综合测试(六)

考试时间：120分钟 考试范围：综合测试

姓名：__________班级：__________考号：__________

题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

7.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

（ ）

1619(B)  (A)

是符合题目要求的） 1.已知复数z满足|2zi|2，则|z2i|的最小值是（ ）

13A.2 B.2 C.1 D.2

2.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得AC,BCUC”是“AB”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知实数x,y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是

(A)

1x211y21 (B) ln(x21)ln(y21) (C) sinxsiny (D) x3y3 4.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射

线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为

x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,]上的图像大致为

5.在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0),g(x)logax的图像可能是（ ）

6.在△ABC中，已知sinBsinCcos2A2，则三角形△ABC的形状是（ ）

(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)等边三角形(D)等腰直角三角形

万卷优化模拟卷

33(C) 1912 (D) 43

8.某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，...aN，其中收入记为正数，支出记为负数.

该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在右图中空白的判断框和处理框中，

应分别填入下列四个选项中的 （ ）

开始输入N，a1,a2,...,aNk=1,S=0,T＝0A=ak否是k＝k +１T＝T + AS＝S+ Ak9.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90

种不同的选法，则男女生人数为（ ）

A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2

10.已知函数f(x)x3ax2bxc，在定义域x[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切

线斜率均为1.有以下命题：

①fx是奇函数；②若fx在s,t内递减，则ts的最大值为4；③fx的最大值为M，最小

1

值为m，则Mm0； ④若对x2,2，k≤f(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为（ ）

A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个

22xy11.已知双曲线C:它的准21(a0,b0)的左.右焦点分别为F1.F2抛物线C2的顶点在原点，12ab

①当0CQ113时，S为四边形；②当CQ时，S为等腰梯形；③当CQ时，S与C1D1的交224线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2F1F20，则双曲线C1的离心率为（ ） A.2B.3C.23D.22 3316点R满足C1R1；④当CQ1时，S为六边形；⑤当CQ1时，S的面积为。

43216.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向

量AC＝λDE＋μAP，则λ＋μ的最小值为 .

12.对于数列{an},若存在常数M,使得nN*,an与an1中至少有一个不小于M,则记:{an}M,那么下

列命题正确的是（ ）

A.若{an}M,则数列{an}的各项均大于或等于M B.若{an}M,{bn}M,则{anbn}2M

2C.若{an}M,则{an}M2D.若{an}M,则{2an1}2M1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率

为______.

三、解答题（本大题共5小题，共60分） 17.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

22an2b(nN*) 设a11,an1an（1）若b1，求a2,a3及数列{an}的通项公式；

（2）若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论.

18.如图,四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,AB=2BF,DE⊥平面ABCD,G为EF的中点.(1)求证:

（1）CF∥平面ADE;

(2)求证:平面ABG⊥平面CDG; (3)求二面角C-FG-B的余弦值.

14.二项式1+sinx的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为

2]内的值为 .

15.如图，正方体ABCDA1BC11D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q

的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是___（写出所有正确命题的编号）。

n5，则x在[0，2万卷优化模拟卷

2

19.随机将1,2,,2nnN,n2这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为a1，

最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记a2a1,b1b2 （1）当n3时，求的分布列和数学期望；

（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率pC；

（3）对（2）中的事件C,C表示C的对立事件，判断pC和pC的大小关系，并说明理由。

20.如图，设P是抛物线C1:x2y上的动点，过点P作圆C2:x2(y3)21的两条切线，交直线l:y3于

A,B两点.

21.已知函数f(x)xlnx

（I）求f(x)的最小值；

（II）讨论关于x的方程f(x)m0(mR)的解的个数； （III）当a0,b0时,求证:f(a)f(b)f(ab)(ab)ln2.

四、解答选做（请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分。作

答时写清题号，每题10分）

22.如图在ABC中，ACB为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，

且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM. (1)求证：E，H，M，K四点共圆； (2)若KE=EH，CE=3，求线段KM的长.



(1)求C2的圆心M到抛物线C1准线的距离；

(2)是否存在点P,是线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.

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3

23.选修4—4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系xOy,以O为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, ,曲线C的参数方

x2cos,5). 程为(为参数).点A,B是曲线C上两点，点A,B的极坐标分别为(1,),(2,36y22sin,（1）写出曲线C的普通方程和极坐标方程; （2）求AB的值.

24.选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=|2x1||2xa|,g(x)=x3. （Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

a1（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[，)时，f(x)≤g(x),求a的取值范围.

22万卷优化模拟卷

4

0.综合测试卷（六）答案解析

一、选择题 1.B 2.C 3.D

解析：

Qaxay,0a1 xy，排除A,B，对于C ，sinx是周期函数，排除C。 4.B

5.Ｄ 6.B 7.B 8.B

9.B 10.B 11.B 12.D

二、填空题

13.2e2

14.6或56

解析:二项式(1+sin x)n

的展开式中,末尾两项的系数之和Cn1nn+Cn=n+1=7,∴n=6,系数最大的项为

第4项,T3351154=C6(sin x)=2,∴(sin x)3=8,∴sin x=2.又x∈[0,2],∴6或6.

15.①②③⑤

16.12

三、解答题

17.（Ⅰ）解法一：a22,a321

再由题设条件知a22n11an11

从而a2n1是首项为0公差为1的等差数列， 故a2n1=n1，即ann11,nN*

解法二：a22,a321

可写为a1111,a2211,a3311,.因此猜想ann11. 下用数学归纳法证明上式： 当n1时结论显然成立.

假设nk时结论成立，即akk11.则

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5

a2k1ak111k111k111

这就是说，当nk1时结论成立. 所以ann11,nN*

（Ⅱ）解法一：设fxx1211，则an1fan.

令cfc，即cc1211，解得c14. 下用数学归纳法证明命题：

a2nca2n11

当n1时，a12f10,a3f021，所以a24a31，结论成立. 假设nk时结论成立，即a2kca2k11 易知fx在,1上为减函数，从而

cfcfa2k1f1a2 即1ca2k2a2

再由fx在,1上为减函数得cfcfa2k2fa2a31.

故ca2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11，这就是说，当nk1时结论成立. 综上，符合条件的c存在，其中一个值为c14. 解法二：设fxx1211，则an1fan

先证：0an1nN*„„„„„„„„„„① 当n1时，结论明显成立. 假设nk时结论成立，即0ak1 易知fx在,1上为减函数，从而

0f1fakf0211

即0ak11这就是说，当nk1时结论成立，故①成立. 再证：a2na2n1nN*„„„„„„„„„„„„②

当n1时，a2f10,a3f021，有a2a3，即当n1时结论②成立

假设nk时，结论成立，即a2ka2k1 由①及fx在,1上为减函数，得

 2 153 3104 3105 15P 13317E2345.

5101052 a2k1fa2kfa2k1a2k2

a2k1fa2k1fa2k2a2k11

这就是说，当nk1时②成立，所以②对一切nN*成立.

2由②得a2na2n2a2n21 2即a2n1a2n2a2n2

2（2）和恰好相等的所有可能值为n1,n,n1,,2n2. 又和恰好相等且等于n1时，不同的分组方法有2种；

和恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种； 和恰好相等且等于nk(k1,2,k

,n2),(n3)时，不同的分组方法有2C2

k种；

所以当n2时，P(C) 当n3时P(C)k2(2C2k)n2k1n2n46231因此a2n

4

13又由①、②及fx在,1上为减函数得fa2nfa2n1 即a2n1a2n2 所以a2n1a22n1C（3）由（2）当n2时，P(C),因此P(C)P(C),

1. 4而当n3时，P(C)P(C),理由如下：

P(C)P(C),等价于4(2C2k)C2n①

knk1n22a2n121,解得a2n11使a2nca2n11对一切nN*成立. 418.解析(1)∵BF∥DE,BC∥AD,BF∩BC=B,DE∩AD=D,

∴平面CBF∥平面ADE.又CF平面CBF, ∴CF∥平面ADE.

综上，由②③④知存在c用数学归纳法来证明：

131当n3时，①式左边4(2C2)16,①式右边C620,所以①式成立

2假设nm(m3)时①式成立，即4(2C2k)C2m成立

kmk1m12m2那么，当nm1时，①式左边4(2 Ck1k2kkm1mm1)4(2C2k)4C2m2C2m4C2m2

k1m2

(2)取AB的中点为M,CD的中点为N,连接GM.GN.MN.AC.MN.BD交于O,连接GO.

∵四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,AB=2BF,DE⊥平面ABCD,G为EF的中点,则GO⊥平面

1ABCD,GO=MN, ∴GN⊥MG.又GN⊥DC,AB∥DC, ∴GN⊥AB.又AB∩MG=M, ∴GN⊥平面GAB,GN平面

2CDG. ∴平面ABG⊥平面CDG.

(3)由已知易得CG⊥FG,由(2)知GO⊥EF, ∴∠CGO为二面角C-FG-B的平面角, ∴cos∠CGO=

GO33=,即二面角C-FG-B的余弦值为. GC33(2m)!4(2m2)!(m1)2(2m)(2m2)!(4m1) m!m!(m1)!(m1)!(m1)!(m1)!(m1)2(2m)(2m2)!(4m)2(m1)mm1m1C2C2m2m2=①式右边 (m1)!(m1)!(2m1)(2m1)即当nm1时①式也成立

综合12得，对于n3的所有正整数，都有P(C)P(C)成立

120.解:因为抛物线C1的准线方程为：y，所以圆心M到抛物

4111线C1准线的距离为：(3).

442（2）设点P的坐标为(x0,x0)，抛物线C1在点P处的切线交

19.（1）当n3时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有

3C620种，所以的分布列为

直线L于点D.再设A，B，D的横坐标分别为xA,xB,xD,过点

22P(x0,x0)的抛物线C1的切线方程为：yx02x0(xx0)①

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6

当x01，过点P(1,1)的圆C2的切线PA为：

y1158(x1)可得x17A15,xB1,xD1，

xAxB2xD.当x01时，过点P(1,1)的圆C2的切线PB

为：y1158(x1)，可得xx17A1,B15，

x1,x，所以x2DAxB2xD010.设切线PA，PB的斜率为

k,kyx212，则PA:0k(xx0),②

PB:yx20k2(xx0),③将y3分别代入①,②,③得 222xx032x(xx03x0D00)，xAx0，xx3B0(k1,k20)

0k1k2,从而x211xk201x03AxB2x0(x03)(k).又1,即 1k2k211(x22(x2201)k2103)x0k1(x03)210.

同理，(x222(x2(x2201)k203)x0k203)10. 所以k1,k2是 方程(x22201)k22(x03)x0k(x03)210的两个不相等的 根，从而kk2(3x220)x0(3x0)112x2，k1k22.因为 01x01xx211x203AxB2D，所以2x0(3x0)(kk)即 12x0(1k1)1.从而2(3x20)x01421x，进而得x08,x048. 1k2x0(x03)0综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为(48,22)

21.解：（I）f(x)的定义域为(0,)

f(x)lnx1,令f(x)0,得:x1e,

当x(0,)时,f(x),f(x)的变化的情况如下：

x (0,11e) e (1e,) f(x) — 0 + f(x) 极小值 所以，f(x)在(0,)最小值是f(11e)e.

（II）当x(0,11e),f(x)单调递减且f(x)的取值范围是(e,0)；当x(11e,)时,f(x)单调递增且f(x)的取值范围是(e,)

下面讨论f(x)m0的解；所以，当m1e时，原方程无解；

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当m1e或m0时，原方程有唯一解； 当1em0时，原方程有两解

（III）原不等式可化为：f(a)f[(ab)a]f(ab)(ab)ln2

设函数g(x)f(x)f(kx)(k0)则g(x)xlnx(kx)ln(kx)(0xk)g(x)lnx1ln(kx)1lnxkx

令g(x)0,则lnxx2xkkx0,kx1,kx0,解得:k2xk,令g(x)0,解得:0xk2 函数g(x)在(0,kk2)上单调递减，在(2,k)上单调递增，

g(x)在(0,k)上的最小值为g(k2)

当x(0,k)时,总有g(x)g(k2),即:f(x)f(kx)f(kkk2)f(k2)2f(2)

klnk2klnkkln2f(k)kln2令xa,kxb,则有:f(a)f(b)f(ab)(ab)ln2. 四、解答选做

22.解：如图连接CH，∵ACAH,AKAE，∴四边形CHEK为等腰梯形，

注意到等腰梯形的对角互补,故C,H,E,K四点共圆,

同理C，E，H，M四点共圆即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上.

(2)连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故MKECEH，由KE=EH可得KMEECH故MKE≌△CEH 即KM=EC=3.

23. (1) 参数方程x2cos,y22sin,(为参数)普通方程x2(y2)24 „„„3分

普通方程x2(y2)244sin (为参数) „„„„„„„„6分

7

(2)方法1：A(51,3),B(2,6)可知AOB2,AB为直径，AB4 方法2(51,3),(2,6)直角坐标A(3,3),B(3,1)两点间距离AB4„„10分 24.【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法.不等式恒成立求参数范围，是容易题.

【解析】当a=-2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x1||2x2|x30，

5x, x12设函数y=|2x1||2x2|x3，y=x2, 1x1，

23x6, x1其图像如图所示，

从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y＜0，∴原不等式解集是{x|0x2}.

（Ⅱ）当x∈[a2，12)时，f(x)=1a，不等式f(x)≤g(x)化为1ax3，

∴xa2对x∈[a1a42，2)都成立，故2a2，即a≤3，

∴a的取值范围为（-1，43].

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