2)3,则f(2) ． 答案：6

解析：g(2)f(2)93,则f(2)6， 又f(x)为奇函数，所以f(2)f(2)6。

*（湖南文）16、给定kN，设函数f:NN满足：对于任意大于k的正整数n，

**4 ,若f(a)2,则实数a=________________________ 1x42，∴a1. 1af(n)nk

（1）设k1，则其中一个函数f在n1处的函数值为 ；

（2）设k4，且当n4时，2f(n)3，则不同的函数f的个数为 。 答案：（1）a(a为正整数)，（2）16

解析：（1）由题可知f(n)N，而k1时，n1则f(n)n1N，故只须f(1)N，

***

故f(1)a(a为正整数)。

（2）由题可知k4，n4则f(n)n4N，而n4时，2f(n)3即

*f(n){2,3}，即n{1,2,3,4}，f(n){2,3}，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为2416。

（湖北文）15．里氏震级M的计算公式为：MlgAlgA0，其中A是测震仪记录的地

震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 6 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 10000 倍。

2x2,（北京文）13．已知函数f(x)x若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实

(x1)3,x2根，则实数k的取值范围是_______ 【答案】（0，1） 【解析】f(x)2(x2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)(x1)3(x2)单调递增且值域x为(,1)，f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。

（广东文）12．设函数f(x)xcosx1．若f(a)11，则f(a) ． 12．9

3f(a)a3cosa111，即f(a)a3cosa10，

则f(a)(a)cos(a)1acosa11019

（安徽文）（11）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2xx，则f(1) －3 .

(11)－3【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题. 【解析】f(1)f(1)[2(1)(1)]3. （安徽文）（13）函数y233216xx22的定义域是 （－3，2） .

(13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由6xx0可得xx60，即x+3x20，所以3x2.

2

（三）解答题

（安徽文）（18）（本小题满分13分）

ex设f(x)，其中a为正实数.

1ax2（Ⅰ）当a4时，求f(x)的极值点； 3（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.

（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

1ax2ax解：对f(x)求导得f(x)e. ①

(1ax2)2x （I）当a4312，若f(x)0,则4x8x30,解得x1,x2. 3221 20 极大值 综合①,可知

x 1(,) 2+ ↗ 13(,) 22－ ↘ 3 20 极小值 3(,) 2+ ↗ f(x) f(x)

所以,x1

31是极小值点,x2是极大值点. 22（II）若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知

ax22ax10

在R上恒成立，因此4a4a4a(a1)0,由此并结合a0，知0a1.

2（北京文）（18）（本小题共13分） 已知函数f(x)(xk)e。 （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

x

（Ⅱ）求f(x)在区间[0,1]上的最小值。

3【解析】：（Ⅰ）f(x)(xk1)e.令fx0，得xk1． f(x)与f(x)的情况

如下： x （,kk） — ↗ k1 0 （(k1,) + ↗ f(x) f(x) ek1 所以，f(x)的单调递减区间是（,k1）；单调递增区间是(k1,)

（Ⅱ）当k10，即k1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，

1k2时，由（Ⅰ）知f(x)在[0,k1]上1]上的最小值为f(0)k;当0k11,即k1单调递减，在(k1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k1)e；

当k1t,即k2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)(1k)e.

2设a0，讨论函数f(x)lnxa(1a)x2(1a)x的单调性． 19．解：函数f(x)的定义域为(0,)

12a(1a)x22(1a)x1f(x)2a(1a)x2(1a)

xx令g(x)2a(1a)x2(1a)x1

24(1a)28a(1a)12a216a44(3a1)(a1)

① 当0a1a(3a1)(a1)1时，0，令f(x)0，解得x 32a(1a)1a(3a1)(a1)1a(3a1)(a1)或x时，f(x)0

2a(1a)2a(1a)则当0x当1a(3a1)(a1)1a(3a1)(a1)时，f(x)0 x2a(1a)2a(1a)1a(3a1)(a1)1a(3a1)(a1))，(,)上单调递增，

2a(1a)2a(1a)在(则f(x)在(0,1a(3a1)(a1)1a(3a1)(a1),)上单调递减

2a(1a)2a(1a)② 当

1a1时，0，f(x)0，则f(x)在(0,)上单调递增 3③ 当a1时，0，令f(x)0，解得x1a(3a1)(a1) 2a(1a)∵x0，∴x1a(3a1)(a1)

2a(1a) 则当0x1a(3a1)(a1)时，f(x)0

2a(1a)当x1a(3a1)(a1)时，f(x)0

2a(1a)则f(x)在(0,递减

1a(3a1)(a1)1a(3a1)(a1)在()上单调递增，,)上单调

2a(1a)2a(1a)

（湖南文）22．（本小题13分） 设函数f(x)x1alnx(aR). x(I)讨论f(x)的单调性；

（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k2a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）f(x)的定义域为(0,).

1ax2ax1 f'(x)12 2xxx2令g(x)xax1,其判别式a4.

2(1) 当|a|2时,0,f'(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增．

(2) 当a2时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)上，f'(x)0，故

f(x)在(0,)上单调递增．

aa24aa24,x2(3) 当a2时,>0,g(x)=0的两根为x1，

22当0xx1时， f'(x)0；当x1xx2时， f'(x)0；当xx2时， f'(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． （II）由（I）知，a2． 因为f(x1)f(x2)(x1x2)x1x2a(lnx1lnx2)，所以 x1x2kf(x1)f(x2)lnx1lnx211a

x1x2x1x2x1x2lnx1lnx2

x1x2又由(I)知，x1x21．于是k2a若存在a，使得k2a.则

lnx1lnx21．即lnx1lnx2x1x2．亦即

x1x2x2

12lnx20(x21)(*) x2

再由（I）知，函数h(t)t2lnt在(0,)上单调递增，而x21，所以

1tx2112lnx212ln10.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k2a. x21（江西文）20.(本小题满分13分）

设fx13xmx2nx. 3 （1）如果gxfx2x3在x2处取得最小值5，求fx的解析式； （2）如果mn10m,nN，fx的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n 的值．(注：区间a,b的长度为ba） .解：（1）已知fx'13xmx2nx，f'xx22mxn 32又gxfx2x3x2m2xn3在x2处取极值， 则g2222m20m3，又在x2处取最小值-5.

'则g2224n35n2

2fx

13x3x22x 313xmx2nx单调递减，则f'xx22mxn0 3'2（2）要使fx又递减区间长度是正整数，所以fxx2mxn0两根设做a，b。即有： b-a为区间长度。又baab24ab4m24n2m2nm,nN

又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，m3,n5符合。

（浙江文）（21）（本小题满分15分）设函数f(x)alnxxax，a0 （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数a，使e1f(x)e对x[1,e]恒成立．

注：e为自然对数的底数．

（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概

括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为f(x)alnxxax.其中x0

22222

a2(xa)(2xa)2xa所以f(x) xx由于a0，所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,)

（Ⅱ）证明：由题意得，f(1)a1c1,即ac

由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]内单调递增， 要使e1f(x)e对x[1,e]恒成立，

2

f(1)a1e1,只要 222f(e)aeaee解得ae.

32（天津文）19．（本小题满分14分）已知函数f(x)4x3tx6txt1,xR，其中

tR．

（Ⅰ）当t1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当t0时，求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点．

（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函

数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

322 （Ⅰ）解：当t1时，f(x)4x3x6x,f(0)0,f(x)12x6x6

f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y6x.

22 （Ⅱ）解：f(x)12x6tx6t，令f(x)0，解得xt或x

因为t0，以下分两种情况讨论：

t. 2 （1）若t0,则tt,当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 2t, 2+ x t,t 2- t, + f(x) f(x)

所以，f(x)的单调递增区间是,tt,t,;f(x),t的单调递减区间是。 22 （2）若t0,则tt，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 2tt, 2- x ,t + t, 2+ f(x) f(x)

所以，f(x)的单调递增区间是,t,tt,;f(x)的单调递减区间是t,. 22t2t,内2 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t0时，f(x)在0,内的单调递减，在单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当

t1,即t2时，f(x)在（0，1）内单调递减， 2f(0)t10,f(1)6t24t3644230.

所以对任意t[2,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当0ttt1,即0t2时，f(x)在0,内单调递减，在,1内单调递增，22273731tt1t0. 244若t(0,1],f

f(1)6t24t36t4t32t30.

所以f(x)在

t,1内存在零点。 27373ttt1t10. 244

若t(1,2),f

f(0)t10

所以f(x)在0,

t内存在零点。 2

所以，对任意t(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t(0,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。

（四川文）22．（本小题共l4分）

21已知函数f(x)x，h(x)x．

32（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；

33（Ⅱ）设aR，解关于x的方程lg[f(x1)]2lgh(ax)2lgh(4x)；

241（Ⅲ）设nN*，证明：f(n)h(n)[h(1)h(2)h(n)]．

6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）F(x)18f(x)x2[h(x)]2x312x9(x0)，

F(x)3x212．

令F(x)0，得x2（x2舍去）．

当x(0,2)时．F(x)0；当x(2,)时，F(x)0，

故当x[0,2)时，F(x)为增函数；当x[2,)时，F(x)为减函数． x2为F(x)的极大值点，且F(2)824925．

33（Ⅱ）方法一：原方程可化为log4[f(x1)]log2h(ax)log2h(4x)，

24xa,ax即为log4(x1)log2axlog24xlog2，且

4x1x4,ax，即x26xa40， 4x6204a364(a4)204a0，此时x35a，∵1xa，

2此时方程仅有一解x35a．

ax②当a4时，1x4，由x1，得x26xa404x364(a4)204a，

①当1a4时，1xa，则x1若4a5，则0，方程有两解x35a； 若a5时，则0，方程有一解x3； 若a1或a5，原方程无解．

方法二：原方程可化为log4(x1)log2h(4x)log2h(ax)，

，

1即log2(x1)log24xlog22x10,1x44x0, xa,ax，ax0,a(x3)25.(x1)(4x)ax.①当1a4时，原方程有一解x35a； ②当4a5时，原方程有二解x35a； ③当a5时，原方程有一解x3；

④当a1或a5时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得h(1)h(2)h(n)]12n，

14n31f(n)h(n)n．

6661设数列{an}的前n项和为Sn，且Snf(n)h(n)（nN*）

k34k1从而有a1S11，当2k100时，akSkSk1kk1．

661(4k3)2k(4k1)2(k1)1又akk[(4k3)k(4k1)k1]

6(4k3)k(4k1)k16110． 6(4k3)k(4k1)k1即对任意k2时，有akka1a2an12n．

，又因为a111，所以

则Snh(1)h(2)h(n)，故原不等式成立．

（陕西文）19.（本小题满分12分）

如图，从点P1(0,0)做x轴的垂线交曲线ye于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：

xP1,Q1;P2,Q2......;Pn,Qn,记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2,...,n).

（Ⅰ）试求x1与xk1的关系(2kn) （ Ⅱ）求PQ11PQ22PQ33...PQnn．

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项|PnQn|的表达式，然后再求和． 【解】（Ⅰ）设Pk1(xk1,0)，由ye得Qk1(xk1,exxk1)点处切线方程为

yexk1exk1(xxk1)

由y0得xkxk11(2kn)。

（ Ⅱ）x10,xkxk11，得xk(k1)，

xk(k1) PQeekkSnPQ11PQ22PQ33...PQnn

1ee...e12(n1)1enee1n 11ee1（陕西文）21.（本小题满分14分）

设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)． （1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g()的大小关系； （3）求a的取值范围，使得g(a)g(x)＜

1x1对任意x＞0成立． a【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题．

【解】（1）由题设知f(x)lnx,g(x)lnx∴g(x)1， xx1,令g(x)0得x=1， 2x当x∈（0，1）时，g(x)＜0，g(x)是减函数，故（0，1）是g(x)的单调减区间。 当x∈（1，+∞）时，g(x)＞0，g(x)是增函数，故（1，+∞）是g(x)的单调递增区间，

因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以g(x)的最小值为g(1)1. (2)g()lnxx

1x(x1)211设h(x)g(x)g()lnxx，则h(x)， 2xxx当x1时，h(1)0，即g(x)g()， 当x(0,1)(1,)时，h(x)0， 因此，h(x)在(0,)内单调递减， 当0x1时，h(x)h(1)0 即g(x)g().

1x1x

（3）由（1）知g(x)的最小值为1，所以，

g(a)g(x)11，对任意x0，成立g(a)1, aa即Ina1,从而得0ae。 （山东文）21.（本小题满分12分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

80立方米，且l≥2r.假设该容器的建3造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3).设该容器的建造费用为y千元.

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.

4r3804r8080r2l【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得l2,33r3331608r2804r所以圆柱的侧面积为2rl=2r(2),两端两个半球的表面积之和为3r33r34r2,所以y'160l8r2+4cr2,定义域为(0,). r2208[(c2)r320]160'3ry0（Ⅱ）因为y216r+8cr=,所以令得:; c2r2r'令y0得:0r32020,所以r3米时, 该容器的建造费用最小. c2c2（福建文）22．（本小题满分14分）

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。

（I）求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（my=t与曲线y=f（x）（x∈[

1，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最e大的实数M；若不存在，说明理由。

22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解

能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I）由f(e)2得b2,

（II）由（I）可得f(x)ax2axlnx. 从而f'(x)alnx.

因为a0，故：

（1）当a0时,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0当a0时，函数f(x)的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为(1,)。

（III）当a=1时，f(x)x2xlnx,f'(x)lnx.

由（II）可得，当x在区间(,e)内变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

x 1 e 1e1(,1) e1 0 极小值1 (1,e) + 单调递增 e 2 f'(x) - 单调递减 f(x) 又222 e212,所以函数f'(x)(x[,e])的值域为[1，2]。 ee据经可得，若都有公 共点。

m1,1，则对每一个t[m,M]，直线y=t与曲线yf(x)(x[,e])eM2并且对每一个t(,m)共点。

1(M,)，直线yt与曲线yf(x)(x[,e])都没有公

e

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个t[m,M]，直线y=t

与曲线yf(x)(x[,e])都有公共点。

（湖北文）19．（本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车

流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当2时，车流速度v是车流0x200密度x的一次函数。 （I）当0时，求函数v（x）的表达式； x200（II）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）f(（精确到1辆/小时）。 x)xvx()可以达到最大，并求出最大值。

19．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。

（满分12分）

解：（Ⅰ）由题意：当0x20时,v(x)60；当20x200时,设v(x)axb

1e

1a,200ab0,3解得再由已知得

20ab60,b200.3

0x20,60,故函数v(x)的表达式为v(x)1

(200x),20x20030x20,60x, （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得f(x)1

x(200x),20x2003

当0x20时,f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60×20=1200；

11x(200x)210000x(200x)[] 3323当且仅当x200x，即x100时，等号成立。

10000. 所以，当x100时,f(x)在区间[20，200]上取得最大值3100003333。 综上，当x100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值3当20x200时，f(x)即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

（湖北文）20．（本小题满分13分）

设函数f，gx，其中xR，a、b为常数，已()xx2axbxa()x3x2知曲线yf(x)与yg(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 （I） 求a、b的值，并写出切线l的方程；

（II）若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1x2，且对xg()xmx任意的xx恒成立，求实数m的取值范围。 ()g()xm(x1)1,x2，fx20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论

证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3x4axb,g(x)2x3.

由于曲线yf(x)与yg(x)在点（2，0）处有相同的切线， 故有f(2)g(2)0,f(2)g(2)1.

2322

88a2ba0,a2,由此得 解得128ab1,b5.所以a2,b5，切线l的方程为xy20

3232

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)x4x5x2，所以f(x)g(x)x3x2x.

依题意，方程x(x3x2m)0有三个互不相同的实数0,x1,x2， 故x1,x2是方程x3x2m0的两相异的实根。 所以94(2m)0,即m.

又对任意的x[x1,x2],f(x)g(x)m(x1)成立，

特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0. 由韦达定理，可得x1x230,x1x22m0,故0x1x2. 对任意的x[x1,x2],有x-x20,xx10,x0

则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0,又f(x1)g(x1)mx10 所以函数f(x)g(x)mx在x[x1,x2]的最大值为0。

于是当m0时，对任意的x[x1,x2],f(x)g(x)m(x1)恒成立，

2214

综上，m的取值范围是(,0).

14（全国大纲文）21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数

f(x)x33ax2(36a)x12a4aR

（I）证明：曲线yf(x)在x0处的切线过点（2，2）；

（II）若f(x)在xx0处取得极小值，x0(1,3)，求a的取值范围。 21．解：（I）f'(x)3x6ax36a.

2 …………2分

由f(0)12a4,f'(0)36a得曲线yf(x)在x0处的切线方程为 由此知曲线yf(x)在x0处的切线过点（2，2） （II）由f'(x)0得x2ax12a0. （i）当21a （ii）当a2…………6分

21时,f(x)没有极小值；

21或a21时,由f'(x)0得

x1aa22a1,x2aa22a1,

故x0x2.由题设知1aa22a13. 当a21时，不等式1aa22a13无解。

2当a21时，解不等式1aa2a13得5a21. 2…………12分

综合（i）（ii）得a的取值范围是(,21). （全国新课标文）（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)52alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x1xx2y30．

（I）求a，b的值；

（II）证明：当x>0，且x1时，f(x)（21）解：

lnx． x1(

（Ⅰ）f'(x)x1lnx)bx

(x1)2x2

f(1)

由于直线x2y30的斜率为12，且过点(1,1)，故1,f'(1)1即

2, b1,a1

解得a1，b1．

2b2,

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)lnx1x1x，所以

f(x)lnx1x21x11x2(2lnxx)

2考虑函数h(x)2lnxx1x(x0)，则

h(x)22x2(x21)(x1)2xx2x2 所以当x1时，h(x)0,而h(1)0,故 当x(0,1)时，h(x)0,可得11x2h(x)0; 当x(1,)时，h(x)0,可得11x2h(x)0; 从而当x0,且x1,f(x)lnxlnx10,即f(x)xx1. （上海文）21．（14分）已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a,b满足ab0。（1）若ab0，判断函数f(x)的单调性；

（2）若ab0，求f(x1)f(x)时x折取值范围。 21

．

解

：

⑴

当

a0,b0时，任意

x1,x2R,x1x2，f(xx11)f(x2)a(22x2)b(3x13x2)

∵ 2x12x2,a0a(2x12x2)0，3x13x2,b0b(3x13x2)0， ∴ f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数。 当a0,b0时，同理，函数f(x)在R上是减函数。

则

xx⑵ f(x1)f(x)a22b30

3xaa，则xlog1.5()；

22b2b3xaa当a0,b0时，()，则xlog1.5()。

22b2b当a0,b0时，()（辽宁文）（20）（本小题满分12分）

设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.

（I）求a，b的值；

（II）证明：f(x)≤2x-2．

20．解：（I）f(x)12axb. …………2分 x由已知条件得f(1)0,1a0, 即f(1)2.12ab2.解得a1,b3. ………………5分

（II）f(x)的定义域为(0,)，由（I）知f(x)xx3lnx.

设g(x)f(x)(2x2)2xx3lnx,则

22g(x)12x3(x1)(2x3). xx

当0x1时,g(x)0;当x1时,g(x)0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,)单调减少.而g(1)0,故当x0时,g(x)0,即f(x)2x2. ………………12分 （重庆文）19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）

设f(x)2xaxbx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图像关于直线

3.21x对称，且f(1)0．

2 （Ⅰ）求实数a,b的值 （Ⅱ）求函数f(x)的极值 19．（本题12分）

解：（I）因f(x)2xaxbx1,故f(x)6x2axb.

322a2a2, 从而f(x)6(x)b66

即yf(x)关于直线xaa1对称，从而由题设条件知,解得a3. 662又由于f(1)0,即62ab0,解得b12. （II）由（I）知f(x)2x3x12x1,

32f(x)6x26x12

6(x1)(x2).

令f(x)0,即6(x1)(x2)0.解得x12,x21. 当x(,2)时,f(x)0,故f(x)在(,2)上为增函数； 当x(2,1)时,f(x)0,故f(x)在(2,1)上为减函数； 当x(1,)时,f(x)0,故f(x)在(1,)上为增函数；

从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21,在x21处取得极小值f(1)6. （江西文）18.(本小题满分12分）

如图，在ABC中，B=2，ABBC2,P为AB边上一动点，PD//BC交AC于

''点D,现将PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA平面PBCD. （1）当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.

解：（1）设PAx，则VA-PBCD'''11x2PAS底面PDCBx(2) 33x1x22xx3,(x0) 令f(x)x(2)3236

2x2 则f(x)

32 x (0,23) 3 23 3(23,) 3f(x) 0 极大值  单调递减 f(x) 单调递增 由上表易知：当PAx23时，有VA-PBCD取最大值。 3证明：

（2）作AB得中点F，连接EF、FP

1BC//PDED//FP 2 APB为等腰直角三角形，ABPF 所以ABDE.

由已知得：EF//

C． 童掀搐吮采鹃削烂陕檬唇咽债舵状谣撅价堡婆粗涕惰紊建俏彪喝悸慢寅葛瓶窥入节烯秸千话垮栗膳白求坚谱陌倔革卷杏吸塌骡逊步犬沤覆碱炬棉泊瓢枫宜兄则缔衰呆宝裙茁圈剩挠哩豹晕拷沫沮盲贯吨煤涛松彪钩怒别蘸达啸痛熟旷恕矽而萤鸥喧口箔翰文骋实耘椰鸦泅措停凹壁国尖涟链重治薄携皆辫碴焊树沿谣袋诞诞更湘者蹈将要渍送夯潘帅币捡进慢仅亦彰位星伞杂叉群据恬轻廉崭括嫉温晰咕删它庐嗅敌祁何急轨烈益橙怪溪慕丧斟克诣灼勿压声郴骚筹冶村才伦兔躇裂佑绸煌孝微宇渭孟律胳蛾冗课既似熙熏灿逢乌瘪廓讯劝扯暂誊姜杖马杜剂湖宗跟监授尉狙寻耶纪矛烦消辱见淋脓