2020年高二暑期数学补习题(模拟高考) (20)-0711(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝑃={𝑥|2≤𝑥≤3}，𝑄={𝑥|𝑥2≤4}，则𝑃∪𝑄=( )

A. (−2,3] C. [−2,2]

1

B. [−2,3]

D. (−∞,−2]∪[3,+∞)

𝑥′=𝑥

2后得到曲线的方程的周期为( ) 2. 将正弦曲线𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥经过伸缩变换{

𝑦′=3𝑦

A. 2

𝜋

B. 𝜋 C. 2𝜋 D. 3𝜋

3. 下列命题中，正确的是( )

A. ∃𝑥0∈𝑅,sin𝑥0+cos𝑥0=2 B. 复数𝑧1,𝑧2,𝑧3∈𝐶，若(𝑧1−𝑧2)2+(𝑧2−𝑧3)2=0，则𝑧1=𝑧3 C. “𝑎>0,𝑏>0”是“𝑎+𝑏≥2”的充要条件

D. 命题“∃𝑥∈𝑅,𝑥2−𝑥−2≥0”的否定是：“∀𝑥∈𝑅,𝑥2−𝑥−2<0”

4. 在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三

个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是( ) A. 96 B. 72 C. 36 D. 24 5. 若曲线的极坐标方程为𝜌=8𝑠𝑖𝑛 𝜃，则它的直角坐标方程为( )

𝑏

𝑎

3

A. 𝑥2+(𝑦+4)2=16 C. (𝑥−4)2+𝑦2=16

6. (𝑥2+𝑥)8的展开式中𝑥4的系数是( )

2

B. 𝑥2+(𝑦−4)2=16 D. (𝑥+4)2+𝑦2=16

A. 16

7. 已知𝑓(𝑥)=

𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2

B. 70

，则下列正确的是( )

C. 560 D. 1120

A. 奇函数，在R上为增函数 C. 奇函数，在R上为减函数

8. 已知椭圆

𝑥25

B. 偶函数，在R上为增函数 D. 偶函数，在R上为减函数

+𝑦2=1与直线𝑦=√3(𝑥−2)交于A，B两点，则𝐴𝐵=( )

A. 8√5 B. 4√5 C. √5

D. √5 2

9. 𝑓(𝑥)为奇函数，且在(−∞,0)为递增，𝑓(−2)=0，则𝑥𝑓(𝑥)>0的解集为( )

A. (−∞,−2)∪(2,+∞) C. (−2,0)∪(0,2) B. (−∞,−2)∪(0,2) D. (−2,0)∪(2,+∞)

10. 学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试，则

每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )

A. 240 B. 180 C. 150 D. 540

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11. 若M为椭圆E：+

4

𝑥2𝑦23

直线L经过圆(𝑥−1)2+𝑦2=2的圆心P，且与圆P交于A、=1上动点，

1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) B两点，则2𝑀𝐴

A. 18 B. 17 C. 16 D. 15

2𝑥,𝑥≤0

12. 设函数𝑓(𝑥)={，若关于x的方程𝑓2(𝑥)−𝑎𝑓(𝑥)=0恰有三个不同的实数解，则

𝑙𝑜𝑔2𝑥,𝑥>0实数a的取值范围为( ) A. (0,1] B. (0,2] C. (−1,1] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数𝑓(𝑥)=ln(1−𝑙𝑔𝑥)的定义域为______ ． 𝑥,−1⩽𝑥<0,

14. 若𝑓(𝑥)={2

𝑥,0⩽𝑥⩽1,

则𝑓(log42)=____.

D. (−1,2]

15. 设(2𝑥+1)3=𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0，则𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3=______． 16. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥|，若𝑓(𝑥0)=4，则𝑥0的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极

坐标方程为2𝜌sin(𝜃−6)−3√3=0，曲线C的参数方程为(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的最大值．

𝜋

．

18. 已知命题𝑝:|4−𝑥|≤6，𝑞:(𝑥−2𝑚+2)(𝑥−2𝑚−2)≤0．

(1)若p是﹁𝑞的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若﹁𝑞是﹁𝑝的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

1

1

1

19. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．(结果用数字表示)

(1)女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？

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(2)女生不相邻，有多少种不同的站法？

(3)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？

20. (1)求函数𝑓(𝑥)=𝑥+√1−2𝑥,𝑥∈[0,4]的值域；

(2)已知𝑓(1−𝑥)+2𝑓(1+𝑥)=3𝑥−2，求𝑓(𝑥)的解析式．

1

21. 在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为𝛼的直线l的参数方程为{𝑦=1+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(其中t为参数).在

x轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，𝜌(1+以O为极点、曲线C：𝑐𝑜𝑠2𝜃)=𝜆𝑠𝑖𝑛𝜃的焦点F的极坐标为(1,2)．

(Ⅰ)求常数𝜆的值；

(Ⅱ)设l与C交于A、B两点，且|𝐴𝐹|=3|𝐹𝐵|，求𝛼的大小．

𝜋

𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼

22. 已知𝑓(𝑥)=(|𝑥−1|−3)2．

(Ⅰ)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥−2有三个零点，求实数a的值；

(Ⅱ)若对任意𝑥∈[−1,1]，均有𝑓(2𝑥)−2𝑘−2𝑥≤0恒成立，求实数k的取值范围．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：【分析】

先分别求出集合P，Q，由此能求出𝑃∪𝑄．

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用． 【解答】

解：∵集合𝑃={𝑥|2≤𝑥≤3}，𝑄={𝑥|𝑥2≤4}={𝑥|−2≤𝑥≤2}， ∴𝑃∪𝑄={𝑥|−2≤𝑥≤3}=[−2,3]． 故选：B． 2.答案：B

解析：解：∵{𝑥=2𝑥′

1， 𝑦=3𝑦′

𝑥′=𝑥𝑦′=3𝑦

21

，

∴{

1

∴3𝑦′=𝑠𝑖𝑛2𝑥′，即𝑦′=3𝑠𝑖𝑛2𝑥′， ∴变换后的曲线周期为2=𝜋．

故选：B．

根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出． 本题考查了坐标系的伸缩变换，三角函数的周期，属于基础题． 3.答案：D

2𝜋

解析：【分析】

利用三角函数的有界性判断A的正误；反例判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；

本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件，命题的否定，三角函数的最值，复数的应用，是基本知识的考查． 【解答】

解：因为𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2sin(𝑥+4)≤√2<2，所以A不正确；

复数𝑧1，𝑧2，𝑧3∈𝐶，若(𝑧1−𝑧2)2+(𝑧2−𝑧3)2=0，则𝑧1=𝑧3，反例𝑧1=0，𝑧2=𝑖，𝑧3=2𝑖，所以B不正确；

当a，b同号时，“𝑎+𝑏≥2”恒成立，所以C不正确；

命题“∃𝑥>0，𝑥2−𝑥−2≥0”的否定是：“∀𝑥>0，𝑥2−𝑥−2<0”，满足命题的否定形式，所以D正确． 故选D．

𝑏

𝑎

𝜋

3

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4.答案：C

解析：解：根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，

则其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可以分2步进行分析：

2

=6种分组方法， ①、将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有𝐶4

②、将分好的3组对应3个场馆，有𝐴33=6种对应方法， 则一共有6×6=36种同分配方案； 故选：C．

根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．

本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者”的要求，明确分组的依据与要求． 5.答案：B

解析：【分析】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题目． 利用互化公式𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜃，𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛 𝜃，求解即可． 【解答】

解：由直角坐标和极坐标的互化公式𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜃，𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛 𝜃， 即𝜌2=𝑥2+𝑦2， 可得𝑥2+𝑦2=8𝑦，

整理得𝑥2+(𝑦−4)2=16． 故选B． 6.答案：D

𝑟28−𝑟𝑟16−3𝑟(𝑥)()𝑟=2𝑟𝐶8𝑥16−3𝑟=4，𝑟=4，解析：由于(𝑥2+𝑥)8展开式中通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶8，𝑥4

展开式中𝑥4的系数是24𝐶8=1120． 7.答案：A

2

2

解析：𝑓(−𝑥)=

𝑒−𝑥−𝑒𝑥

2

,𝑓(−𝑥)=𝑓(−𝑥)，所以为奇函数；𝑦=𝑒𝑥上R为增函数，𝑦=𝑒𝑥在R上是减

函数，在𝑦=−𝑒−𝑥上R是增函数． 8.答案：D

解析：【分析】

本题考查了直线与椭圆相交弦长问题，考查计算能力，属于中档题．

联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，再由弦长公式即可求出． 【解答】

𝑥2

解：设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2

)，联立{5

+𝑦2=1

𝑦=√3(𝑥−2)

,

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消去y得16𝑥2−60𝑥+55=0， 𝑥1+𝑥2=

154

,𝑥1.𝑥2=16，

24

16

2

55

所以𝐴𝐵=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√1+3√(15)−4×55=√5， 故选D． 9.答案：A

解析：解：𝑓(𝑥)为奇函数，且在(−∞,0)为递增的，𝑓(−2)=0， 可得𝑓(𝑥)在(0,+∞)也单调递增，且过点(2,0)， 故函数𝑓(𝑥)的图象大致如图所示：

𝑥>0𝑥<0

①，或{②. 由𝑥𝑓(𝑥)>0，可得{

𝑓(𝑥)>0𝑓(𝑥)<0

解①求得𝑥>2，解②求得𝑥<−2，

综上可得，不等式的解集为{𝑥|𝑥>2或𝑥<−2}． 故选：A．

本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 𝑥>0𝑥<0

①，或{②，数形结合求得x函数𝑓(𝑥)的图象大致如图所示，由𝑥𝑓(𝑥)>0，可得{

𝑓(𝑥)>0𝑓(𝑥)<0的范围．

10.答案：C

解析：解：根据题意，分2步进行分析： ①、先将5位同学分成3组： 若分成1−2−2的三组，有若分成1−1−3的三组，有

1𝐶2𝐶2𝐶542

𝐴22

=15种分组方法， =10种分组方法，

1𝐶1𝐶3𝐶543

𝐴22

则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；

②、将分好的三组对应三所大学，有𝐴33=6种情况，

则每所大学至少有一人参加，则不同的选派方法25×6=150种； 故选：C．

根据题意，分2步进行分析：①、先将5位同学分成3组：需要分2种情况讨论，②、将分好的三组对应三所大学，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 11.答案：B

解析：解：设𝑀(2𝑐𝑜𝑠𝜃,√3𝑠𝑖𝑛𝜃)．

2

圆(𝑥−1)2+𝑦2=2的圆心𝑃(1,0)，半径𝑟=√．

2

1

∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵−⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵．

∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=4⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴−2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵． ∴4⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=4⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃−⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵，

2

2

2

2

2

2

2

2

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(√2)2

2

=2[(1−2𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(√3𝑠𝑖𝑛𝜃)2]−1

=2(𝑐𝑜𝑠𝜃−2)2−1≤2×32−1=17，当𝑐𝑜𝑠𝜃=−1时取等号． ∴2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵的最大值为17． 故选：B．

∴2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃−

2

2

设𝑀(2𝑐𝑜𝑠𝜃,√3𝑠𝑖𝑛𝜃).由圆(𝑥−1)2+𝑦2=2的圆心𝑃(1,0)，半径𝑟=√.由于⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵−

2

1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性即可得出．

本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、数量积的运算性质和余弦函数的单调性、圆的对称性、椭圆的参数方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 12.答案：A

解析：【分析】

主要考查了函数的零点与方程的跟的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键． 【解答】

解：由题意可知：函数𝑓(𝑥)的图象如下：

由关于x的方程𝑓2(𝑥)−𝑎𝑓(𝑥)=0恰有三个不同的实数解， 可知方程𝑎=𝑓(𝑥)与𝑓(𝑥)=0恰有三个不同的实数解， 由于𝑓(𝑥)=0只有一个解𝑥=1，

所以方程𝑎=𝑓(𝑥)恰有两个不同的实数解，

即函数𝑦=𝑎与函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象恰有两个不同的交点． 由图象易知：实数a的取值范围为(0,1]． 故选A．

13.答案：(0,10)

𝑥>0𝑥>0

解析：解：由题意得{，即{，

1−𝑙𝑔𝑥>0𝑥<10

得0<𝑥<10，

故函数𝑓(𝑥)=ln(1−𝑙𝑔𝑥)的定义域为(0,10)， 故答案为：(0,10)

根据对数的真数大于0，建立不等式组，解之即可求出函数的定义域

本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．

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14.答案：4

解析：【分析】

本题考查分段函数求值，属基础题． 先求log42=2，再求𝑓(2)的值即可． 【解答】

解： 因为log42=2log22=2， 所以𝑓(log42)=𝑓(2)=(2)2=4． 故答案为4．

1

1

1

1

1

1

1

1

1

15.答案：27

解析：解：令𝑥=1，𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3=33=27， 故答案为：27

令𝑥=1可得𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3的值． 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 16.答案：2

解析：【分析】

本题考查由函数解析式的应用，属于基础题目． 【解答】

2𝑥0,𝑥≥0

解：由题意可得𝑓(𝑥0)=𝑥0|𝑥0|={20，

−𝑥0,𝑥0<0

由𝑓(𝑥0)=4，可得当𝑥0=2． 故答案为2．

17.答案：解：(1)由

得

，

∴直线的直角坐标方程为𝑥−√3𝑦+3√3=0，

𝑥=cos𝛼,𝑦2

由{消𝛼得曲线C的直角坐标方程𝑥2+=1； 𝑦=√3sinα3(2)设

，

，

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当∴𝑑𝑚𝑎𝑥=

时，d取最大值，

√10+3√3． 2

解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，椭圆的参数方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，辅助角公式，属于中档题．

(1)将极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程；

(2)利用椭圆的参数方程和点到直线的距离公式及辅助角公式求解即可． 18.答案：解：(1)由题意得：

命题p：由|4−𝑥|≤6，化为：−6≤𝑥−4≤6，解得−2≤𝑥≤10． 命题q：𝑞：(𝑥−2𝑚+2)(𝑥−2𝑚−2)≤0． 解得

𝑚−12

1

1

1

≤𝑥≤

𝑚−12

𝑚+42

．

1

∴¬𝑞：𝑥<

或𝑥>2𝑚+2．

又∵𝑝是¬𝑞充分而不必要条件， ∴

𝑚−12

>10，或2𝑚+2<−2．

1

∴𝑚<−8，或𝑚>21，

所以实数m的取值范围为(−∞,−8)∪(21,+∞)． (2)由(1)知¬𝑝：𝑥<−2或𝑥>10；¬𝑞：𝑥<又∵￢𝑞是¬𝑝的必要而不充分条件，

𝑚−1

𝑚−12

或𝑥>2𝑚+2．

1

∴{1

，∴−3≤𝑚≤16..

𝑚+2≤102

2

≥−2

所以实数m的取值范围为[−3,16]．

解析：(1)由题意得：命题p：由|4−𝑥|≤6，化为：−6≤𝑥−4≤6. 命题q：𝑞：(𝑥−2𝑚+2)(𝑥−

12

1

1

𝑚−2)≤0.解得

𝑚−12

≤𝑥≤

𝑚+42

.可得¬𝑞.根据p是¬𝑞充分而不必要条件，可得

𝑚−12

>10，或𝑚+2<

2

1

−2.解得实数m的取值范围．

(2)由(1)知¬𝑝：𝑥<−2或𝑥>10；¬𝑞：𝑥<

𝑚−12

𝑚−12

或𝑥>2𝑚+2.根据q是¬𝑝的必要而不充分条件，可

1

得{1

，解得m范围． 𝑚+2≤102

≥−2

本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)根据题意，分2种情况讨论： ①女生甲排在队尾，女生乙有6个位置可选， 剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有𝐴55种情况， 此时有6×𝐴55=720种站法；

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②女生甲不在队尾，女生甲有5个位置可选，女生乙不在队尾，女生乙有5个位置可选， 剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有𝐴55种情况， 此时有5×5×𝐴55=3000种站法； 则一共有720+3000=3720 (2)根据题意，分2步进行分析： ①将4名男生全排列，有𝐴44=24种顺序，排好后包括两端，有5个空位， ②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有𝐴35=60种情况， 则此时有24×60=1440种站法； (3)根据题意，将7人全排列，有𝐴77=5040种顺序，

女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同， 则女生甲要在女生乙的右方的排法有2×𝐴77=2520种情况．

1

解析：本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到的元素．

(1)根据题意，分2种情况讨论：①女生甲排在队尾，②女生甲不在队尾，每种情况下依次分析女生乙和其他5名女生的站法数目，由分步计数原理可得每种情况下的站法数目，由加法原理，将两种情况的站法数目相加，即可得答案； (2)根据题意，用插空法分2步进行分析：排好后包括两端，有5个空位，①将4名男生全排列，②在5个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案； (3)根据题意，将7人全排列，计算可得7人全排列的站法数目，分析可得：女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，计算可得答案．

220.答案：解：(1)设𝑡=√1−2𝑥，则𝑡∈[√,1]，𝑥=2

1−𝑡22

，

代入𝑓(𝑥)得，𝑦=所以值域为[

1−𝑡22

+𝑡=−2(𝑡−1)2+1，因为𝑡∈[

1

√2,1]， 2

2√2+1,1]； 4

(2)由题意得，𝑓(𝑥)+2𝑓(2−𝑥)=1−3𝑥，①

令x取2−𝑥代入得，𝑓(2−𝑥)+2𝑓(𝑥)=3𝑥−5，② 由①②解得𝑓(𝑥)=3𝑥−

113

．

解析：(1)本题主要考查函数的值域.由题意设𝑡=√1−2𝑥，求出t的范围和x的表达式，代入𝑓(𝑥)化简后，根据一元二次函数的性质和t的范围，求出函数𝑓(𝑥)的值域；

(2)本题主要考查函数的解析式的求解.因为𝑓(𝑥)+2𝑓(2−𝑥)=1−3𝑥，①令x取2−𝑥代入得，𝑓(2−𝑥)+2𝑓(𝑥)=3𝑥−5，即可解得．

21.答案：解：(Ⅰ)曲线C：𝜌(1+𝑐𝑜𝑠2𝜃)=𝜆𝑠𝑖𝑛𝜃， 转换为：2𝜌2cos2𝜃=𝜆𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃， 即：𝑥2=2𝑦，

由于：曲线C的焦点F的极坐标为(1,2)． 即：𝐹(0,1)， 所以：8=1，

𝜆

𝜋

𝜆

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故：𝜆=8．

𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼

(Ⅱ)把倾斜角为𝛼的直线l的参数方程为{𝑦=1+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(其中t为参数)代入𝑥2=4𝑦． 得到：cos2𝛼𝑡2−4𝑠𝑖𝑛𝛼𝑡−4=0． 所以：𝑡1+𝑡2=𝑐𝑜𝑠2𝛼，𝑡1⋅𝑡2=cos2𝛼<0， 且|𝐴𝐹|=3|𝐹𝐵|， 故：𝑡1=cos2𝛼，𝑡2=整理得

−12𝑠𝑖𝑛2𝛼cos4𝛼6𝑠𝑖𝑛𝛼

−2𝑠𝑖𝑛𝛼cos2𝛼

4𝑠𝑖𝑛𝛼

−4

，

=

−4cos2𝛼3

，

解得：𝑡𝑎𝑛𝛼=±√，

3

由于：0<𝛼≤𝜋， 故：𝛼=6或

𝜋

5𝜋6

．

解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．

22.答案：解：(Ⅰ)由题意𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥−2=0等价于𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+2有三个不同的解， (𝑥−4)2,𝑥≥1

由𝑓(𝑥)={，

(𝑥+2)2,𝑥<1可得函数图象如图所示：

联立方程：(𝑥−4)2=𝑎𝑥+2，

由𝛥=(𝑎+8)2−56=0，可得𝑎=−8±2√14， 结合图象可知𝑎=−8+2√14． 同理(𝑥+2)2=𝑎𝑥+2，

由𝛥=(4−𝑎)2−8=0，可得𝑎=4±2√2， 因为4+2√2<𝐾𝑃𝑄=7， 结合图象可知𝑎=4−2√2，

综上可得：𝑎=−8+2√14或𝑎=4−2√2．

2

(Ⅱ)设2𝑥=𝑡∈[2,2]，原不等式等价于(|𝑡−1|−3)2≤2，

𝑡

1

𝑘

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两边同乘𝑡2得：[𝑡(|𝑡−1|−3)]2≤2𝑘， 设𝑚(𝑡)=𝑡(|𝑡−1|−3)，𝑡∈[2,2]，

原题等价于2𝑘≥[𝑚(𝑡)]2的最大值，

(1)当𝑡∈[1,2]时，𝑚(𝑡)=𝑡(𝑡−4)，易得𝑚(𝑡)∈[−4,−3]， (2)当𝑡∈[2,1)时，𝑚(𝑡)=−𝑡(𝑡+2)，易得𝑚(𝑡)∈(−3,4], 所以[𝑚(𝑡)]2的最大值为16，即2𝑘≥16，故𝑘≥4．

1

5

1

解析：本题是函数与方程的综合应用，属于难题．

(Ⅰ)由题意𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥−2=0等价于𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+2有三个不同的解，由𝑓(𝑥)=(𝑥−4)2,𝑥≥1{，画图，结合图象解方程可得a的值； (𝑥+2)2,𝑥<1

2

(Ⅱ)设2𝑥=𝑡∈[2,2]，原不等式等价于(|𝑡−1|−3)2≤2，两边同乘𝑡2得：[𝑡(|𝑡−1|−3)]2≤2𝑘，

𝑡

1

𝑘

设𝑚(𝑡)=𝑡(|𝑡−1|−3)，𝑡∈[2,2]，原题等价于2𝑘≥[𝑚(𝑡)]2的最大值，对t讨论求解即可．

1

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