数学必修二讲义

新知新讲

题一：下列几何体中是棱柱的有（ ） A．1个 B.2个 C.3个 D.4个

题二：判断下列几何体是不是台体，并说明为什么.

题三：充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（

第2讲 空间几何体的三视图与直观图

新知新讲

题一：请画出圆柱和圆锥的三视图.

题二：请画出下面不同放置情况的正三棱柱的三视图.

1

） AaCAFBbaBEFDCbDE

题三：一个几何体的三视图如图，请说出它对应的几何体的名称.

正视图侧视图俯视图

（1）

(2)

（3）

2

（4）

(5)

题四：一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )

题五：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

3

题六：用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体的直观图.

第3讲 空间几何体的表面积与体积

新知新讲

题一：将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( ) A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2

题二：已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积之比是( )

12π14π B. 2π4π12π14πC. D.

ππA.

题三：两个球的体积之比为8：27，则它的表面积之比为( ) A. 2：3 B. 4：9 C. 1：2 D. 1：3 金题精讲

题一：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( ) A. 1 B.

111 C. D.

362 4

题二：已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积.(单位：cm)

题三：已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，O为上底面A1B1C1D1的中心，E为棱A1B1上一点，则AE+EO的长度的最小值是___________.

第4讲 空间几何体综合（一）

金题精讲

题一：下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸，可知几何体的表面积是（ ）

A．18＋3 C．17＋23

B．16＋23 D．18＋23

题二：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

5

A. 16+8 B. 8+8. C. 16+16 D. 8+16 题三：一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ）

A．48＋122 C．36＋122

B．48＋242 D．36＋242

第5讲 空间几何体综合（二）

金题精讲

题一：如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF为该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

6

题二：在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A．S1S2S3 B. S1S2且S2S3 C. S1S3且S2S3 D. S3S2且S1S3

题三：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2. 动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积（ ）

A．与x，y都有关 B．与x，y都无关 C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关

第6讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(一)

新知新讲

题一：用符号表示下列语句，并画出相应的图形. (1)点A在平面内，但点B不在平面内； (2)直线a经过平面外的一点M； (3)直线a既在平面内，又在平面内.

题二：(1)不共面的四点可以确定几个平面？

(2)共点的三条直线可以确定几个平面？

7

(3)三条直线两两平行，可以确定几个平面？ (4)三条直线两两相交，可以确定几个平面？

题三：判断下列说法是否正确

(1)经过三点确定一个平面

(2)经过一条直线和一点确定一个平面 (3)四边形确定一个平面

(4)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

(5)平面与平面相交，只有有限个交点

(6)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 金题精讲

题一：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

题二：已知三角形ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB，BC和AC延长后与平面的交点分别为P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一条直线上.

第7讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(二)

新知新讲

题一：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形.

若加上AC=BD，那么四边形EFGH是什么四边形？

题二：正方体ABCDABCD中，

(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ (2)直线BA和CC的夹角是多少？

8

题三：过平面α外一点P可作________条直线与平面α平行. 题四：判断下列命题是否正确

(1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行； (2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；

(3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都不相交.

题五：如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )

A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对

题六：已知平面α//平面β，直线aα，则直线a与平面β的位置关系为_______. 金题精讲

题一：平行于同一个平面的两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交

C.异面 D.平行或相交或异面

题二：如果直线a//平面α，那么直线a与平面α内的( ) A.唯一一条直线不相交 B.仅两条相交直线不相交 C.无数条直线不相交

D.任意一条直线都不相交

题三：下列四个命题中假命题的个数是( ) ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行 ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行

③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行

④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 A.4 B.3 C.2 D.1

题四：若三个平面两两相交，则它们交线的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3

第8讲 直线、平面平行的判定

新知新讲

题一：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.

9

题二：已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD.

D1 A1

B1

C1

D A

B

C

金题精讲

题一：如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1//平面BC1D.

题二：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.

求证：平面AMN//EFBD.

10

第9讲 直线、平面平行的性质

新知新讲

题一：有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面AC，要经过木料表面ABCD内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

题二：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.

金题精讲

题一：如图，α//β，点P是平面α，β外的一点，直线PAB、PCD分别于α，β相交于点A、B和C、D.

(1)求证：AC//BD；

(2)已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长.

11

题二：如图所示，四面体A-BCD被一个平面所截，截面EFGH是一个矩形. (1)求证：CD//平面EFGH；

(2)求异面直线AB、CD所成的角.

第10讲 直线、平面垂直的判定

新知新讲

题一：判断下列命题是否正确，并说明理由.

(1)正方体ABCDABCD中，棱BB和底面ABCD垂直.

(2)正三棱锥PABC中，M为棱BC的中点，棱BC和平面PAM垂直.

12

D'A'B'C'DABC

PAMBC

题二：如图，AC是Rt△ABC的斜边，过A点作△ABC所在平面的垂线PA，连PB、PC．问：图中有多少个直角三角形？

PABC

金题精讲

题一：在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.

13

题二：已知空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点， 求证：(1)平面ABE⊥平面BCD；

(2)平面ABE⊥平面ACD.

第11讲 直线、平面垂直的性质

新知新讲

题一：已知两个平面互相垂直，那么下列命题中正确命题的个数是( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

14

②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上

④过一个平面内的任意点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面 A.4 B.3 C.2 D.1

题二：已知直线l⊥平面，直线m平面，有下列四个命题：

① lm; ② lm; ③ lm; ④lm;

其中正确的两个命题是( ) A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 金题精讲

题一：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在直线BD、B1C上，且 MN⊥BD，MN⊥B1C，求证：MN//AC1.

题二：如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G. 求证：(1)AE⊥SB； (2)AG⊥SD.

15

第12讲 二面角习题课

题一：如图，在正方体中：

(1)求二面角D ’—AB—D的大小； (2)求二面角A ’—AB—D的大小.

题二：如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=23，VC=1，求二面角V—AB—C的平面角的度数.

第13讲 期中期末串讲——空间点线面位置关系综合（一）

金题精讲

题一：用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

16

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①② C．①④

B．②③ D．③④

题二：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPB，且侧面PAB平面ABCD，点E是棱AB的中点． （Ⅰ）求证：CD//平面PAB； （Ⅱ）求证：PEAD；

（Ⅲ）若CACB，求证：平面PEC平面PAB.

第14讲 期中期末串讲——空间点线面位置关系综合（二）

金题精讲

题一：如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点. （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF； （Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF； （Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.

17

题二：定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC. 那么，动点C在平面α内的轨迹是( )

A．一条线段，但要去掉两个点

B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点

第15讲 直线的倾斜角与斜率

新知新讲

题一：已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0,－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

题二：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2，3的直线.

金题精讲

题一：已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如下图所示，则( ) A. k118

题二：已知A(－2,1)、B(2,3)、C(1,－1)，直线l经过点C与线段AB相交，求直线l斜率的取值范围.

题三：下列各组中，三点共线的是( ) A. (1, 4)，(－1, 2)，(3,5)

B. (－2, －5)，(7, 6)，(－5,3) C. (1,0)，(0,1)，(7,2) 3D.(0,0)，(2,4)，(－1,3)

第16讲 用斜率判定直线的平行与垂直

新知新讲

题一：已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系.

题二：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状.

金题精讲

题一：判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直.

(1) l1经过A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M (－2，－1)，N(2,1)； (2) l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3) l1经过A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M (－10，40)，N(10,40).

19

题二：满足下列条件的l1与l2，其中l1//l2的是( ) ①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)；

②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点； ③l1经过点M(－1,0)，N(－5,－2)，l2经过点R(－4,3)，S(0,5). A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

题三：直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)、N(x,7)、P(－1，y).若l1⊥l2，则x=_____，y=______.

题四：试确定m的值，使过点A(2m，2)、B(－2,3m)的直线与过点P(1,2)、Q(－6,0)的直线 (1) 平行；(2)垂直.

第17讲 直线的方程(一)

新知新讲

题一：已知直线y3x5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列3条件的直线l的方程. (1) 过点P(3,－4)；

(2) 在x轴上截距为－2； (3) 在y轴上截距为3.

题二：过点(1,－2)与直线l：y=－x+3垂直的直线方程为______. 题三：过点(－1, 1)与直线l：y3x1平行的直线方程为_______. 金题精讲

题一：过点A(1,2)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的条数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4 题二：设直线l的方程为

(m2－2m－3)x+(2m2+m－1)y=2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值. (1) l在x轴上的截距为－3； (2) 斜率为1.

20

第18讲 直线的方程(二)

新知新讲

题一：若三条直线2x+3y+8=0，x－y=1和x+ky=0相交于一点，则k的值等于( ) A. －2 B. C. 2 D.

1 21 2题二：求到坐标原点距离为1且过点(1,3)的直线方程.

金题精讲

题一：直线l过点P(－2,3)且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的方程为_______.

题二：直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y+10=0，l2：2x+y－8=0分别交于A、B两点.若线段AB的中点为P，求直线l的方程.

题三：已知△ABC的一个顶点A

(－1，－4)，∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程．

第19讲 直线与方程综合

金题精讲

题一：已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1=0，与l2：2(k－3)x－2y＋3=0平行，求k的值.

21

题二：点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点是( ) A．(－1,1) C．(－2,2)

B．(1,－1) D．(2,－2)

题三：△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．

第20讲 直线的交点坐标与距离公式

新知新讲

题一：求经过点（2，3），且经过两条直线l1：x+3y-4=0，l2:5x+2y+6=0交点的直线方程.

题二：已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)求证：ABC为等腰三角形.

题三：证明平行四边形边的平方和等于两条对角线的平方和.

题四：求点P(3,-2)到下列直线的距离：(1)y=

题五：已知A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，求ABC的面积.

题六：两平行直线3x+4y-12=0和

22

31x+;(2)y=6;(3)x=4. 446x+8y+11=0的距离为__________.

第21讲 圆的方程

新知新讲

题一：已知A(－4,－5)、B(6,－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( ) A. (x+1)2+(y－3)2=29 B. (x－1)2+(y+3)2=29

C.(x+1)2+(y－3)2=116 D. (x－1)2+(y+3)2=116

题二：圆过点A(1,－2)，B(－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程；

(2)圆心在直线2x－y－4=0上的圆的方程.

金题精讲

题一：圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,4)、B(0,－2)，则圆C的方程是_________. 题二：已知圆C1：(x+1)2+(y－1)2=1，圆C2与圆C1关于x－y－1=0对称，则圆C2的方程为( ) A. (x+2)2+(y－2)2=1 B. (x－2)2+(y+2)2=1

C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x－2)2+(y－2)2=1

题三：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是( )

7A. x3y1

322B. (x－2)2+(y－1)2=1

C. (x－1)2+(y－3)2=1

32D. xy11

2

2第22讲 直线与圆的位置关系

新知新讲

题一：若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则( ) A. k(2,2) B. k(,2)C. k(3,3)

23

(2,)

D. k(,3)(3,)

题二：求过点A(5,15)向圆x2+y2=25所引的切线方程.

题三：从点P(x,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1引切线，切线长的最小值为( ) A. 4 B. 26 C. 5 D. 5.5

金题精讲

题一：求圆心在直线x－y－1=0上与直线4x+3y+4=0相切且在直线3x+4y－5=0上截得弦长为42的圆的方程.

题二：曲线y14x2(－2≤x≤2)与直线y=k(x－2)+4有两个交点时，实数k的取值范围是( )

A. , B. ,

16124C. 0,5535 D. 1213, 34第23讲 圆与圆的位置关系

新知新讲

题一：试判断下列两圆的位置关系： (1) x2+y2+6x－4=0和x2+y2+6x－28=0 _________.

(2) x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－2x+4y =0 _________.

题二：已知圆C1：x2+y2－2mx+4y+m2－5=0，圆C2：x2+y2+2x－2my +m2－3=0， (1) 若圆C1与圆C2相外切，则m=______；

(2) 若圆C1与圆C2内含，则m的取值集合为_______.

题三：已知圆x2+y2=1和(x+4)2+(y－a)2=25相切，则a=_______. 金题精讲

题一：已知C1：x2+y2+2x－6y+1=0，圆C2：x2+y2－4x+2y－11=0.求两圆的公共弦所在的直线

24

方程及公共弦长.

题二：两圆C1：x2+y2=1，C2： (x－3)2+(y－4)2=16的公切线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

第24讲 期中期末串讲——直线与圆综合（一）

金题精讲

题一：过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，求直线l的方程.

题二：求圆心在直线xy10上，与直线4x3y40相切，且在直线3x4y50上截得弦长为42的圆的方程.

第25讲 期中期末串讲——直线与圆综合（二）

金题精讲

题一：已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3, 5)，求过点A的圆的切线方程.

题二：若直线y＝x＋m与曲线1－y2＝x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为( ) A．(－2，2) B．(－2，－1] C．(－2，1) D．[1，2)

题三：过点A（11, 2）作圆xy2x4y10的弦，其中弦长为整数的共有( )

22 25

A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条

第26讲 空间直角坐标系简介

新知新讲

题一：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标.

题二：(1)已知点A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，则△ABC的形状是( )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 (2)点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于( ) A.

14 B. 13

11 C. 23 D.

题三：给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,2,1)的距离为30，则点P坐标为________. 金题精讲

题一：设点B是点A(2,－3,5)关于xOy坐标面的对称点，则|AB|= ( )

A. 10 B. 10 C. 38 D. 38

题二：已知A(1, 2,－1)，C与A关于平面xOy对称，B与A关于x轴对称，则B，C两点间的距离和BC中点的坐标为__________.

题三：已知三角形的三个顶点 A(2,－1,4)，B(3, 2,－6)，C(－5, 0, 2)，则BC边上的中线长为_______.

题四：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

－

26

27

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