绝对值- 2022-2023学年七年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)

专题1.3 绝对值

模块一：知识清单

1.绝对值

1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a． 2）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

即：（1）如果a0，那么aa；（2）如果a0，那么a0；（3）如果a0，那么aa． a(a0)a(a0)a(a0)aaa0(a0) 可整理为：，或，或a(a0)a(a0)a(a0)4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：|a|0 2.有理数的比较大小

1）两个负数，绝对值大的反而小．

2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．

3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．

模块二：同步培优题库

全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.（2022·辽宁沈阳·七年级期末）2022的绝对值为（ ） A．2022 【答案】A

【分析】数轴上表示数a的点与原点的距离是数a的绝对值，根据定义直接求解即可. 【详解】解：-2022的绝对值是2022，故A正确．故选：A．

【点睛】本题考查绝对值的含义，掌握“利用绝对值的含义求解一个数的绝对值”是解本题的关键． 2.（2021·黑龙江大庆市·九年级一模）若a2与A．1 【答案】B

B．-1

B．2022或2022

C．1 2022D．2022

b3互为相反数，则a+b的值为（ ）

D．-5

C．5

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可的解．

【详解】解：∵a2与

b3互为相反数，∴a2+b3＝0，

1故选：B

∴a2=0，b3=0，解得：a=2，b3，∴ a+b=23【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3．（2022•沂水县期末）下列各式正确的是（ ） A．﹣|﹣|＝

B．﹣（﹣）＝﹣ C．|﹣|＝﹣

D．﹣（﹣）＝

【思路点拨】依据绝对值和相反数的意义，对四个选项的左边进行计算后再判断是否正确． 【答案】解：∵﹣|﹣|＝﹣，∴A选项不正确； ∵﹣（﹣）＝，∴B选项不正确；

∵|﹣|＝，∴C选项不正确；∴D选项正确；∴故选：D．

【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数的应用．依据绝对值和相反数的意义进行相应的化简是解题的关键．

4．（2021•乌苏市期末）下列各组数中，相等的一组是（ ） A．﹣2和﹣（﹣2）

B．﹣|﹣2|和﹣（﹣2）

C．2和|﹣2| D．﹣2和|﹣2|

【思路点拨】运用相反数和绝对值的知识，先化简﹣（﹣2）、﹣|﹣2|、|﹣2|，再判断相等的一组． 【答案】解：因为﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，

所以选项A、B、D中的两个数均不相等，只有选项C中的两个数相等．故选：C． 【点睛】本题考查了相反数和绝对值的化简，题目难度不大． 5．（2021·内蒙古自治区初一期末）已知a15，则a的值为( ) A．6 【答案】C

5,解这个关于a的方程即可求得a的值. 【分析】本题根据绝对值的定义,由已知a15,可得a-1= ±【解析】因为a15，当a-1大于0时，则a-1=5，则a=6， 当a-1小于0时，则a-1= -5，则a= -4, 故选C.

【点睛】此题考查了绝对值的性质，特别注意：互为相反数的两个数的绝对值相等． 6.（2021•郯城县期中）下列说法错误的个数是（ ）

①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数； ③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等．

B．-4

C．6或-4

D．-6或4

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【分析】①一个数的绝对值的相反数一定是负数．反例：当这个数是0时，结果还是0不是负数，所以错误；②只有负数的绝对值是它的相反数．反例：当这个数是0时，结果还是0也是0的相反数，所以错误；③正数和零的绝对值都等于它本身．由绝对值性质可知，正确；④互为相反数的两个数的绝对值相等．正确．所以错误的有2个．

【解答】解：根据绝对值的性质和相反数的概念，得①，②错误；③，④正确．故选：B． 【点评】主要考查了绝对值，相反数的性质和定义．本题中要特别注意一些特殊的数字，如0，有时该数是最后的反例．

7．（2021•广州模拟）若a为有理数，且满足|a|＝﹣a，则（ ） A．a＞0

B．a≥0

C．a＜0

D．a≤0

【思路点拨】根据绝对值的性质①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零可得答案． 【答案】解：∵|a|＝﹣a；∴a≤0，故选：D．

【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质． 8．（2021•南开区期末）若ab≠0，那么A．﹣2

B．0

+

的取值不可能是（ ） C．1

D．2

【思路点拨】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．

【答案】解：∵ab≠0，

∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0； ①当a＞0，b＞0时，③当a＞0，b＜0时，综上所述，

+

++

＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，

++

＝﹣1﹣1＝﹣2； ＝﹣1+1＝0；

的值为：±2或0．故选：C．

【点睛】本题考查绝对值的定义，运用分类讨论思想和熟练掌握并正确运用绝对值的定义是正确解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．（2021•南京）﹣（﹣2）＝ ；﹣|﹣2|＝ ． 【思路点拨】根据求一个数的相反数和绝对值的意义化简求解． 【答案】解：﹣（﹣2）＝2；﹣|﹣2|＝﹣2，故答案为：2；﹣2．

【点睛】本题考查求一个数的相反数和绝对值，理解相关概念准确化简是解题关键． 10．（2021•新都区校级期末）﹣2的绝对值是 ，【思路点拨】根据绝对值和相反数的概念求解．

【答案】解：﹣2的绝对值是2，丨﹣丨＝，∴丨﹣丨的相反数是﹣， 故答案为：2；﹣．

【点睛】本题考查绝对值和相反数概念，理解绝对值和相反数的概念是解题基础． 11．（2021•海淀区校级月考）|﹣8|＝ ，绝对值等于4的数是 ． 【思路点拨】利用绝对值的定义以及相反数的定义分析的分析得出答案． 【答案】解：|﹣8|＝8；绝对值等于4的数是：±4．故答案为：8，±4． 【点睛】此题主要考查了绝对值和相反数，正确掌握相关定义是解题的关键． 12．（2021•郫都区校级月考）若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x＝ ，y＝ ． 【思路点拨】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值即可． 【答案】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0， 解得x＝3，y＝﹣2，答案为：3，﹣2．

【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．

13.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，550，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子63，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子a5在数轴上的意义是______． 【答案】表示a的点与表示-5的点之间的距离 【分析】利用绝对值的意义即可求解．

【详解】解：因为550，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子63，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离， 所以式子a5在数轴上的意义是表示a的点与表示-5的点之间的距离． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．

mn=_________ 14．n是两个非零有理数，（2022·江西·峡江县教学研究室七年级期末）已知m、则

mn的相反数是 ．

【答案】0或2或-2

【分析】对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论，再进行绝对值得化简求值即可．

【详解】解：当m0，n0时，

mnmnmnmn2； 0；当m0，n0时，

mnmnmnmnmnmnmnmn20； 当m0，n0时，；当m0，n0时，mnmnmnmn综上可知：

mn的值为0或2或-2．故答案为：0或2或-2． mnn是两个非零有理数的正负进行分类讨论是本题解题的关键． 【点睛】本题考查绝对值的化简．对m、15．（2021·华中师范大学附属惠阳学校七年级月考）化简：34________． 【答案】1

【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算． 【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1，故答案为：1．

【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟记求绝对值的法则．

16.（2022·河南安阳·七年级期末）若x为任意有理数，x表示在数轴上x表示的点到原点的距离，xa表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则x3x1的最小值为________． 【答案】4

|x-3|+|x+1|【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于-1和3之间时，取得最小值，即为数轴上-1和3之间的距离．

【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离， ∴|x-3|+|x+1|表示数轴上数x与3和数x与-1对应的点之间的距离之和，

∴当-1≤x≤3时，代数式|x-3|+|x+1|有最小值，最小值为3-x+x+1=4，故答案为：4．

【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共52分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022·广东·七年级期末）在有理数3，﹣1.5，﹣3，0，2.5，﹣4，﹣（+3.5），|﹣|中，求出其中分数的相反数和绝对值．

【思路点拨】据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得一个数的绝对值；

【答案】解：﹣1.5的相反数1.5，绝对值是1.5；﹣3的相反数是3，绝对值是3；2.5的相反数是﹣2.5，绝对值是2.5；﹣（+3.5）＝﹣3.5相反数是3.5，绝对值是3.5；|﹣|＝相反数是﹣，绝对值是．

【点睛】本题考查了绝对值，利用了绝对值得性质：正数的绝对等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．

18.（2021•江岸区校级月考）若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求3x﹣y的值．

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，|2x﹣4|+|y﹣3|＝0，所以，2x﹣4＝0，y﹣3＝0，解得x＝2，y＝3， 则3x﹣y＝3×2﹣3＝3．

【点评】本题考查了非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．

19．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期末）创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途设12个上下车站点，如图所示：

下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站 数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；(1)请通过计算说明A站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 【答案】(1)长江路口 (2)39.2千米

【分析】（1）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值即可判断A站的位置； （2）计算所有站数绝对值的和，再乘以相邻两站之间的平均距离即可． (1)解：由题意得，

52611813247=56817211324 =2722=5．

柒悦城向南第5站为长江路口，A站是长江路口． (2)解：由题意得，

(52611813247)0.8=(5+2+6+11+8+1+3+2+4+7)0.8=490.8

=39.2（千米）

故这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是39.2千米．

【点睛】本题考查正负数和绝对值的实际应用，读懂题意，理解题中正负号代表的意义是解题的关键．20．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．(2)化简：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|． 【答案】(1)＜，＞，＞，＜(2)b

【分析】（1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可； （2）判断b+c，c﹣a的符号，再化简绝对值即可．

(1)解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c， ∴c﹣b＞0，ab＜0

故答案为：＜，＞，＞，＜；

(2)由有理数a、b、c在数轴上的位置可得， b+c＞0，c﹣a＞0，

∴|a|+|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣a+b+c﹣c+a＝b．

【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号是正确化简的关键．

21.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：x32．

解：当x30时，原方程可化为x32，解得x1； 当x30时，原方程可化为x32，解得x5． 所以原方程的解是x1或x5． (1)利用上述方法解方程：3x24．

(2)当b满足什么条件时，关于x的方程x2b1，①无解；②只有一个解；③有两个解． 2【答案】(1)x2或x (2)①当x2b1无解时，b1；②当x2b1只有一个解时，b1；

3当x2b1有两个解时，b1

【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答． (1)当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，解得x=2； 2当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，解得x．

3

2所以原方程的解是x=2或x；

3(2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解； ②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解； ③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．

【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．

22．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求

+

+

的值．

【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则

+

+

＝++＝1+1+1＝3；

+

+

＝

②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则+

+

＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．

+

+

值为3或﹣1．

综上所述，

【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求

+

+++

的值是 0 ； 的值； +

的值．

（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求

【思路点拨】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；

（2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．

【答案】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0， 当a＞0，b＜0时，当 a＜0，b＞0时，故答案为：0． （2）abc＜0，

∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，

； ．

则：＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；

②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则

＝﹣1+1+1＝1

（3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a． a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，

＝1﹣1﹣1＝﹣1．

【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键．

23．（2021·临海市外国语学校七年级期中）已知： b是最小的正整数，且a、b满足（c－5）2＋|a＋ b|＝ 0请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值： a＝ ，b＝ ，c＝ ， （2）数轴上a， b， c所对应的点分别为A，B，C，则 B，C两点间的距离为 ； （3）在（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动了t秒，①此时A表示的数为 ；此时B表示的数为 ；此时C表示的数为 ；

②若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－ AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）-1；1；5；（2）4；（3）①-1-t；1+2t；5+5t；②BC-AB值为2，不随着时间t的变化而改变．

【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据c2＋|a+b|=0，即可求出a、c； （2）由（1）得B和C的值，通过数轴可得出B、C的距离；

（3）①在（2）的条件下，通过运动速度和运动时间可表示出A、B、C； ②先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2． 【详解】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1． ∵（c-5）2+|a+b|=0，∴a=-1，c=5；故答案为：-1；1；5；

（2）由（1）知，b=1，c=5，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，B、C两点间的距离为4； （3）①点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，运动了t秒，此时A表示的数为-1-t； 点B以每秒2个单位长度向右运动，运动了t秒，此时B表示的数为1+2t； 点C以5个单位长度的速度向右运动，运动了t秒，此时C表示的数为5+5t．

②BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：

∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC=5+5t –(1+2t)=3t+4，AB=1+2t –(-1-t)=3t+2， ∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2．

【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

24．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·七年级期中）综合与实践． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）探究：①数轴上表示6和1的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示﹣2和﹣7的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示﹣3和6的两点之间的距离是 ．

（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 ．

（3）应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是12，则可记为：|a﹣3|＝12，那么a＝ ．②若数轴上表示数a的点位于﹣3与6之间，求|a＋3|＋|a﹣6|的值．

【答案】（1）①5；②5；③9；（2）|a﹣b|；（3）①﹣9或15；②9

【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案，（2）由特殊到一般，得出结论， （3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案；

②由|a＋3|＋|a﹣6|所表示的意义，转化为求数轴上表示﹣3的点到表示6的点之间的距离． 【详解】解：（1）①|6﹣1|＝5，②|﹣2﹣（﹣7）|＝5，③|﹣3﹣6|＝9，故答案为：5，5，9； （2）由数轴上两点距离的计算方法可得，|a﹣b|；故答案为：|a﹣b|；

（3）①由题意得，a﹣3＝12或a﹣3＝﹣12，解得，a＝15或a＝﹣9，故答案为：﹣9或15； |a﹣6|表示数轴上表示数a 与6两点之间的距离，②|a＋3|表示数轴上表示数a与﹣3的点之间的距离，

当数a的点位于﹣3与6之间时，有|a＋3|＋|a﹣6|＝|3﹣（﹣6）|＝9， 故答案为：①﹣9或15，②9.

【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键．