恒成立问题
一、选择题（共12小题；共60分）
成立，则1. 已知函数 ，其中 ，若存在实数 使得
实数 的取值范围是
A.
B. D.
C.
2. 已知 ，若 恒成立，则 的取值范围为
A. A. A. 范围是
B. B. B.
C. C. C.
D. D. D.
3. 不等式 ，对一切 恒成立，则 的取值范围是 4. 不等式 有解，则实数 的取值范围是
5. 对于函数 ，若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值
A.
B.
C. D.
6. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
A. C.
， B.
，
， D. ，
7. 已知函数 其中 ．若对任意的非零实数 ，存在唯一的
非零实数 ，使得 成立，则 的取值范围为 A. C. 8. 设 ，且
B. D. 或
恒成立，则 的最大值为
C.
D.
A.
B.
9. 设 ， ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 在 上是减函数，且对任意的 总有
则实数 的取值范围为 A.
B.
C.
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D.
11. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．若
， ，则实数 的取值范围为
A. 为
A.
B.
C.
D.
12. 设函数 ，若存在唯一的整数 使得 ，则实数 的取值范围
B.
C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
．设 为实数，若存在实数 ，13. 已知函数
使 ，则 的取值范围是 ．
14. 设函数 ，对于满足 的一切 值都有 ，则实数 的取值
范围为 ．
15. 已知函数 的值域为 ， ，函数 ， ，对任意的
，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ． 16. 若不等式 对满足 的所有 都成立，则 的取值范围
是 ．
17. 若对 ， ，使 成立，则 的
取值范围是 ．
三、解答题（共5小题；共65分） 18. 已知函数 ．
（1）设 ，若 在 上单调递增，求实数 的取值范围．
（2）求证：存在 ，使 ．
19. 若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范围． 20. 设 ， 为函数 两个不同零点，且满足 ．
（1）若对任意 都有 ，求 ；
（2）设 ，试证明必存在 使得 成立． 21. 设函数 ．
（1）若对于一切实数 ， 恒成立，求 的取值范围；
（2）对于 ， 恒成立，求 的取值范围． 22. 己知函数 （ ， 是自然对数的底）．
（1）若函数 在点 处的切线方程为 ，试确定函数 单调区间；
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（2）① 当 ， 时，若对于任意 ，都有 恒成立，求实数 的最
小值；
② 当 时，设函数 ，是否存在实数 ，使得 ?若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
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答案
第一部分 1. A
【解析】因为 ，所以当 时，则
，无解；当 时，则由 得 即 由题意可知
得 问题等价于不等式组有解，所以 ，即 ；当 时，则由
即 由题意可知问题等价于不等式组有解，所以 ，所以 2. A 3. B
．综上，实数 的取值范围是
．
【解析】当 时， ，不等式显然恒成立．
当 时，需
解得 ． 综上可知， ． 4. C
【解析】根据题意，
由绝对值的几何意义，得
因此， ． 5. B 6. C 7. D
【解析】函数 在 上是增函数；由于直线 在区间 的右
侧，所以函数 在 上是减函数．
若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立，则函数 一定是连续函数，从而 ，整理得关于 的方程 ．由该方程有实数解，得 ，解得 或 ． 8. C
【解析】因为 ，所以 ， ， ，不等式 恒成
立等价于
恒成立．因为 ，
，所以 （当且仅当
时等号成立）， 则要使 9. A
恒成立，只需使 ，故 的最大值为 ．
【解析】
， ，由对勾函数性质可得
．
时，函数 在 上单调递增， ．
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因为对于任意 ，总存在 ，使得 成立，所以 ，解得
． 10. B
【解析】函数 的对称轴为 ，且在区间 上是减函数，得 ，对任意的 ，总有 恒成立，即 ，又 ，当 时， ， ，所以 ，又 ，所以 的取值范围是 ．
11. B 【解析】函数 ．在 时的解析式等价于
因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 在 上的大致图象如下，
由 ， ，可得 ，解得 12. A 【解析】 ，即 ，即 令
，则 ． ．
，令 得 ，
所以
在 为减函数，在 为增函数， 所以若存在唯一的整数 使得 ，只需满足
所以 第二部分 13.
【解析】当 时， ；当 时 ，所以 ．
所以只要 即可，即 ，解得 ． 14.
【解析】由题意得 对 恒成立， 又
．
， ，
所以
，所以 ．
15.
【解析】只需要函数 的值域是函数 值域的子集即可．
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（ ）当 时， 单调递增． 因为
所以 ，
要使条件成立，只需
所以 ．
（ ）当 时， 单调递减． 因为 ，
所以 ，要使条件成立，
只需
所以
所以 ．
综上所述， 的取值范围是 ． 16.
【解析】设 ，则原命题等价于 在 上恒成立．
所以 所以 ．
17. 【解析】因为 ，
所以原不等式可化为
．
令 ，
则
．
当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减． 所以当 时，函数 取得最大值， ． 令 ．
因为对 ， ，使 成立，
所以 ．
因为 ，①当 时， ，函数 单调递增，所以 ，则由 ，解得 ，满足条件；
②当 时， ，则当 时， 取得最小值， ， ，舍去；
③当 时，经验证，也不符合条件，舍去． 综上， 的取值范围是 ．
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第三部分
18. （1） ① 当 即 时，只需 即可， 所以 满足题意．
② 当 即 时不合题意．
③ 当 即 时，只需 即可， 所以 ． 所以 或 ． （2） 解法一：
如果 与 中有一个不小于 ，那么命题成立，
而 ，此不等式在平面直角坐标系下表示的区域记为 （图略），
，此不等式在平面直角坐标系下表示的区域记为 （图略）．
由于 ，故 与 至少有一个成立． 解法二：
当 时， 显然成立．
当 ，假设 恒成立，即 ， 所以
所以
所以 ．
当 时，同理可得 ，故假设不成立， 综上知原命题结论成立．
19. 设 ，则当 时， 恒成立， 所以只需 即
解得 的范围为
．
20. （1） 由 得函数 关于 对称，则 又 可知 ， ，则 ， 解得 ， ，则 ．
（2）
，
等号成立条件为
，
设函数 的最大值为 ，则 故必存在 使得 成立．
，
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21. （1） 要 恒成立，若 ，显然 ；
． 若 ，则
所以 的取值范围为 ．
（2） 要 恒成立，就要使 ， ． 令 ， ．
当 时， 是增函数， 所以 ．
所以 ，解得 ． 所以 ．
当 时， 恒成立．
当 时， 在 上是减函数． 所以 ，解得 ， 所以 ． 综上所述， ．
22. （1） 由题意
，
因为 在点 处的切线方程为 ， 所以 ， ，即 所以
，
，解得 ， ．
， ，
当 ， ， ， ，所以在 上单调递减，在 单调递增． （2） ①由 ， ，
，即 ，
对于任意 ，都有 恒成立，等价于 对于任意 恒成立． 记 ， ，
设 ，因为 对 恒成立，所以 在 单调递增．
而 ， ，所以 在 上有唯一零点 ， 所以 ， ， ， ，所以 在 单调递减，在 上单
调递增，
所以 的最大值是 和 中的较大的一个，
所以 ，所以 的最小值为 ． 所以 即
②假设存在 ，使得 ，则问题等价于 ． 因为
，所以
．
i）当 时， ， 在 上单调递减，
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所以 ，即
，得 ．
ii）当 时， ， 在 上单调递增， 所以 ，即
，得 ．
iii）当 时，在 上， ， 在 上单调递减，在 上， ， 在 上单调递增，所以 ，即 由（1）知
．（1）
在 上单调递减，故
，而
，不等式（1）无解．
综上所述，存在 ，使得命题成立．
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