2020年上学期初二期末试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列运算正确的是( ) A. a2 a 3 a6 【答案】B 【解析】 【分析】
根据同底数幂乘法，同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、a2a3a5，故本选项错误； B、(a3)2a6，故本选项正确； C、a9a3a6，故本选项错误； D、(bc)4b4c4，故本选项错误； 故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法，同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题关键． 2. 对于二次函数 y 2(x 3) 2的图象，下列说法不正确的是( ) A. 开口向下 C. 顶点坐标为(3, 0) 【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标，再利用增减性可判断D选项，可求得答案． 【详解】解：∵y＝-2（x+3）2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝-3，顶点坐标为（-3，0）， ∴A、B、C都正确，
∵对称轴为x＝-3，开口向下， ∴当x3时，y随x的增大而增大， 故D不正确， 故选：D．
B. 对称轴是直线 x 3
D. 当 x 3 时，y 随 x 的增大而减小
B. (a3 )2 a6
C. a 9 a3 a3
D. ( bc)4 b4 c4
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，0）．
3. 为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A. 中位数 【答案】C 【解析】
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选C．
4. 已知k＞0，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是( )
B. 平均数
C. 众数
D. 加权平均数
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
利用k的符号得出一次函数经过的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵k＞0，∴一次函数经过第一、三象限， ∴-k＜0，则一次函数经过y轴的负半轴， 故选B．
【点睛】本题考查一次函数的图象，正确把握一次函数经过的象限与各项符号的关系是解题关键． 5. 如图，
ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围是（ ）
A. 1＜AB＜7 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 2＜AB＜14 C. 6＜AB＜8 D. 3＜AB＜4
BO=3，根据平行四边形对角线互相平分可得AO=4，再根据三角形的三边关系可得4-3 A. 16cm2 【答案】C 【解析】 的 B. 83cm2 C. 163cm2 D. 32cm2 【分析】 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCE＝60°，判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°， 4＝8cm， ∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×∵∠ECD＝30°， ∴∠BCE＝90°−∠ECD＝90°−30°＝60°， ∴△CEF是等边三角形， 过点E作EG⊥CF于G， 则EG＝ 33EF＝×4=23cm， 22∴矩形的面积＝8×23＝163cm2． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，求出矩形的宽是解题的关键． 7. 如图，顺次连接四边形 ABCD 各边中点得四边形 EFGH，要使四边形 EFGH 为矩形，则应添加的条件是( ) A. AB//CD B. AC ⊥ BD C. AC = BD D. AD = BC 【答案】B 【解析】 【分析】 根据矩形的性质和中位线的性质即可得到结果； 【详解】∵E、F、G、H是四边形各边中点， ∴易得四边形EFGH是平行四边形， 当AC ⊥ BD时，四边形EFGH是矩形． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了举行的性质，利用中位线求解是关键． 8. 我市某家快递公司，今年 8 月份与 10 月份完成投递的快递总件数分别为 6 万件和 8.5 万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x ，则下列方程正确的是( ) A. 6(1 x) 8.5 C. 6(1 x)2 8.5 【答案】C 【解析】 分析】 该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据今年8月份与10月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x， 根据题意得：6（1＋x）2＝8.5， 故选：C． B. 6(1 2 x) 8.5 D. 6 6(1 x) 6(1 x) 2 8.5 【键． A. -3 B. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 9. 关于 x 的一元二次方程 x2 (a2 3a)x a 0 的两个实数根互为倒数，则 a 的值为( ) C. 1 D. -3 或 0 根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2＋（a2−3a）x＋a＝0的两个实数根互为倒数， ∴x1•x2＝a＝1， 则a的值为1． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2−4ac≥0）的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝−＝ b，x1•x2ac． a10. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( ) A. 10 尺 【答案】D 【解析】 【分析】 B. 11 尺 C. 12 尺 D. 13 尺 找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x＋1）尺， 根据勾股定理得：x2＋（解得：x＝12， 芦苇的长度＝x＋1＝12＋1＝13（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：D． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 11. 如图，已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 与一次函数y kx m的图象相交于 A(1，4)、B(6，3) 两 102 ）＝（x＋1）2， 2 点，则能使关于 x 的不等式 ax2 bx c kx m 0 成立的 x 的取值范围是( ) A x 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：ax2bckxm0，即为ax2bxc＜kx+m， ∵A（−1，4）、B（6，3）， ∴不等式ax2＋bx＋c＜kx＋m成立的x的取值范围是−1＜x＜6． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 12. 如图，抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点A(1，0)，顶点坐标(1， n)，抛物线与 y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①a b c 0 ；②对于任意实数 m，a b am2 bm总成立； ③ 关于 x 的方程 ax2 bx c n．有两个相等的实数根；④ 1 a ( ) . B. 1 x 6 C. x 6 D. x 1或x 6 2，其中结论正确的个数为3 A. 1 个 【答案】D 【解析】 【分析】 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 y>0，①根据当x=1时，则将其代入yax2bxc得y=a+b+c>0正确，即①正确；②根据抛物线顶点坐标（1，n），得出当x=1时，二次函数有最大值n，即y=a+b+c=n是最大值，将x=m代入得y=am2+bm+c，即可得出a+b≥am2+bm正确，即②正确；③由ax2+bx+c=n，令y1=ax2+bx+c，y2=n，根据二次函数的顶点坐标为（1，n），得出y1=ax2+bx+c最大值为n，即可得抛物线与y2=n仅一个交点，即关于x的方程ax2+bx+c=n有两个 b=1，得出2a+b=0，根据抛物线与y轴交点在（0，2）2a2（0，3）之间，得出2≤c≤3，将A（-1，0）代入得a-b+c=a+2a+c=0，可得c=-3a，2≤-3a≤3，即可求出1≤a≤-， 3相等实数根，即③正确；④根据对称轴为直线x=即④正确． 【详解】解：①由图可得x=1时，y>0，则将其代入yax2bxc得y=a+b+c>0正确，即①正确； ②∵抛物线顶点坐标（1，n）， ∴当x=1时，二次函数有最大值n， ∴y=a+b+c=n是最大值， 将x=m代入得y=am2+bm+c， 则a+b+c≥am+bm+c， 即a+b≥am2+bm正确，即②正确； ③由ax2+bx+c=n， 令y1=ax2+bx+c，y2=n， 由题意二次函数的顶点坐标为（1，n）， 即y1=ax2+bx+c最大值为n， ∴抛物线与y2=n仅一个交点， 即关于x的方程ax2+bx+c=n有两个相等实数根，即③正确； ④∵对称轴为直线x=即b=-2a， ∴2a+b=0， ∵抛物线与y轴交点在（0，2）（0，3）之间， ∴2≤c≤3， 将A（-1，0）代入得a-b+c=a+2a+c=0， ∴c=-3a，2≤-3a≤3， ∴1≤a≤- b=1， 2a2，即④正确； 3故①②③④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 213. 甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了 10 次，平均成绩均为 7.6 米，方差分别为 S甲 0.2 ， S2乙=0.08，成绩比较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】 根据方差的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵S∴S2甲＞ 2甲 0.2 ， S2乙=0.08， S2乙， ∴乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的定义，掌握知识点是解题关键． y 轴分别交于 A、B 两点，坐标系原点为 O，求△ABO 的面积___________． 14. 函数 y=2x+6 的图象与 x、【答案】9 【解析】 【分析】 先求出A，B两点的坐标，然后再求面积即可． 【详解】解：当x=0时，y=6， 故B点坐标为：（0，6）， 当y=0时，0=2x+6， 解得x=-3， ∴A点的坐标为（-3，0）， ∴OA=3，OB=6， ∴S△ABO= 1×3×6=9， 2故答案为：9． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求出A，B两点的坐标是解题关键． 15. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱 形ABCD =24，则 AH_______． 【答案】 24 5【解析】 【分析】 根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4， ∴S菱形ABCD＝∴AC＝6， ∴OC＝ 1BD＝24， ×AC× 21AC＝3， 2∴BC＝OB2OC2＝5， AH＝24， ∵S菱形ABCD＝BC× 24， 524故答案为：． 5∴AH＝ 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键． 16. 如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交 CD 于 G，接 CF，AG．下列结论：① AE∥FC; ②∠EAG 45°，且BE DG EG ；③ SCEFAD 3DG ，正确是_______ (填序号)． 1S正方形ABCD；④ 9 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 ①根据折叠得△ABE≌△AFE，证明△EFC是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF，即可证明AE∥FC，故①正确；②根据四边形ABCD是正方形，且△ABE≌△AFE，证明Rt△AFG≌Rt△ADG，得出∠FAG=∠GAD，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE，DG=FG，即可得BE+DG=EF+GF=EG，故 aa12a，再根：=3：2，得出S△EFC：S△FCG=3：2，即S△EFC= 2310121a：a2，即S△CEF=SABCD，故③错误；④设正方形的边长为a，根据SABCD=a2，得出S△CEF：S△ABCD= 1010②正确；③先求出S△ECG，根据EF：FG=据勾股定理得AE=AB2BE2=即可得出结论，故④正确． 【详解】解：①由折叠可得△ABE≌△AFE， ∴∠BEA=∠AEF，BE=EF， ∵E是BC中点， ∴BE=CE=EF， ∴△EFC是等腰三角形， ∴∠EFC=∠ECF， ∵∠BEF=∠EFC+∠FEC， ∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF， ∴AE∥FC，故①正确； ②∵四边形ABCD是正方形，且△ABE≌△AFE， ∴AB=AF=AD，∠B=∠D=∠AFG， ∴△AFG和△ADG直角三角形， ∴在Rt△AFG和Rt△ADG中a5a，设DG=x，则CG=a-x，FG=x，EG=+x，再根据勾股定理求出x， 22ADAF ， AG AG∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL）， ∴∠FAG=∠GAD， 又∵∠BAF+∠FAD=90°， ∴2∠EAF+2∠FAG=90°， 即∠EAF+∠FAG=45°， ∴∠EAG=45°， 由全等得：BE=FE，DG=FG， ∴BE+DG=EF+GF=EG，故②正确； ③对于Rt△ECG， S△ECG= 12a211×EC×CG=××a=a， 22623aa：=3：2， 2312a， 10∵EF：FG= 则S△EFC：S△FCG=3：2，即S△EFC=又∵SABCD=a2， 则S△CEF：S△ABCD= 121a：a2，即S△CEF=SABCD，故③错误； 1010a=EC， 25a， 2④设正方形的边长为a， ∴AB=AD=AF=a，BE=EF= 由勾股定理得AE=AB2BE2=设DG=x，则CG=a-x，FG=x， EG= a+x， 2aa+x）2=（）2+（a-x）2， 22∴EG2=EC2+CG2，即（解得x= a2，CG=a， 33即AD=3DG成立，故④正确． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 三、计算题（每小题6分，共18分） 17. 计算：223827|3|． 【答案】-【解析】 【分析】 根据负整数指数幂，立方根，算术平方根，绝对值的运算法则进行计算即可． 7-23 4 【详解】解：原式==- 1-2-33+3 47-23． 4【点睛】本题考查了负整数指数幂，立方根，算术平方根，绝对值，掌握运算法则是解题关键． 18. 解下列一元二次方程 （1）x2 4x 8 0； （2）(x3)25(x3)． 【答案】（1）x1=23-2，x2=-23-2；（2）x1=3，x2=8． 【解析】 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）先移项，然后提取公因式求解． 【详解】解：（1）x24x80 x24x=8 x2 4x+4=8+4 （x+2）2=12 x+2=±23 x=±23-2 x1=23-2，x2=-23-2； （2）(x3)5(x3) 2(x3)25(x3)=0 (x3)(x35)=0 (x3)(x8)=0 x1=3，x2=8． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键． 19. 先化简，再求值：11x，其中x31． x1x21 【答案】x1，3 【解析】 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】11x1xx1 x1x21x1x1(x1)(x1)x(x1)(x1)x1； x1x31时，原式3113． 当x【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 四、解答题（20、21各8分，22、23各9分，24、25各10分） 20. 某中学为调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同字，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题 （1）请你补全条形统计图 （2）在这次调查的数据中，做作业所用时间的众数是 小时，中位数是 小时，平均数是 小时； （3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天组作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人? 【答案】（1）见解析；（2）众数是3小时，中位数是3小时，平均数是3小时；（3）1360人 【解析】 【分析】 （1）用样本容量减已知各部分的人数求出平均每天作业用时是4小时的人数，然后补全统计图. （2）利用众数，中位数，平均数的定义即可求解； （3）利用总人数2000乘以每天做作业时间在3小时内（含3小时）的同学所占的比例即可求解． 【详解】（1）每天作业用时是4小时的人数是：50﹣6﹣12﹣16﹣8＝8（人），如图 （2）∵每天作业用时是3小时的人数最多， ∴众数是3小时； ∵从小到大排列后排在第25和第26位的都是每天作业用时是3小时的人， ∴中位数是3小时； 平均数是 61221638485=3小时， 5061216＝1360（人）， 50故答案为：3小时、3小时、3小时； （3）2000×答：估计该校全体学生每天组作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有1360人． 【点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的求法和用样本估计总体的知识． 21. 已知关于x的一元二次方程x(2m1)xm（1）若m为正整数，求m的值； （2）在（1）的条件下，求代数式(x1x1)(x1x2)的值． 【答案】（1）m=1；（2）【解析】 【分析】 （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m 取值范围； （2）首先利用根与系数的关系得出x1+x2= -1，x1·x2=【详解】（1）∵关于x的方程x(2m1)xm∴△＞0，即(2m1)4(m)0， 解得m<2， 22222222270有两个不相等的实数根 x1,x2． 415． 83，再把要求的式子变形，代入求解即可． 470有两个不相等的实数根， 474 ∵m为正整数，∴m=1； （2）由m=1，得xx230， 4∵x1,x2是一元二次方程的两个实数根， ∴x1+x2= -1，x1·x2=2223， 4∴(x1x1)(x1x2)= 3152(xx)2xx． 121248【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． ，连接 CM 交 DN 于点 O． 22. 如图，在▱ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，∠AND＝90° （1）求证：△ABN ≌△CDM； （2）求证：四边形 CDMN 为菱形； （3）过点 C 作 CE⊥MN 于点 E，交 DN 于点 P，若 PE＝1，∠1＝∠2， 求 NC 的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）23． 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得：ABCD,ADBC,BMDC，利用边角边的判定定理即可证明； （2）因为MD//NC且MDNC，所以四边形 CDMN为平行四边形，又在Rt△AND中，根据直线三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得邻边相等，即得证菱形； （3）根据等边对等角得：1MND，根据两直线平行内错角相等得：1DNC，故可知 1230，在Rt△PEN和RtCNE中，根据30直角三角形的性质可求得答案． 【详解】解：（1）因为四边形ABCD为平行四边形， 所以ABCD,ADBC,BMDC M、N分别是AD、BC 的中点 BNMD11ADBC 22在ABN和CDM中 ABCDBMDC BNDMABNCDM(SAS) （2） MD//NC且MDNC 四边形 CDMN为平行四边形 又在Rt△AND中，∠AND＝90° M是AD中点， NMMDNC 四边形 CDMN 为菱形 （3）根据（2）得：NMMDNC 1MND AD//BC 1DNC 12 2DNC 又CEMN 2DNCMND90 1230，MNC60 在Rt△PEN中，PE＝1， PN2,EN3 同理：RtCNE中，NC23 MNC60,NCMN CMN是等边三角形 CMNC23． 【点睛】本题考查四边形的综合题，全等三角形的判定与性质、特殊四边形的判定与性质、30直角三角形的性质等，属于一般题型． 23. 今年在全球大疫情的影响下，人们更加关注身边的空气质量。某电商代理销售 A、B 两种型号的智能空气净化器，已知每台 A 型智能空气净化器比每台 B 型智能空气净化器的售价高 300 元；4 台 A 型的 智能空气净化器的售价与 5 台 B 型的智能空气净化器的售价相等． （1）求每台 A、B 两种智能空气净化器的售价分别多少元？ （2）若卖出每台 A、B 两种智能空气净化器的利润分别为 200 元与 150 元，七月份前平均每周可以分别卖出 A、B 型号智能空气净化器 18 台与 20 台；进入七月份后，开始降价促销，A、B 两种型号的智能空气净化器都是每降价 20 元平均每周可多卖 4 台；问该电商要得到最大利润，问每台智能空气净化器应降价多少元，最大利润多少元？ 【答案】（1）A智能空气净化器售价1500元，B智能空气净化器售价1200元；（2）每台智能空气净化器应降价40元，最大利润7240元 【解析】 【分析】 （1）设A净化器售价x元，B净化器售价x-300，根据题意列方程求解即可； （2）设每台智能空气净化器应降价m元，最大利润W元，先求出m的取值范围，然后列出W的解析式，计算即可． 【详解】解：（1）设A净化器售价x元，B净化器售价x-300， 则列方程：4x=5（x-300）， 解得x=1500 ∴x-300=1200， 答：A智能空气净化器售价1500元，B智能空气净化器售价1200元； （2）设每台智能空气净化器应降价m元，最大利润W元， 则由150-m≥0且m≥0， 得0≤m≤150， W=（200-m）（18+=mm×4）+（150-m）（20+×4） 202022 m+32m+6600 52=（m-40）2+7240 5当m=40时，W有最大值为7240元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键． 24. 我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则四边形 ABCD 是“准筝形”． （1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”） （2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的长． （3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO = 3E 在 F 的左侧，，在 BD 上存在移动的线段EF，且 EF＝1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的 2长度． 【答案】（1）真；（2）21；（3）【解析】 【分析】 （1）先根据在准筝形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD=AD，设AC与BD交于点O，得出OA=OC，OB=OD，推出四边形ABCD是平行四边形，再根据AD=CD，即可证明四边形ABCD是菱形，即可得出结论； （2）设AC与BD交于点O，根据AC⊥BD，得到AB2=AO2+BO2，AD2=AO2+DO2，CD2=CO2+DO2，BC2=OB2+OC2，可得AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，根据AD=3，АВ=2，BC=4，即可求出CD； （3）过P作PG⊥AO于G，过A作AM//EF且AM=EF，作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H，交PG于R，连接PN交OD于F，先证明四边形AEFM是平行四边形，得到AE=MF，根据M、N关于OD对称，得出MF=NF，推出当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值，根据AP=2，EF=1，得出当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值，然后证明四边形AOHM是矩形，得出 333 4331，根据在Rt△AOD中，OA=，AD=3，PG⊥OA，求出AG=AP=1， 222HFNH3PG=3AG=3，PR=PG-GR=PG-AM=3-1，RN=HN+HR=2，==，证明△NHF∽△NRP，得出 RPNR4АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=求出HF= 33PR=4314=333，根据OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1，即可得出OЕ． 4 【详解】解：（1）三条边相等准筝形是菱形是真命题， 在准筝形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD=AD， 设AC与BD交于点O， ∴OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴三边相等的准筝形是菱形， 故答案为：真； （2）设AC与BD交于点O， 的， ∵AC⊥BD， ∴AB2=AO2+BO2， AD2=AO2+DO2， CD2=CO2+DO2， BC2=OB2+OC2， ∴AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2， ∵AD=3，АВ=2，BC=4， ∴22+CD2=32+42， ∴CD=21， ∴CD的长为21； （3）过P作PG⊥AO于G， 过A作AM//EF且AM=EF， 作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H， 交PG于R，连接PN交OD于F， ∵AM//EF，AM=EF， ∴四边形AEFM是平行四边形， ∴AE=MF， ∵M、N关于OD对称， ∴MF=NF， ∴AE+PF=MF+PF=NF+PF≥PN， ∴当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值， ∵AP=2，EF=1， ∴当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值， ∵AM//OD，ОA//MН，∠AOD=90°， ∴四边形AOHM是矩形， ∴АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=在Rt△AOD中，OA=∴∠ADO=30°， ∵PG⊥OA， ∴PG∥OD， ∴∠APG=∠ADO=30°， 3， 23，AD=3， 2 ∴AG= 1AP=1，PG=3AG=3， 2∴PR=PG-GR=PG-AM=3-1， ∵HR= 31-1=， 22∴RN=HN+HR=2， ∵PG//OD， ∴△NHF∽△NRP， ∴ HFNH3==， RPNR433PR=4∴HF= 314=333， 4∵OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1， ∴OЕ=HF=333， 4333． 4故四边形AEFP周长最小时，OE的长度为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 25. 如图，抛物线 y x 2 2x+3 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是抛物线上的一个动点． （1）求直线 BD 的解析式； （2）当点 P 在第一象限时，求四边形 BOCP 面积的最大值，并求出此时 P 点的坐标； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使△BDP 是以 BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x-3；（2）四边形BOCP面积的最大值为 31563，P点坐标为（，）；（3）存在，点P的 482坐标为（0，0）或P（【解析】 【分析】 333933333933，）或P（，） 2222（1）先求出A（-1，0），B（3，0），C（0，3），根据点D与点C关于x轴对称，求出D（0，-3），设直线BD的解析式为y=kx+b，将B，D代入求解即可； （2）连结BC，过点P作PM//y轴交BC于M，先求出S△OBC，然后求出直线BC的解析式，设P点坐标为（m，-m2+2m+3），则M点坐标为（m，-m+3），可得PM=-m2+2m+3+m-3，求出PM的最大值，根据S△BCP=S△PMC+S△PMB，得出△BCP的面积最大值为得出答案； （3）连结BC，根据现有条件推出，点P与点C重合时，∠PBD=90°，△BDP是以BD为直角边的直角三角形，即P点坐标为（0，0）；然后讨论当∠PDB=90°时，设直线PD的解析式为y=-x+b3，求出解析式，联 2792763=，即可得S四边形BOCP=S△BOC+S△BCP≤+，即 8288yx3333333x=x=,即可得出P的坐标． 立得，解出，12222yx2x3【详解】解：（1）令x=0，y=3， 令y=0，x2-2x-3=0， （x-3）（x+1）=0， x1=3，x2=-1， ∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴D（0，-3）， 设直线BD的解析式为y=kx+b， 将B，D代入得3kb0， b3k1解得， b3∴y=x-3， 即直线BD的解析式为y=x-3； （2）连结BC，过点P作PM//y轴交BC于M， ∵В（3，0），С（0，3）， ∴OВ=OC=3， ∴S△OBC= 911OB·OC=×3×3=， 222设直线BC的解析式为y=k2x+b2， 将B，C代入得3k2b0， b32k21解得， b32∴y=-x+3， 设P点坐标为（m，-m2+2m+3）， 则M点坐标为（m，-m+3）， ∴PM=-m2+2m+3+m-3 =-m2+3m 329）+ 4293∴当m=时，PM取得最大值为， 42=-（m-∵S△BCP=S△PMC+S△PMB = 1PM·OB 2 = 273PM≤ 8227， 8∴△BCP的面积最大值为 ∴S四边形BOCP=S△BOC+S△BCP≤ 92763+=， 2833315，y=-（）2+2×+3=-+6=， 4422263∴四边形BOCP面积的最大值为， 8315此时P点坐标为（，）； 42∴当m= （3）存在，连结BC， ∵OC=OB=OD=3， ∴∠OBC=∠OBD=45°， ∴∠CBD=90°， ∴点P与点C重合时，∠PBD=90°， △BDP是以BD为直角边的直角三角形，即P点坐标为（0，0）； 当∠PDB=90°时，PD//BC， 设直线PD的解析式为y=-x+b3， 将D（0，-3）代入得：b3=-3， ∴y=-x-3， yx3联立得， 2yx2x3整理得x2-3x-6=0， x1= 333333，x2=， 22当x= 933333时，y=， 22333933，）； 22即P1（当x=933333时，y=， 22333933，）； 22即P2（∴存在以BD为直角边的直角三角形， 点P的坐标为（0，0）或P（ 333933333933，）或P（，）． 2222【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，直角三角形的判定，掌握数形结合的思想是解题关键．
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