【2022】河南省南阳市中考数学模拟试卷(及答案解析)

（含答案）

（考试时间：120分钟 分数：120分）

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（ ） A．a﹣b＝0

B．a+b＝0

C．ab＝1

D．ab＝﹣1

2．为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（ ） A．35×10

﹣6

B．3.5×10

﹣6

C．3.5×10 D．0.35×10

﹣5﹣4

3．如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）

A．200 cm

2

B．600 cm

2

C．100πcm

2

D．200πcm

2

4．郑州某中学在备考 2018 河南中考体育的过程中抽取该校九年级 20 名男生进 行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：

成绩（单位：米） 2.10 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50

人数 2 3 2 4 5 2 1 1

则下列叙述正确的是（ ） A．这些运动员成绩的众数是 5 B．这些运动员成绩的中位数是 2.30 C．这些运动员的平均成绩是 2.25 D．这些运动员成绩的方差是 0.072 5 5．下列各式中与A．

是同类二次根式的是（ ） B．

C．

D．

6．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2

7．若关于x的不等式组A．a≤﹣3

B．a＜﹣3

无解，则a的取值范围是（ ） C．a＞3

D．a≥3

8．若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情况是（ ） A．无实数根

B．有两个正根

C．有两个根，且都大于﹣3m D．有两个根，其中一根大于﹣m

9．如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系，若

E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交OD于F点．若OF＝I，FD＝2，则G点的坐标为（ ）

A．（，）B．（，） C．（，） D．（，）

10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．

C．

D．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．

＝ ．

2

12．将抛物线y＝﹣5x先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：

13．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是 ．

14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与

CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若

为

，则图中阴影部分的面积为 ．

的长

15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，

CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 ．

三．解答题（共8小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）﹣（2y+x）（2y﹣x）﹣2x，其中x＝

+2，y＝

﹣2．

2

2

17．（9分）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校

为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分） 根据所给信息，解答以下问题：

（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是 度； （2）补全条形统计图；

（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级； （4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？

18．在读书月活动中学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就”我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类別进行了抽样调查（每位同学只选一类）．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 名同学； （2）条形统计图中m＝ ，n＝ ；

（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度； （4）学校计划购买深外读物8000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？

19．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠

EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，E在同一直

线上）．（cos80°≈0.018，sin80°≈0.98，（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？

（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？

≈1.414）

20．已知反比例函数的图象过点A（﹣2，2）． （1）求函数的解析式．y随x的增大而如何变化？ （2）点B（4，﹣2），C（3，

）和D（

）哪些点在图

象上？

（3）画出这个函数的图象．

21．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

22．（10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解：

如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求（3）应用拓展：

如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的

倍．将

的值．

△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．

23．如图1，抛物线y＝ax+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．

①求四边形ACFD的面积；

②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作

2

PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，

求出所有满足条件的点Q的坐标．

答 案

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 【解答】解：∵实数a、b互为相反数， ∴a+b＝0． 故选：B．

【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000035＝3.5×10﹣5， 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．

【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1， 侧面积为：πdh＝2×π＝2π，

∵是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图， ∴原几何体的侧面积＝100×2π＝200π， 故选：D．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．

4．【分析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，

即可得出答案．

【解答】解：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误； B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确； C、这些运动员的平均成绩是 2.30，错误； D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误； 故选：B．

【点评】此题考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

5．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A．B．C．D．

＝2＝与

，与，与

＝3

，与

是同类二次根式；

不是同类二次根式； 不是同类二次根式；

不是同类二次根式；

故选：A．

【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

6．【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：用待定系数法即可．

【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵∠DBO+∠BOD＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∵∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴△BDO∽△OCA，

＝

＝

＝2，然后

∴＝＝，

∵OB＝2OA， ∴BD＝2m，OD＝2n， 因为点A在反比例函数y＝∵点B在反比例函数y＝

的图象上，则mn＝1，

的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），

∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4． 故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．

7．【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可． 【解答】解：∵不等式组∴a﹣4≥3a+2， 解得：a≤﹣3， 故选：A．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．

8．【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝37（m2﹣4），然后根据m的范围得到△＜0，从而根据判别式的意义可得到正确选项． 【解答】解：方程整理为x2+7mx+3m2+37＝0， △＝49m2﹣4（3m2+37） ＝37（m2﹣4），

无解，

∵0＜m＜2， ∴m2﹣4＜0， ∴△＜0，

∴方程没有实数根． 故选：A．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了判别式的意义． 9．【分析】连结EF，作GH⊥x轴于H，根据矩形的性质得AB＝OD＝OF+FD＝3，再根据折叠的性质得BA＝BG＝3，EA＝EG，∠BGE＝∠A＝90°，而AE＝DE，则GE＝DE，于是可根据“HL”证明Rt△DEF≌Rt△GEF，得到FD＝FG＝2，则BF＝BG+GF＝5，在Rt△OBF中，利用勾股定理计算出OB＝2比计算出GH＝

FH＝，

，然后根据△FGH∽△FBO，利用相似

，所以G点坐标为（

，

）．

，则OH＝OF﹣HF＝

【解答】解：连结EF，作GH⊥x轴于H，如图， ∵四边形ABOD为矩形， ∴AB＝OD＝OF+FD＝1+2＝3， ∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴BA＝BG＝3，EA＝EG，∠BGE＝∠A＝90°， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， ∴GE＝DE，

在Rt△DEF和Rt△GEF中

，

∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL）， ∴FD＝FG＝2，

∴BF＝BG+GF＝3+2＝5， 在Rt△OBF中，OF＝1，BF＝5， ∴OB＝∵GH∥OB， ∴△FGH∽△FBO，

＝2

，

∴＝＝，即

， ＝

＝＝，

∴GH＝，FH＝

∴OH＝OF﹣HF＝1﹣∴G点坐标为（故选：B．

，

，

）．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了坐标与图形的性质和相似三角形的判定与性质．

10．【分析】连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD＝∠C′PD，再根据角平分线的定义可得∠BPE＝∠C′PE，然后证明∠DPE＝90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别CP的长度，表示出AE、然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，根据函数所对应的图象即可得解．

【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到， ∴∠CPD＝∠C′PD， ∵PE平分∠BPC′， ∴∠BPE＝∠C′PE， ∴∠EPC′+∠DPC′＝∴△DPE是直角三角形，

∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，

∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x， 在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2， 在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52， 在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，

×180°＝90°，

在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2， 则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32， 整理得，﹣6y＝2x2﹣10x， 所以y＝﹣

x2+

x（0＜x＜5），

纵观各选项，只有D选项符合． 故选：D．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理的应用，作出辅助线并证明得到直角三角形，然后在多个直角三角形应用勾股定理是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．【分析】根据算术平方根的定义、负整数指数幂计算可得． 【解答】解：原式＝2故答案为：2

．

﹣4+4＝2

，

【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义和负整数指数幂的定义．

12．【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．

【解答】解：∵抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴新抛物线顶点坐标为（﹣5，﹣3），

∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝﹣5（x+5）2﹣3， 即y＝﹣5x2﹣50x﹣128， 故答案为y＝﹣5x2﹣50x﹣128．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．

13．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：列表如下：

积 ﹣2 ﹣1 2

﹣2 2 ﹣4

﹣1 2 ﹣2

2 ﹣4 ﹣2

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果， 所以积为正数的概率为故答案为：

．

，

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

14．【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积＝△ACD的面积﹣扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．

【解答】解：连接AC， ∵DC是⊙A的切线， ∴AC⊥CD， 又∵AB＝AC＝CD，

∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°，

又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∴∠CAD＝∠ACB＝45°， 又∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∴∠FAD＝∠B＝45°， ∵∴

解得：r＝2，

的长为

， ，

∴S阴影＝S△ACD﹣S扇形ACE＝故答案为：

．

．

【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

15．【分析】分两种情况进行讨论：当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，

由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE， ∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上， 在Rt△CDE和Rt△CFE中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL）， ∴CF＝CD＝4，

设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，

在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2， 解得x＝

如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，

，即AP＝

；

过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝∠D＝90°， 又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED， ∴∠FEQ＝∠ECD， ∴△FEQ∽△ECD， ∴

＝

＝

，即

＝， ， ﹣x，

﹣x）2+（

）2＝x2，

＝

，

解得FQ＝，QE＝，AH＝

∴AQ＝HF＝

设AP＝FP＝x，则HP＝

∵Rt△PFH中，HP2+HF2＝PF2，即（解得x＝1，即AP＝1． 综上所述，AP的长为1或

．

【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 三．解答题（共8小题，满分75分）

16．【分析】利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．

【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（4y2﹣x2）﹣2x2 ＝x2+4xy+4y2﹣4y2+x2﹣2x2 ＝4xy， 当x＝

+2，y＝

﹣2时，

﹣2）

原式＝4×（+2）×（

＝4×（3﹣4） ＝﹣4．

【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．

17．【分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得； （2）根据以上所求结果即可补全图形； （3）根据中位数的定义求解可得；

（4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得． 【解答】解：（1）∵总人数为18÷45%＝40人， ∴C等级人数为40﹣（4+18+5）＝13人， 则C对应的扇形的圆心角是360°×故答案为：117；

（2）补全条形图如下：

＝117°，

（3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，

所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级， 故答案为：B．

（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×

＝30人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

18．【分析】（1）结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，即可得出总人数；

（2）利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n＝200×30%＝60人，即可得出m的值；

（3）根据圆心角计算公式，即可得到艺术类读物所在扇形的圆心角；

（4）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计6000册中其他读物的数量． 【解答】解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，

故本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人， 故答案为：200；

（2）根据科普类所占百分比为：30%， 则科普类人数为：n＝200×30%＝60人， m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人， 故m＝40，n＝60； 故答案为：40，60；

（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：故答案为：72；

（4）由题意，得 8000×

＝1200（册）．

×360°＝72°，

答：学校购买其他类读物1200册比较合理．

【点评】此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．

19．【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；

（2）求出OH、PH的值即可判断；

【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M． ∵EF+FG＝166，FG＝100，

∴EF＝66， ∵∠FGK＝80°， ∴FN＝100•sin80°≈98， ∵∠EFG＝125°，

∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°， ∴FM＝66•cos45°＝33∴MN＝FN+FM≈144.5，

∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．

（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H． ∵AB＝48，O为AB中点， ∴AO＝BO＝24，

∵EM＝66•sin45°≈46.53， ∴PH≈46.53，

∵GN＝100•cos80°≈17，CG＝15，

∴OH＝24+15+17＝56，OP＝OH﹣PH＝56﹣46.53＝9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm．

≈46.53，

【点评】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；

（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将B、C、D三点分别代入进行验证即可； （3）根据该反比例函数所在的象限、以及该函数的单调性画出图象．

【解答】解：设该反比例函数的解析式为y＝2＝

，

（k≠0），则

解得，k＝﹣4；

所以，该反比例函数的解析式为y＝﹣∵﹣4＜0，

∴该反比例函数经过第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；

（2）由（1）知，该反比例函数的解析式为y＝﹣∵﹣2×4＝﹣8≠﹣4，3×（﹣

）＝﹣4，2

，则xy＝﹣4．

）＝﹣4，

）在该函数图

；

×（﹣

∴点B（4，﹣2）不在该函数图象上，点C（3，象上；

）和D（

（3）反比例函数的图象过点A（﹣2，2），由（1）知，该反比例函数经过第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；所以其图象如图所示：

【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．经过函数的某点一定在该函数的图象上．

22．【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形；

理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，

∵∠ACB=30°，AC=6， ∴AD=

AC=3，

∴AD=BC=3，

即△ABC是“等高底”三角形；

（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴AD=BC，

∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC， ∴∠ADC=90°，

∵点B是△AA′C的重心， ∴BC=2BD，

设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x， 由勾股定理得AC=∴

=

=

x， ； BC时，

（3）①当AB=

Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB=∴BC=AE=2，AB=2∴BE=2，即EC=4， ∴AC=2

，

，

BC，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴∠DCF=45°， 设DF=CF=x， ∵l1∥l2，

∴∠ACE=∠DAF， ∴

=

=

，即AF=2x， ，

x=

．

∴AC=3x=2∴x=

，CD=

Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD=②当AC=

AC=2

．

BC时，

Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴A'C⊥l1， ∴CD=AB=BC=2；

Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE=BC，

∴AC=BC=AE，

∴∠ACE=45°，

∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上， ∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点， 综上所述，CD的值为

，2

，2．

23．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，当∠ADQ＝90°时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y＝k1x+b1，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y＝k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标． 【解答】解： （1）由题意可得

，解得

，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴F（1，4），

∵C（0，3），D（2，3）， ∴CD＝2，且CD∥x轴， ∵A（﹣1，0），

∴S四边形ACFD＝S△ACD+S△FCD＝②∵点P在线段AB上， ∴∠DAQ不可能为直角，

∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°， i．当∠ADQ＝90°时，则DQ⊥AD， ∵A（﹣1，0），D（2，3）， ∴直线AD解析式为y＝x+1，

∴可设直线DQ解析式为y＝﹣x+b′， 把D（2，3）代入可求得b′＝5， ∴直线DQ解析式为y＝﹣x+5， 联立直线DQ和抛物线解析式可得∴Q（1，4）；

ii．当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线AQ的解析式为y＝k1x+b1， 把A、Q坐标代入可得

，解得k1＝﹣（t﹣3），

，解得

或

，

×2×3+

×2×（4﹣3）＝4；

设直线DQ解析式为y＝k2x+b2，同理可求得k2＝﹣t， ∵AQ⊥DQ，

∴k1k2＝﹣1，即t（t﹣3）＝﹣1，解得t＝当t＝当t＝

时，﹣t2+2t+3＝时，﹣t2+2t+3＝

， ，

，

∴Q点坐标为（，）或（

，

，）； ）或（

，

）．

综上可知Q点坐标为（1，4）或（

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．