立体几何中角的计算

角的问题

1异面直线所成的角

A1D1B1C1如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1; （Ⅱ）]若二面角C1—BD—C的大小为60o,求异面直线BC1

与AC所成角的大小.

ADBC2在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD1的中点,M为BC的中点,N为AB的中点，P为BB1的中点.

（1）求证：BD1B1C；（II）求证BD1平面MNP； （III）求异面直线B1O与C1M所成角的大小

直线与平面所成的角

1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3.

(Ⅰ)证明：SA⊥BC；

(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.

所以，直线SD与平面SBC所成的我为

arcsin

22。 11π，斜边AB4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以6直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上． （I）求证：平面COD平面AOB；

A

（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小； （III）求CD与平面AOB所成角的最大值．

2．如图，在Rt△AOB中，OAB．

异面直线AO与CD所成角的大小为arctan

15． 3D

O B4/27/2022

1

C

青岛高中数学教案 liming

CD与平面AOB所成角的最大值为arctan23． 3

3如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC， D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ0. 2（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，

2010山东（19）（本小题满分12分）

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA平面ABCDE，AB//CD，AC//ED，AE//BC，

π）. 4ABC45,AB22,BC2AE4，三角形

PAB是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。

二面角

例1．在60的二面角a内有一点P，P点到平面、平面的距离分别为1和2，求点P 到直线a的距离．

221AB=．

3sinAPB注：本例中，通过作二面角的棱的垂面，得到了二面角的平面角． PQ=B P

例2．△ABC的BC边在平面内，已知S△ABC=S，△ABC所在平面与 平面所成的锐二面角为．求证：△ABC在平面内的射影的面积为 Scos．

注：用此例中的公式可以求二面角的大小．若已知某平面图形的面积为S，该平面图形在平面影的面积为S，又设该平面图形与平面S所成的锐二面角的大小为．则cos=．但在解答题中，尽量不要S使用此公式． 练习

a Q A A A B D C

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1．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30的角．(1)求点C1到平面AB1C的距离；(2)求二面角BB1CA的余弦值． C1 A1 3B1 得cosAED=． 3

E O

2．如图, 已知平面ADE平面ABCD, △ADE是等边三角形，A C E ABCD是矩形，F是AB的中点, EA=a, AB=2a．

(1)求证：EACD；

(2)求EC与平面ABCD所成的角；

(3)求二面角EFCD的大小． EFH=45

B D D C A B F

4．如图，二面角–CD–为度，A为面上一点，△ACD的面积为S，CD=m，过A作直线AB交面于B，使ABCD且AB与面成30角，问当为何值时，△BCD的面积最大，最大值是多少？

14sA  当θ=60时，(S△BCD)max=m=2S． 2mD E C

F

 B

（2007山东理）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，

AB∥DC．

（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD1； （Ⅱ）求二面角A1BDC1的余弦值．

D1

C1

B1

A1

E

D C

A B

（2007江西理）（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°， AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3．

（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； （2）求二面角B—AC—A1的大小； （3）求此几何体的体积．

3VVBAA2C2CVA1B1C1A2BC2．

2

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（2007安徽文、理)（本小题满分14分）如图,在六面体ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD是边

长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方

形,DD1平面A1B1C1D1,DD1平面ABCD, DD2.

1(Ⅰ)求证: A1C1与AC共面，B1D1与BD共面. (Ⅱ)求证:平面A1ACC1平面B1BDD1;

(Ⅲ)求二面角ABB1C的大小(用反三角函数值表示).

2009山东（18）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。

A1

（1） 证明：直线EE1//平面FCC1；

D1

C1

B1

D E

A

F

B

7（2） 求二面角B-FC1-C的余弦值。

7

E1 C

2008山东(20)(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，ABC60,E，F分别是BC, PC的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6，求二面角E—AF—C的余弦值. 215. 5

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