第九章 振动学

9-1.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2.

解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为F(k1k2)x

根据牛顿第二定律有d2x

F(k1k2)xmam2dt化简得d2xk1k2x02dtmk1k2d2x2

令则2x0所以物体做简谐振动，其周期mdt2

T

22mk1k29-2如图9.2所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。解取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，点偶极子所受力矩为ll

MqEsinqEsinqElsin22点偶极子对中心O点的转动惯量为1ll

Jmmml2

222

由转动定律知22

12d2MqElsinJml22dt化简得d22qE

sin02dtml当角度很小时有sin0，若令

2

2qE

，则上式变为ml1d22sin02dt所以点偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为T

22ml2qE9-3汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在v1.3Hz附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？解汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为T2m，频率k为v

11T2kmmgT2gxg0.15(m)222k44v正常载重时弹簧的压缩量为9-4一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图9.3所示。开始棒在，

平衡位置OO处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。解设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为，并规定细棒在平衡位置向右时为正，在向左时为负，则力矩为1

Mmglsin2负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为J

12

ml,根据转动定律有3112d2MmglsinJml

23dt2化简得d23g

sin0dt22l当很小时有sin，若令

2

3g

则上式变为2ld22sin02dt2所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为T

222l3g2

9-5一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅A210m，周期T0.50s，当t=0时，（1）物体在正方向的端点；（2）物体在负方向的端点；(3)物体在平衡位置，向负方向运动;(4）物体在平衡位置，向负方向运动;(5)物体在x1.010m处向负方向运动(6)物体在x1.010m处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。解由题意知A2.010m,T0.5s,

222

24s1T（1）由初始条件得初想为是10,所以振动方程为x2102cos4(m)

（2）由初始条件得初想为是2，所以振动方程为x2102cos(4t)(m)

，所以振动方程为2x2102cos(4t)(m)

23（4）由初始条件得初想为是4，所以振动方程为23x2102cos(4t)(m)

2（3）由初始条件得初想为是3

x011025（5）因为cos5，所以，取（因为速度小于零），,0.5552333A210所以振动方程为x2102cos(4t)(m)3x01102244（6）cos6，所以，取（因为速度大于零），,0.5662333A210所以振动方程为3x2102cos(4t

4)(m)39-6一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s，当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动，求；（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；（3）质点x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。解（1）由题意可知：A0.12m,零），所以质点的运动方程为2,x0Acos0可求得0（初速度为T3

x0.12cost

3

（2）

xt0.50.12cos0.50.1(m)

3



v0.12cost

3

任意时刻的速度为所以

vt0.50.12cos0.50.19(ms1)

3

任意时刻的加速度为

a0.122cost

3

所以

at0.50.122cos0.51.0ms23

（3）根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为325236所以t



5

0.833s69-7一弹簧悬挂0.01kg砝码时伸长8cm，现在这根弹簧下悬挂0.025kg的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm后松手；（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；4（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm后，又给以向上21cms的初速度，同时开始计时。解（1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立如图9.5所示坐标系。系统振动的圆频率为1



根据题意，初始条件为kmm1gx1m0.01g0.087s10.025x04cm

1v00cms

振幅A

x202v024cm，初相位10

振动方程为x4cos7t(m)

（2）根据题意，初始条件为x00cm1v021cms

振幅A

x2022v03cm，初相位2

2振动方程为x3cos(7t)(m)

2（3）根据题意，初始条件为x04cm1v021cms

振幅A

x2022v05cm，tan3

v0

0.75，得30.x0振动方程为x5cos(7t0.)(m)

9-8质量为0.1kg的物体，以振幅A1.010m做简谐振动，其最大加速度为2

4.0ms2，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。解（1）简谐振动的物体的最大加速度为amaxA2

5

amax224.01

，所以周期为T0.314s。20s220A1.010vmaxA（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度所以动能为12112222

EkmvmaxmA0.11.010202103J

222（3）总能量为E总Ek2103J9-9弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为A0的简谐振动，如图9.6所示，物体的质量为M，弹簧的劲度系数为k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m的小泥团以速度v从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：（1）系统振动的圆频率；（2）按图示坐标列出初始条件；（3）写出振动方程；解（1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m，弹簧的劲度系数为k，所以系统振动的圆频率为

kMm（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有MvmvMmv0v0

MvmvMm

x00

按图9.6所示坐标初始条件为Mvmv

v0Mm

（3）根据初始条件，系统振动的初相位为守恒，有；假设，系统的振动振幅为A，根据能量21211(Mvmv)22kAMmv0222Mm

其中故得112Mv2kA0226A

振动方程为mvMA0kM(Mm)kx

mvMA0kkMcostm2(Mm)kMm2

9-10有一个弹簧振子，振幅A210m，周期T=1s，初相位振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t图。解（1）由题意可知，

3

，（1）写出它的422，所以弹簧振子的振动方程为T

3

x2102cos2tm4

（2）利用旋转矢量图做x-t图如图9.7所示9-11一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？解（1）根据题意做旋转矢量如图9.8所示。由图9.8可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是

2,33（2）物体做简谐振动时的总能量为W

121

kA，在任意位置时的时能为Wpkx2，所以222

1112

当它的位置在振幅的一半时的势能为WpkAkA，势能占总能量的百分比为22825%，动能占总能量的百分比为75%。9-12手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为，振幅是0.04m,问：（1）位移最大时，砝码对平板的正压力多大？（2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？(3)如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？解（1）由题意可知，2v4s,A0.04m。因为物体在作简谐振动，物体在最1

2

2

2

大位移时加速度大小amaxA0.04160.根据牛顿第二定律有N1mgmamaxmgN2mamax

7解得N18.06N（最低位置），N21.74N(最高位置)（2）当mgmamaxmA，即时A0.062m会使砝码脱离平板。2

（3）频率增大一倍，把12代入mgmamaxmA11得2

A1

1

A1.55102m49-13有两个完全相同的弹簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm，然后先释放A振子，经过0.5s后，再释放B振子，如图9.9所示，若以B振子释放的瞬间作为时间的起点，（1）分别写出两个物体的振动方程；（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t图。解（1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为

2，若以B振子释放的瞬时T作为时间的起点，则B物体振动的初相位是B0，振动方程应为xB5cost(cm)

由于A物体先释放0.5s时的时间，所以相位超前B物体2振动的初相位是A

，振动方程应为2

xA5costcm2

0.5，所以A物体T2（2）它们的相位差为

2作A,B两物体的振动曲线如图9.10所示。9-14一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为

x16cos2tcm

6

x28cos2tcm

3

试用旋转矢量求出合振动方程。解作旋转矢量如图9.11所示。由平面几何关系可知2AA12A210cm

tan

合振动的初相位是A16

0.75A288

0.4

3

所以合振动的振动方程为x10cos2t0.4cm9-15有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为，若第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅，第一、第二6两振动的相位差。解做旋转矢量如图9.12所示。由平面几何关系可知A2A2A122AA1cos假设A1和A2的夹角为，则由平面几何可知2AA12A22A1A2cos0.1m6把已知数代入解得

，29-16质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：x0.08cost,y0.06cost6333式中x,y以m计，t以s计。（1）求运动轨迹方程；（2）质点在任一位置所受的力。解（1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为x2y2

10.0820.062（2）质点在任意时刻的加速度为d2xd2yaij0.08costi0.06costj

dtdt633333质点在任一位置所受的力为22

Fma32costi24costj103N

633333

22

9-17质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；（1）证明质点的合振动时简谐振动；（2）求合振动的振幅和频率。解（1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为9xAxcostyAycost合成的轨迹是直线y

Ax

Ax，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为y

xx2y2A2xA2ycost所以质点的合振动是简谐振动。（2）合振动的振幅为A

Ax2A2y，圆频率为.10