圆的方程 理
1．圆(x－1)＋(y－2)＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)＋(y－1)＝1 C．(x＋2)＋(y－1)＝1
2．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x＋(y－2)＝1 C．(x－1)＋(y－3)＝1
3．以抛物线y＝4x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两渐近线相切的圆的方程为( C )
169
1212
A．x＋y－＝ 1625922
C．(x－1)＋y＝ 25
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x＋y－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－2 B．3＋2 C．3－
5．若实数x，y满足x＋y－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( )
A．5 B．10 C．9 D．5＋25
6．圆心在直线
2x－y＝3
上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．(x＋1)＋(y－2)＝1 D．(x－1)＋(y＋2)＝1
2
2
22
B．x＋(y＋2)＝1 D．x＋(y－3)＝1
2
2
22
x2y2
1622
B．x＋(y－1)＝ 253622
D．(x－2)＋y＝ 25
23－2 D． 22
是 .
7．若圆C与圆x＋y＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是 .
2
2
1
8．若过点P(a，a)可作圆x＋y－2ax＋a＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是
9．已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,3)，M是BC的中点． (1)求AB边所在直线的方程； (2)求以线段AM为直径的圆的方程．
10．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
11．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程．
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
222
2
圆的方程 理
一、选择题
1．圆(x－1)＋(y－2)＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( A ) A．(x－2)＋(y－1)＝1 C．(x＋2)＋(y－1)＝1
2
2
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2
2
2
B．(x＋1)＋(y－2)＝1 D．(x－1)＋(y＋2)＝1
2
2
2
22
解析：设对称圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)＋(y－1) ＝1，故选A．
2．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( A ) A．x＋(y－2)＝1 C．(x－1)＋(y－3)＝1 解析：设圆心坐标为(0, a)，则
2
2
2
2
22
2
B．x＋(y＋2)＝1 D．x＋(y－3)＝1 1－ 0
22
2
22
＋2－a2
＝1，∴a＝2，故圆的方程为x＋(y－2)＝1.
22
3．以抛物线y＝4x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两渐近线相切的圆的方程为( C )
1691212
A．x＋y－＝ 1625922
C．(x－1)＋y＝ 25
2
x2y2
1622
B．x＋(y－1)＝ 253622
D．(x－2)＋y＝ 25
3
解析：抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，即3x±4y＝0.由已知，
1694得圆的半径长等于点F到直线3x±4y＝0的距离，即r＝
2
2
x2y2
|3×1|
3922
＝，所以所求圆的方程为(x－1)＋y＝. 22
253＋45
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x＋y－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( A ) A．3－2 B．3＋2 C．3－
2
2
23－2
D． 22
解析：圆的标准方程为(x－1)＋y＝1，直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝
|1－0＋2|3232
＝，则点C到直线AB的最短距离为－1.又因为|AB|＝22，所以△ABC面积的最小值
222
132
为×22×－1＝3－2. 22
5．若实数x，y满足x＋y－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( B ) A．5 B．10 C．9 D．5＋25
解析：原方程可化为(x－1)＋(y＋2)＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设x－2y＝b，则
2
2
2
2
x－2y可看作直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时
＝5.∴b＝10或b＝0，∴x－2y的最大值是10.
|1＋4－b|
5
3
6．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是(x－3)＋(y－3)＝9或(x－1)＋(y＋1)＝1.
解析：依题意设圆心为(a,2a－3)，因为圆与两坐标轴均相切，所以|a|＝|2a－3|，解得a＝1或a＝3，即r＝1或3，故圆的标准方程为(x－3)＋(y－3)＝9或(x－1)＋(y＋1)＝1.
7．若圆C与圆x＋y＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是x＋y－2x－4y＋4＝0.
解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1,0)，由点A，C关于直线x＋y－1＝0对称，得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
ba＋1×－1＝－1，a－1b2＋2－1＝0.
2
2
2
a＝1，
解得
b＝2.
又因为圆的半径是1，所以圆C的方程是(x－1)＋(y－2)
22
＝1，即x＋y－2x－4y＋4＝0.
8．若过点P(a，a)可作圆x＋y－2ax＋a＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是(－∞，－3)∪
2
2
1，3.
2
解析：圆的方程可化为(x－a)＋y＝3－2a，
因为过点P(a，a)能作圆的两条切线，所以点P在圆的外部，
a＋a－2a＋a＋2a－3>0，
即3－2a>0，
2
2
2
2
2
2
3
解之得a<－3或123故a的取值范围为(－∞，－3)∪1，. 2
9．已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,3)，M是BC的中点． (1)求AB边所在直线的方程； (2)求以线段AM为直径的圆的方程．
y－5x－－1
解析：(1)因为A(－1,5)，B(－2，－1)，所以由两点式得AB的方程为＝，整理得
－1－5－2－－1
6x－y＋11＝0.
(2)因为M是BC的中点，所以M所以|AM|＝所以AM的中点为－1－1
2
－2＋4，－1＋3，即M(1,1)，
22
2
＋5－1＝25，所以圆的半径为5.
－1＋1，5＋1，即中点为(0,3)，所以以线段AM为直径的圆的方程为x2＋(y－3)2＝5.
22
2
2
10．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
解析：设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E. 由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
4
22
又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.② 1＋9－D＋3E＋F＝0.③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12. 故所求圆的方程为x＋y－2x－12＝0.
11．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程．
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值． 2
2
解析：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则
x＋3
2
＋y2
＝2
x－3
2
＋y2
.
化简可得(x－5)2
＋y2
＝16，即为所求曲线的方程． (2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，
由直线l2是此圆的切线，连接CQ，CM， 则|QM|＝|CQ|2
－|CM|2
＝|CQ|2
－16，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|QM|取得最小， 又∵|CQ|＝|5＋3|2
＝42，故|QM|的最小值为32－16＝4.
5
