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编者的话 为了配合教学同步拓展训练和课外竞赛辅导，我刊自２００６年第１～２期起连续刊登“初中数学 竞赛分级训练”．每期就一个单元的内容给出Ａ、Ｂ两个等级的训练题．欢迎大家提出更好的意见或建议． 线ＡＤ一１０ ｃｍ，求 ＢＡＣ及斜边ＡＢ的长． 垦 黪 ２．已知一直角三角形的斜边长为１０，周长是２４，则这个 三角形的面积是 ． （２００５年河南省初二数学竞赛试题） Ａ Ａ 曰 Ｂ ２ Ｄ 图３ ３．已知，如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ—ＣＤ，ＡＢ一７， ｔａｎ Ａ一２， Ｂ一 Ｄ一９０。，求ＢＣ的长． ４．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ一４，ＢＣ＝３，ＣＤ＝１２， 一ｂ。，ｂ２一ｆ。一ａ。； １ Ｂ一９０。，Ｓ 舢一３６，求ＡＤ的长． （３）边与角的关系：ｓｉｎ Ａ＝旦，ｃｏｓ Ａ＝ ，ｔａｎ Ａ一导， 【 【 ￡， ｃｏｔ Ａ一 ｎ ，ｓｉｎ Ｂ一 Ｃ ，ｃｏｓ Ｂ一旦，ｔａｎ Ｂ一 Ｃ 口 ，ｃｏｔ Ｂ－－－ Ｄ ； （４）锐角三角形函数之间的关系：ｓｉｎ。Ａ＋ＣＯＳ。Ａ＝１，ｔａｎ Ａ ・ｃＯｔ Ａ一１，ｓｉｎ Ａ—ＣＯＳ Ｂ，ｔａｎ Ａ—ｃＯｔ Ｂ，ＣＯＳ Ａ—ｓｉｎ Ｂ，ＣＯｔ Ａ ＝ｔａｎ Ｂ，ｓｉｎ（９０。一Ａ）一ＣＯＳ Ａ，ＣＯＳ（９０。一Ａ）＝ｓｉｎ Ａ。 ｔａｎ（９０。一Ａ）一ＣＯｔ Ａ，ｃｏｔ（９０。一Ａ）一ｔａｎ Ａ． ４ 图５ ２．解直角三角形 解直角三角形只有两种情况：①已知两条边；②已知一条 边和一个锐角． ３．解斜三角形 ５．如图５，圆内接四条边长顺次为５，１０，１１，１４，则这个四 边形的面积为（ Ａ．７８．５ ）． Ｂ．９７．５ Ｃ．９０ Ｄ．１０２ 通过作辅助线转化为解直角三角形．常用的一种辅助线 是作三角形的高，把斜三角形转化为两个共边的直角三角形． ４．解直角三角形的应用 （２００５年全国初中数赛试题） ６．如图６，四边形ＥＦＧＨ是正方形ＡＢＣＤ的内接四边形， 两条对角线ＥＧ和ＦＨ所夹的锐角为 ，且 ＢＥＧ与 ＣＦＨ 都是锐角，已知ＥＧ＝ｈ，ＦＨ＝ｚ．四边形ＥＦＧＨ的面积为Ｓ。求 口Ｃ （１）为线段、角的计算提供新的途径：解直角三角形的基 础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以 转化，突破纯粹几何关系的局限． （２）解实际问题；测量、航行、工程技术等生活生产的实际 问题，许多问题可转化为解直角三角形获解．解决问题的关键 是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为 几何图形，进而转化为解直角三角形． 证：ｓｉｎ 一 ・ Ｂ级——能力提升 ７．如图７，一张矩形纸片 ＡＢＣＤ的边长分别为９ ｃｍ和３ Ｈ（Ｄ） Ｃ（Ａ） ｃｍ，把顶点Ａ和Ｃ叠合在一起，Ｄ 得到折痕ＥＦ． 赛题分层演练 Ａ级一基础强化 （１）证明四边形ＡＥＣＦ是菱Ａ 形； Ｆ Ｂ １．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，已知ＢＣ＝１２ ｃｍ，ＢＣ边上的中 图７ 维普资讯 http://www.cqvip.com
（２）计算折痕ＥＦ的长； （３）求△ＣＥＨ的面积． （第十五届“希望杯”全国数学邀请赛试题） ８．如图８所示。在梯形ＡＢＣＤ中， Ｄ Ａ ＡＤ／／ＢＣ（ＢＣ＞ＡＤ）， Ｄ一９０。，ＢＣ —ＣＤ＝１２， ＡＢＥ一４５。，若ＡＥ＝１０，则 ＣＥ的长度为 ． Ｅ （２００４年全国初中数学竞赛试题） Ｃ Ｂ ９．如图９。在正方形ＡＢＣＤ中，Ｎ是 图８ ＤＣ的中点，Ｍ是ＡＤ上异于点Ｄ的点， 且 ＮＭＢ一 ＭＢＣ，求ｔａｎ ＡＢＭ． １Ｏ．Ｒｔ△ＡＢＣ的三个顶点Ａ、Ｂ、Ｃ 均在抛物线 一 上。并且斜边ＡＢ平 行于 轴．若斜边上的高为ｈ， 则（ ）． Ａ．ｈ＜ｌ Ｂ．ｈ—ｌ Ｃ．１＜＾＜２ Ｄ．ｈ＞２ （２００６年全国初中数学竞赛试题） 答案咨询平台 １． ＢＡＣ＝５６ １９ 。４ ． ２．设直角三角形的两直角边分别为ａ，ｂ，则 ｆ｛ｎｎ＋６＋１ｏ一２ ＋ｂ２—１Ｏ ．４． ．将第二个式子两边平方再减去第一个式 子，得２ａｂ＝９６。则ａｂ＝４８，所以三角形的面积为２４． ３．ＢＣ－－÷． Ｊ ４．如图１１，连结ＡＣ，则△ＡＢＣ为直角 三角形，于是ＡＣ一￣／—ＢＣｚ＋—ＡＢｚ一５， Ｓ△ＡＣＯ＝Ｓ Ａ８ｃＤ—Ｓ△＾Ｒｃ＝３６一 １×３ ．Ｘ４＝３０． ．ＡＣ・ＣＤ・ｓｉｎＺＡＣＤ＝３０． 即 １×５×１２・ｓｉｎＺＡＣＤ＝３０，．．－ｓｉｎ ＺＡＣＤ一１． ＺＡＣＤ一９０。．－－．由勾股定 １１ 理，知ＡＤ＝ 干 一／ 一１３． ５．根据余弦定理，可得５ ＋１４ 一２×５×１４×ＣＯＳ口一１０。 ＋１１。一２×１Ｏ×１１×ＣＯＳ（１８Ｏ。一口），． ．２２１—１４０ｃｏｓ口一２２１ １ ＋２２０ｃｏｓ口．－－．ＣＯＳ口一ｏ． 口一９ｏ。．． ．四边形的面积为÷×５ ‘ １ ×１４＋ ＪＬ×１０×１１—９０，故选Ｃ． ６．如图１２，过Ｆ，Ｈ分别作ＥＧ的 垂线。垂足分别为Ｍ、Ｎ。ＥＧ和ＦＨ的 交点为０． －－．ｓｉｎ 一 一 。１１］ＦＭ—ＦＯ ・ｓｊｎ ＨＮ—ＨＯ・ｓｉｎ Ｓ＝Ｓ ＋ｓ ｃ一÷ＥＧ ・ＦＭ＋ ＥＧ・ＨＮ一 １ ＥＧ・ｓｉｎ ・（Ｆ０＋ＨＯ）＝ｌｅｅ・ＦＨ・ｓｉｎ ．－．－ｓｉｎ 一 一 ＥＧ・ＦＨ ｋｔ‘ Ｈ（Ｄ） ７．（１）如图１３，因为ＡＢ Ｃ（Ａ） ／／ＣＤ，所以ＡＦ／／ＣＥ，ＣＦ／／ ８．ＣＥ的长度为４或６． ９．如图１４，延长ＢＣ、ＭＮ 交于点Ｅ，作ＥＦ上ＢＭ，垂足 为点Ｆ． 设ＡＢ—ａ，ＡＭ— （ ＜ ＇ｎ），则ＭＤ—ａ— ，ＢＭ一 －＿ａ－．Ｅ ￣／ｎ ＋ ．由正方形ＡＢＣＤ及 Ｎ为ＤＣ的中点，知 ＭＤＮ一 ＮＣＥ一９０。， ＤＮＭ一 ＣＮＥ。ＮＤ＝ＣＮ，故△ＭＤＮ △ＥＣＮ，可知ＣＥ＝ＭＤ＝ａ— ，ＢＥ一２ａ— ，由 ＮＭＢ＝ ＭＢＣ，得ＥＢ—ＥＭ＝２ａ一３ｔ：．由 ＥＦ上ＢＭ，知 ＦＥＢ一９０。一 ＦＢＥ＝ ＡＢＭ，ＢＦ一÷ＢＭ，‘ 且 Ａ一 ＢＦＥ一９Ｏ。．故／ＸＡＢＭｃ．／９△ＦＥＢ． ．．． 一 棚Ｂ ＝２ＡＭ・ＢＥ 。＋ ＝２ｘ（２ａ －ｘ），即３ 一４口 ＋ｎ 一Ｏ．分解因式，得（ —ｎ）（３ —ｎ）一Ｏ．－．．３ｘ —ｎ—ｏ， ＝｛ ｐ ＡＭ＝｛ＡＢ．－．－ｔａｎＺＡＢＭ Ａ肋Ｍ＿ １． １Ｏ．设点Ａ的坐标为（口。ａ。）。点Ｃ的坐标为（ｆ。ｆ ）（Ｊ ｆ Ｊ ＜ＩａＩ）。则点Ｂ的坐标为（一ａ。ａ。）。根据勾股定理，得ＡＣ２一 （ｆ—ｎ）。＋（ｆ。一ａ ） ，ＢＣ 一（ｆ＋ａ）。＋（ｆ 一ａ。）。。ＡＢ。一 （２ａ） ．又。 Ａｃ２＋Ｂｃ２一ＡＢ。，．。．（ｆ—ａ） ＋（ｆ。一ａ ） ＋（ｆ ＋口） ＋（ｆ －－ａ ） 一（２口） ．整理。得（口。一ｆ。）。一ａ。一ｆ。。由于 ａ ＞ｆ２。所以ａ 一ｃ２—１。故斜边ＡＢ上高ｈ＝ａ －－ｄ一１。故选Ｒ
