函数的定义域和值域

●自然定义域使函数解析式有意义的自变量的一切值函数解析式有意义

例1.求f ( x ) = lg( x －1 ) +lg(3 －x ) 定义域

x－１＞０

解:由

3－x＞０得1＜x＜3

∴函数的定义域为（１，３）

小结：求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组。

一、函数的定义域的确定

●自然定义域例1.求f ( x ) = lg( x －1 ) +lg(3 －x ) 定义域x－１＞０解:由3－x＞０得1＜x＜3∴函数的定义域为（１，３）小结：求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组。一、函数的定义域的确定

●自然定义域

使函数解析式有意义的自变量的一切值

●限定定义域

受某种条件制约或有附加条件的定义域

例２．已知y =3解：由332x12 x－1

的值域为（３，２７］．求它的定义域．

小结：求限定定义域，一般应根据制约条件或附加条件列不等式组或混合组。27,

得：12x13,1x2∴函数的定义域为（１，２）

一、函数的定义域的确定

●自然定义域

使函数解析式有意义的自变量的一切值

●限定定义域

受某种条件制约或有附加条件的定义域

例２．已知y =3解：由332x12 x－1的值域为（３，２７］．求它的定义域．小结：求限定定义域，一般应根据制约条件或附加条件列不等式组或混合组。27,得：12x13,1x2∴函数的定义域为（１，２）一、函数的定义域的确定

●自然定义域

使函数解析式有意义的自变量的一切值

●限定定义域

受某种条件制约或有附加条件的定义域

13．设f (x+1)的定义域为［－2，3），求f (x+2)的定义域。

解：∵2≤x＜3，∴－1 ≤x +1 < 4，即f(x)的定义域为[－1，4）

111－1 ≤+2< 4, 解得x <－，或x >

23x111∴f (+2)的定义域为（－∞,－32,＋∞)

x一、函数的定义域的确定●自然定义域使函数解析式有意义的自变量的一切值●限定定义域受某种条件制约或有附加条件的定义域13．设f (x+1)的定义域为［－2，3），求f (x+2)的定义域。解：∵2≤x＜3，∴－1 ≤x +1 < 4，即f(x)的定义域为[－1，4）111－1 ≤+2< 4, 解得x <－，或x >23x111∴f (+2)的定义域为（－∞,－32,＋∞)x函数的定义域和值域二、函数的值域例４．求下列函数的值域：⑴y=log0.2 (－x 2 +2x + 3)

解：

y = log0.2 (－x 2 +2x + 3)

= log0.2 ［－(x－1)2 + 4) ］≥ log0.2 4

∴函数的值域为［log0.2 4，＋∞）

小结：本题解法①利用某已知函数的值域；

②利用函数的单调性

函数的定义域和值域二、函数的值域例４．求下列函数的值域：⑴y=log0.2 (－x 2 +2x + 3)解：y = log0.2 (－x 2 +2x + 3)= log0.2 ［－(x－1)2 + 4) ］≥ log0.2 4∴函数的值域为［log0.2 4，＋∞）小结：本题解法①利用某已知函数的值域；②利用函数的单调性函数的定义域和值域二、函数的值域

例４．求下列函数的值域：

⑵y= x+12x解：令

12x= t

12＋1(t≥0)y= －（t－1）则

2∵t＝1时，ymax= 1

∴函数的值域为（－∞，1 ]

(t≥0)

小结：本题解法换元法

函数的定义域和值域二、函数的值域

例４．求下列函数的值域：

⑵y= x+12x解：令12x= t12＋1(t≥0)y= －（t－1）则2∵t＝1时，ymax= 1∴函数的值域为（－∞，1 ](t≥0)小结：本题解法换元法函数的定义域和值域二、函数的值域例４．求下列函数的值域：

⑶y =

A(－2,0)-2-1OyP (x,1x2)1x11x2x2解：考虑点P（x,1x2)与点A(－2,0 )连线的斜率，

3],由图可知:当x ∈[－1, 1 ]时,PA的斜率的取值范围是[0,33∴函数的值域为[0,]3本题解法数形结合法

函数的定义域和值域二、函数的值域例４．求下列函数的值域：⑶y =A(－2,0)-2-1OyP (x,1x2)1x11x2x2解：考虑点P（x,1x2)与点A(－2,0 )连线的斜率，3],由图可知:当x ∈[－1, 1 ]时,PA的斜率的取值范围是[0,33∴函数的值域为[0,]3本题解法数形结合法函数的定义域和值域二、函数的值域

例４．求下列函数的值域：

y55－2⑷y = | 2x+1 | + | x －2 | 解：y = | 2x+1 | + | x －2 |

1)-3x+1(x＜－21=x+3( -—≤x＜2)2

3x-1(x≥2)如图所示，

5

该函数的值域为［—，＋∞］

2本题解法图象法

1-－2o2x

函数的定义域和值域二、函数的值域例４．求下列函数的值域：y55－2⑷y = | 2x+1 | + | x －2 | 解：y = | 2x+1 | + | x －2 |1)-3x+1(x＜－21=x+3( -—≤x＜2)23x-1(x≥2)如图所示，5该函数的值域为［—，＋∞］2本题解法图象法1-－2o2x本课小结:求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组。一、求限定定义域，一般应根据制约条件或附加条件列二、

不等式组或混合组。

求函数的值域，常用以下方法：三、

①利用某已知函数的值域；②利用函数的单调性③换元法④数形结合法⑤图象法