“设而不求”与整体思想在解几中的应用

“设而不求”与整体思想在解几中的应用

解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算是困难的。如何避免求交点，从而简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键。下面介绍一种策略——设而不求，这实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用。

一、与中点弦及弦的中点有关的问题 例1 过点A(2，1)的直线与双曲线x2y22211交于M、N两点，求弦MN的中点P的轨迹方程。 y122 解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x22y2221，两式作差并整理，得

y1y2x1x22x0y0x1x2y1y2

设弦MN的中点P(x0，y0)，又kMNkAP，且x1x22x0，y1y22y0。 则 所以所求中点P的轨迹方程是 2x24xy2y0 二、对称性问题 例2 已知椭圆取值范围。

解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入椭圆方程 两式作差并整理，得

y1y2x1x2x1a22y01x022

xa22yb22A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0，0)求x0的1(ab0)，

y1b221，x2a22y2b221，

2bx1x22

ay1y21y1y2y1y22 又直线AB的斜率与其垂直平分线的斜率互为负倒数。 即xxx1x221x02

x0(1x1x2ba22)x1x22 ax1x22a，得 aba22x0aba22

三、曲线的探求问题

例3 已知椭圆的中心在原点，且以坐标轴为对称轴，它与直线xy1相交于A，B两点，C是AB的中点，且

|AB|22，OC的斜率是

222，求椭圆的方程。

2 解：设椭圆方程是pxqy1(p0，q0)（这种设法避免了讨论焦点位置），A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程px1qy11，px2qy21两式作差并整理，得

(y1y2)(y1y2)(x1x2)(x1x2)pq2222， 又kAB2y1y2x1x221 kOCy1y2x1x222 所以

pq22

又由弦长公式得|AB|pxqy1得

2221k|x1x2|11|x1x2|22，把直线方程xy1代入椭圆方程

(pq)x2qxq10

由一元二次方程根与系数的关系及|x1x2|22入pq3pqpq0，即解得p(x1x2)4x1x2得pq3pqpq0，在把

222pq22代

13，q23。

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所求椭圆方程为

x232y321

四、定值问题和定点问题

例4 已知A、B是抛物线y24px(p0)上原点O外的两个动点，已知OABO，求证：AB所在直线必过一个定点。

证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由kOAy1x12 y12y2y2x21①② ③y1x1，kOBy2x2，且OAOB，得

4px14px2 把②③代入①整理得 y1y216p2 ④ 由②－③整理得：

y1y2x1x24py1y2kAB 所以直线AB的方程为yy14py1y2(xx1)

整理得：(y1y2)y4p(x4p) 即直线过定点(4p，0) 五、某些几何量的计算问题

例5 过抛物线y2x的点A(4，2)作倾角互补的两条直线AB、AC，交抛物线于B、C，求直线BC的斜率。 解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入抛物线方程得 y12xy1y2x1x222① y2x2 ② 24 ③

①②两式作差整理得：

1y1y2kBC

1y121y22kAB kAC

14④

①③两式作差整理得： ②③两式作差整理得：

又因为kACkAB整理得y1y24代入④即得到直线BC的斜率为 六、曲线方程中参数的确定问题

例6 已知直线yax10与双曲线3xy1相交于A、B两点，问a取何值时，以AB为直径的圆经过原点。 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若以AB为直径的圆过坐标原点必有OAOB，即得： x1x2y1y20

把yax10代入双曲线方程 3xy1 得：x222①

222a3a2x2a23a220

所以x1x2 x1x223a3a2 ② ③

2

y1y2(ax11)(ax21)ax1x2a(x1x2)1 解①②③④组成的方程组得a1

2

④