导数的几何意义教案(后附教学反思)

永嘉中学 数学组 周瑛 08.4.13 【教学目标】

知识与技能目标：

（1）使学生掌握函数f(x)在xx0处的导数f图像在

xx0处的切线的斜率。（数形结合），即：

/x0的几何意义就是函数f(x)的

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线的斜率

x(2)会利用导数的几何意释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。

【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【课型】探究课

【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 【教学过程】

（一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。 师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：

导数f/(x0)的本质是函数f(x)在xx0处的瞬．时．变．化．率．，即：

f/x0limx0fx0xf(x0)

x（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意

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义奠定基础）

师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？ （教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。

师：那必然就要回忆求导数f/(x0)的步骤了。 生（齐）：分三步： 第一步：求y 第二步：求平均变化率

y； x第三步：当x趋近于0时，平均变化率数就是f/(x0)。（回归本质，数形结合）

f(x0x)f(x0)无限趋近于的常

x教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分三个步骤：

师：第一步：y的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出） 生：当x0x与x0所对应的函数值的差量。 师：很好，那么第二步：平均变化率

f(x0x)f(x0)的几何意义是什么？

x（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。

生2：平均变化率

f(x0x)f(x0)的几何意义是割线AB的斜率。其中

xA(x0,f(x0)),B(x0x,f(x0x))。（提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。）

师：第二步：x0时，割线AB有什么变化？请用你的笔描绘出来。

（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与思考能力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在x0x与x0之间。）

教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，由此引导同伴观察到：x0，B(x0x,f(x0x))A(x0,f(x0)), 师（趁胜追击）：很好，那么当x0，于是A，B之间的差距越来越小，B一直，一直这样靠近A，最后会---------

生(齐):重合。

师：那么直线AB？

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生（齐）：变成一条切线了。

师：大家真不错，确实，当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在xx0处的切线，下面请把它画出来。

等学生化出切线AD后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。

结论：（形）x0，割线AB切线AD，

则割线AB的斜率切线AD的斜率。（口述）

由数形结合，得 f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率。（板书）

x/所以，函数f(x)在xx0处的导数fx0的几何意义就是函数

f(x)的图像在

xx0处的切线AD的斜率。（数形结合）。

（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。） （二）深入研究，知识拓展

师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见P77的探究问题。 生4：初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。 师：讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。 （展示如下动画，A点----直线l1----B----直线l2）。 学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。

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yl1Al2BxC 师：圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线l1虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线l1虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 （三）“以直代曲”思想

利用PPT做出三个切点附近的近景，而且由小放到大，类似于放大镜的效果，让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。

学生发现，它们越来越靠近，几乎重合。此时，教师点出：

根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）

（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教

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学质量。）

（四）例题讲解，加强理解

例1 在函数h(t)4.9t26.5t10的图像上，用图形来体现导数

h/(1)3.3，h/(0.5)1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。

变式：请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？ (如下图)

（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

从中小结出:1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负; ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2.增减快慢-----导数的绝对值大小-------过该点切线的斜率大小的绝对值---．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．曲线在该点附近的陡峭程度。（板书） ．．．．．．．．．．．．．

h

O t3 t4 t0 t1t2 t 例2 如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

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t 药物浓度的 瞬时变化率 0.2 0.4 0.6 0.8 （注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

（五）抽象概括，归纳小结 （先由学生小结）

1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念： f/x0是确定的数（静态），f/x是x的函数（动态）

/由fx0limx0/fx0xf(x0)（特殊——一般）

x fx（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

fxxf(x)（静态——动态） xlimx0（1）函数f(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

xx0处的切线AD的斜率。（数形结合），即：

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率

x（2）利用导数的几何意释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

fxxf(x)（3）导函数（简称“导数”）的概念。f/xlim

x0x（六）作业布置

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1．习题P80.A5,6;B1

2．（给好的学生）请给出求函数yf(x)在xx0处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。

（探索：若把3 ．“在点(x0,f(x0)) 处”改为“过点(x0,f(x0))”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）

附：

教学反思

本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。

本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意释实际问题”两个教学重心展开。

先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。

本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。 在例题讲解时，注重审题（分析关键的词句）和解题反思，感觉效果不错！

但是，作为探究课，时间如果控制不好，易讲不完，我就是例2来不及分析完，于是当作课外作业，所以时间要注意调配。

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