三角函数专项训练(教师)

三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用．

题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例1 若x是三角形的最小内角，求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值.

A．1 B．2

1122C．2D．2 2sinxcosx12sinxcosx分析：三角形的最小内角是不大于3的，而，换元解决．

70xtsinxcoxs2sixn(),x3，令4而4412，得解析：由1t2．

t21sinxcosx22， 又t12sinxcosx，得

t211(2)2112yt(t1)110y222222． 得，有

例2．已知函数f(x)2asinxcosx2bcosx．，且f(0)8,f()12．

26 （1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．

解析：函数f(x)可化为f(x)asin2xbcos2xb． （1）由 f(0)8，f()12可得f(0)2b8， f()6633ab12，所以22b4，a43．

（2）f(x)43sin2x4cos2x48sin(2x故当2x6)4，

62k2即xk6(kZ)时，函数fx取得最大值为12．

1

[例3] (2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

2

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

π2

，π，且f(α)＝，求α的值． (2)若α∈22

1

[解答] (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x

2

π112

4x＋， ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin4222

π2

所以f(x)的最小正周期为，最大值为.

22

π2

4α＋＝1. (2)因为f(α)＝，所以sin42

ππ9π17π，π，所以4α＋∈，， 因为α∈4244π5π9π

即4α＋＝.故α＝. 4216

题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一． 例题1、（2012年高考（重庆文）设函数f(x)Asin(x)(其中A0,0, )在x6处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为

(I)求f(x)的解析式; 2(II)求函数g(x)6cos4xsin2x1f(x)6的值域.

11(cos2x)因cos2x[0,1],且cos2x

22775故g(x) 的值域为[1,)(,]

4423cos2x12f(x)Asin(x)(xR,0,0例题2、（2012年高考（湖南文））已知函数部分图像如图5所示. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

2的

g(x)f(x(Ⅱ)求函数

12)f(x)12的单调递增区间.

1152T2(),21212T【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期.

5(,0)12因为点在函数图像上,所以

55Asin(2)0,即sin()0126.

0又

2,5545,从而=，=6. 6636即

Asin1,A2（0,1）6又点在函数图像上,所以,故函数f(x)的解析式为

f(x)2sin(2x).6 g(x)2sin2x2sin2x126126(Ⅱ)

2sin2x2sin(2x)3 132sin2x2(sin2xcos2x)22

sin2x3cos2x 2sin(2x),3

2k由

22x32k2得

,k12xk5,kz.12

5k,k,kz.g(x)的单调递增区间是1212

例3 （2008高考江西文10）函数ytanxsinxtanxsinx在区间(是

32,2)内的图象

yyy2y2-22-2o2-322xoA32xoB32xo2-32xCD解析：函数ytanxsinxtanxsinx些特殊点，选择答案D．

[例4] (2013·山东高考)设函数f(x)＝

2tanx,当tanxsinx时．结合选择支和一

2sinx,当tanxsinx时3

－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图像的2

π

一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 4(1)求ω的值；

3π

π，上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间2

[解答] (1)f(x)＝＝＝

3

－3sin2ωx－sin ωxcos ωx 2

1－cos 2ωx13

－3·－sin 2ωx 222π31

2ωx－. cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin322

π

因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

42ππ

又ω>0，所以＝4×，

2ω4因此ω＝1.

ππ3π5ππ8π32x－. 当π≤x≤时，≤2x－≤，所以－≤sin2x－≤1. (2)由(1)知f(x)＝－sin3323332因此－1≤f(x)≤

3π33

π，的最大值和最小值分别为，－1. . 故f(x)在区间222

题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 1

[例3] (2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

2(1)求f(x)的最小正周期及最大值； π2

，π，且f(α)＝，求α的值． (2)若α∈221

[解答] (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x

2

π112

4x＋， ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin4222π2

所以f(x)的最小正周期为，最大值为.

22(2)因为f(α)＝

π2

4α＋＝1. ，所以sin42

ππ9π17π

，π，所以4α＋∈，， 因为α∈4244π5π9π

即4α＋＝.故α＝. 4216

题型4 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合

有的是利用平面向量去解决三角函数问题

13．设向量a(sinx,cosx),b(cosx,cosx),xR,函数f(x)a(ab) (I)求函数f(x)的最大值与最小正周期;

f(x)(II)求使不等式

题型5 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型

32成立的x的取值集合｡

[例1] (2013·广西高考).△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac.

(1)求B； (2)若sin Asin C＝

3－1

，求C. 4

解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac， 所以a2＋c2－b2＝－ac.

a2＋c2－b21

由余弦定理得cos B＝＝－，

2ac2因此B＝120°.

(2)由(1)知A＋C＝60°，

所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C ＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C ＝cos(A＋C)＋2sin Asin C 3－113

＝＋2×＝， 242

故A－C＝30°或A－C＝－30°， 因此C＝15°或C＝45°.

[例2]．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cosA﹣cosB=sinAcosA﹣（Ⅰ）求角C的大小；

2

2

sinBcosB．

（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积． 解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=

，cos2A﹣cos2B=

sinAcosA﹣

sinBcosB，

∴﹣=sin2A﹣sin2B，

•cos（A+B）

即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2

sin（A﹣B）．

∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0， ∴tan（A+B）=﹣（Ⅱ）∵sinA=＜

，∴A+B=，C=

，∴C=

．

（舍去），∴cosA=

=．

，∴A＜，或A＞

由正弦定理可得，=，即 =，∴a=．

﹣（﹣）×=．

，

∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=∴△ABC的面积为

=

×

=

题型6 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．

2f(x)xbxc(b,cR)，已知不论，为何实数，恒有例13. 设二次函数

f(sin)0和f(2cos)0．

（1）求证：bc1 ； （2）求证：c3；

（3）若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值．

s3解析：（1）因为1sin1且f(sin)0恒成立，所以f(1)0，又因为 12co1bc0，且f(2cos)0恒成立，所以f(1)0， 从而知f(1)0，即bc1．

（2）由12cos3且f(2cos)0恒成立得f(3)0， 即 93bc0，将

b1c代如得933cc0，即c3．

f(sin)sin2(1c)sinc(sin（3）

1c21c2)c()22，

1bc81c2[f(sin)]81bc0 ，sin12max因为，所以当时， 由 解得 b4，

c3．