利用数学知识解决物理问题

用数学方法解决物理问题

------------提高学生应用数学解决物理问题的能力

物理是一门精确的科学，与数学有密切的关系。物理学又是一门基础科学，是整个自然科学技术和现代技术发展的基础，在现代生活、社会生产、科学技术中有广泛的应用。但在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少总要运用到数算进行推理，而且处理的问题愈高深，应用的数学也愈多。所以能熟练地运用数学处理物理问题，是学好物理的必要条件。近年来高考对考查学生应用数学处理物理问题的能力要求也十分明确：即要求学生能根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析和处理问题。应用数学处理物理问题，有时是数字运算，有时是符号运算，即既要重视定量运算，也要重视定性和半定量的分析和推理。 如何提高学生应用数学解决物理问题的能力?笔者认为在教学过程中应注意以下几个方面。 一、正确认识数学方法在中学物理教学中有哪些方面的作用？

1、 数学方法在研究和分析、解决物理问题中的重要作用

数学和物理两门学科具有密切的联系。数学知识对于物理学科来说，决不仅仅是一种数量分析和运算工具；更主要的是物理概念的定义工具和物理定律、原理的推导工具；另外，运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维，因此，数学也是研究物理问题进行科学抽象和思维推理的工具。数学方法在中学物理教学中的重要作用，主要的有：（１）培养学生在实验的基础上，运用数学方法表达物理过程、建立物理公式的能力。在研究物理现象的过程中必须引导学生把实验观测和数学推导这两种手段有机地结合起来。只有这样，才能获得关于某种现象的全面的、内在的、本质的认识。这就是以观察、实验的感性材料为依据，运用数学方法（包括公式和图像）来对其进行计算、分析、概括、推理，得出经验规律，并进一步抽象为物理定律。中学物理中的许多定律，例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律，光的折射定律等都是从实验出发，经过科学抽象为物理定律，最后运用数学语言把它表示为物理公式的。这是研究物理的基本方法之一。（2）培养学生应用数学知识来推导物理公式的能力。物理学中常常利用数学知识研究问题，以高中物理“直线运动”这一章为例，就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移；用代数法和三角法研究运动规律和轨迹；用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。另外，物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既可以使学生获得新知识，又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系，加深理解。

2、培养学生运用数学表达式或图像来描述、表达物理概念和规律的能力

数学是定义物理概念 表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言，许多物理概念和规律都要以数学形式（公式或图像）来表述，也只有利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量地说明问题和解决问题。例如，在研究弹簧的弹性形变的规律时，通过实验得出结论：在弹性限度内，弹簧的弹力与其形变量成正比，这就是胡克定律，可以用数学式子表达出来：F=Kx。 3、培养学生应用数学知识进行定量分析、判断、推理、论证和变换来解决物理问题的能力

抽象思维在物理学中很重要，而在物理学中进行抽象思维的时候，数学是不可缺少的非常有力的工具，它可使人们能从已知的物理定律或理论出发，利用数学的逻辑推理方法推导出新的规律或建立新的理论人。例如，牛顿在开普勒行星运动规律的基础上，利用数学方法导出了万有引力定律。 二、运用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意哪些问题？

1、在物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”的倾向。这就是说，要注意不能把物理意义淹没在数学表述式中。物理与数学毕竟各有特点，二者有各自不同的研究对象和方法，一个数学函数式可以表示事物间的多种相互关系，而一个物理公式总是具有特定内容的，一定要在明确物理内容的基础上运用数学

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工具。在有关图像的教学中，应该把“形” 与它所反映的物理内容联系起来，用图形来直观地表示其物理内容，还应该引导学生弄清楚用数学来解决物理问题时，必须受到物理概念和规律的制约，有时从数学知识上来看是合理的，而从它的物理意义上来看是不合理，也就是说，受限于物理现象的本质，数学知识的应用有其局限性和特殊性。例如，右图为s—t图线，此图从数学角度看是成立的，而从物理角度看是不成立的，因为时间是不会倒流的。

2、表达物理概念或规律的公式都是在一定条件下成立的，在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。例如，真空中库仑定律的公式FQ1Q2只适用于两个相对静止r2的点电荷。值得注意的是，如果从“纯数学化”观念来看，上式中当r→0时，F→∞，但这样的讨论在物理上是毫无意义的，因为这时Q1和Q2不能看作点电荷了，它们之间的相互作用是很复杂的，库仑定律描述不了它们之间的相互作用。

有些学生由于对物理规律和公式缺乏本质的理解，忽视条件，用单纯数学的观念来看待物理公式，以致产生一些自相矛盾的模糊认识。例如，对于匀速圆周运动向心力的公式和。有些学生提出“为什么匀速圆周运动的向心力跟半径既成反比，又成正比呢？”产生这些模糊认识和错误的原因，就在于他们忽视公式的物理意义和条件，对于具体事物不作具体分析。

3、运用数学知识来推导物理公式或从基本公式导出其它关系式时，应该注意：有些物理定律虽然可以从别的物理定律推导出来，但要引导学生弄清所讨论的物理定律是怎样建立的以及它跟相关联的物理定律有什么关系。例如，动量定理虽然可以由牛顿第二定律推导出来，但不能简单地把它看作是牛顿运动定律的一个推论。事实上， 二者是互相的定律，要具体分析它们各自的特点。牛顿第二定律只表明外力对物体的即时作用（力的瞬时效果），因此，公式中F是即用力是即时加速度。动量定理却表明外力在一段时间△t里对物体的持续作用所获得的效果：促使物体的动量发生变化。因此，动量定理反映了外力在这段时间里的积累效果（累积效应）。

三、在教学过程中应如何提高学生应用数学解决物理问题的能力？

物理教学的目标重在培养学生掌握规律、分析问题的能力、知识迁移的能力和创新思维的能力，要达到这一教学目标，必须对学生进行实验方法的训练，科学推理、科学抽象法的训练，应用数学工具的训练。而应用数学的训练是诸多训练中的一个重要方面，在教学过程中应有目的、有梯度的引导学生应用数学知识解决物理问题。具体做法如下：

1、 对学生反复强调数学、物理之间的联系

尽管在学习物理时无可避免地要进行大量的数算，但他们很少有人知道数学和物理的联系之紧到了何种程度。对此，我们可以结合教学内容，反复讲述数学在物理学中的创立和发展中起到的作用。在十七世纪以前的漫长岁月里，人们对许多物理现象的认识，多从“原因”和“效果”上进行思考，随着时代的进步，是以伽利略、牛顿为代表的一批科学家，创立起在系统的实验基础上，运用精确的数学方法去探索物理现象的规律，才使得物理从自然哲学中分离出来。伽利略关于时间和空间的数学论证和科学定量的实验方法，牛顿在伽利略、开普勒等前人工作的基础上，将互不相关的的力学知识，运用数学工具将它们联系起来，并用简单的数学表达式加以阐明，这种科学的思维方法和研究方法一直影响到近、现代物理学以及其他学科的研究。通过这样的不断讲解，学生才能认识到数学和物理确是密不可分，数学作为一门基础课的重要性，正是学习物理过程中突出地体现出来；而学习物理又可促进掌握所学到的数学知识。

2、 做到主动与数学结合

在教学过程中主动与数学老师联系，在数学课上点明所学数学知识在学习物理过程中的作用。例如在讲解向量时，指明它在矢量运算中的应用；作简谐运动的质点、波的传播规律都可以用三角函数来表示；学习立体几何的空间概念对学习电场、磁场和电磁感应会起到十分重要的作用；可以用数学方法来求物理中的极值问题；可以应用数学中的排列、组合求解大量原子发射光谱线的问题等等。而物理老师在公式的

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推导和解答过程中，要力求用准确的数学语言和规范的数学推算来表达。教学实践表明，当学生从数学老师那里听到有关物理概念和规律时，或者从物理老师那里看到数学知识所起的作用时，骤然产生了一种“新鲜感”和“好奇心”，他们从中进一步体会到知识的价值和运用知识获到成功的满足，起到了诱发学习动机、增强学习兴趣的作用。

3、 精选例题进行重点讲解

高中物理有很多能够说明数、理之间的这种紧密程度的问题，将它们挑选出来介绍给学生，运用物理知识进行分析、讲解的同时，指明在计算过程中用到的数学知识，这样做起到了触类旁通、加深理解的作用，现举几例如下：

例1、 如图示，在细绳O处用水平为F2缓慢拉起所受重力为G的物体。绳子与铅垂方向夹角为，绳

子所受到的拉力为F1，求：

（1）F1、F2随角的变化而变化的情况；

（2）F12G时，的取值范围；

分析：由力的平衡知, G的大小等于F1与F2的合力的大小,但方向相反,通过向量加法的平行四边形法

则可作出图形，如下图示。怎样才能得出F1、F2的大小随角的变化而变化的情况呢？

应将F1、F2的大小用含的代数式表示出来，再研究变化时F1、F2的变化情况。如何将F1、

F2用含的代数式表示呢？考查RtOAB和RtAOC中的边角关系，即可得出。

 当F12G时，角的取值范围又如何确定呢？由（1）可知，F1可用含的代数式表示，那么就

可构造出一个含有的不等式， 这个不等式的解集，即为角的取值范围。 解：（1）由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：  G(F1F2)

解直角三角形得：

|G|

|F1|，|F2||G|tan cos当从0逐渐增大趋向于90时，cos从1逐渐趋向于零，

001趋向于正无穷大，从而

0Gcos1从cos增大，即F1逐渐增大。

0当从0逐渐增大趋向于90时，tan从0逐渐趋向于正无穷大，从而Gtan增大，即F2也逐渐增大。

 3

|G|（2）令|F1|2|G|cos1 2 得cos 又090 060

说明：在计算合力、分力、合速度、分速度时，应用的数学知识主要是解三角形。

构建模型，应用规律，是解题的关键，构建模型，就是要透过现象抓住本质，将实际问题转化成物理模型，然后，应用数学知识求解，例如可以用“圆”来建立物理模型。

例2、 质量为m，电量为-q的粒子，以某一速度垂直于屏S经过小孔O且垂直于磁 感应强度B的匀强磁场进入真空室中，如图示。如果粒子进入磁场后经过时间t到达位置P，已知粒子的运动轨迹的半径为R，求粒子经过的位移OP的大小。

分析：设负粒子以速度v垂直射入匀强磁场中，由于受到洛伦次力的作用，粒子作匀速圆周运动，过O、P画出其轨迹，即建立起物理模型，利用数学中学到的——弦切角等于同弧所对的圆心角的一半，画出其轨迹，会发现——弦切角也等于质点绕同弧运动时，初、末位置速度方向的偏向角，再由匀速圆周运动的规律即可求解。

解：由下图可知：

又t1 2mT 2qBqBt 2m在RtOAP中， 有：

解得：OP2Rsin2Rsin(qBt) 2m2在中学物理中有很多临界问题（或极值问题），我们可以用物理方法和数学方法来求解，常见的数学方法有几何法、图象法、代数法，对于一元二次方程也可以用判别式b4ac0。

例3、 一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？

分析：因电子与原子发生的是正碰，故电子与原子组成的系统动量和动能守恒，有v1、v1、v2三个未知数，但只有两个式子，一般的同学认为少一个方程，难以求解，但能巧妙地利用判别式既可解决。 解：设电子碰前的速度为v1，碰后的速度为v1，静止的原子被碰后的速度为v2。

'''' 4

由动量守恒定律有mv1mv1Mv2 (1) 由能量守恒有

''121'21'2mv1mv1Mv2E (2) 222'1、

在以上两个方程中，有v1、vm(v1v1')v三个未知数，但由（1）式解出v代入（2）

M'2'2m(v1v1')2121'21]E 可得：mv1mv1M[222M 进一步整理可得：(Mm)mv12mv1v1(mM)mv12mE0

此式是关于v1的一元二次方程，因电子碰后的速度v1必为实数，所以此方程的判别式

'''22'2b24ac0即

4m4v124(Mm)m[(mM)mv122ME]0

12Mmmv1E 2MMm 所以电子必须具有的最小的初动能是E

M 根据上式整理可得：

微积分对高中学生虽然是陌生的，但其基本观点是可以接受并学会的，应用其基本观点解决物理问题不但可以使复杂问题简单化，而且能帮助学生加深对物理概念、规律的理解。

例3、老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴d1的甲处时速度为v1，试求：

（1） 老鼠行进到离洞穴的距离d2的乙处的速度多大？

（2） 从甲处到乙处所用的时间为多少？

分析：因老鼠行进的速度与它到洞穴的距离成反比，用数表示为：v学式子可处的速

k，其中k为比例常数，由题意很容易求出在乙d度；要求老鼠从甲处到乙处所用的时间，由于老鼠的运动既不是匀速运动又不是匀变速运动，用一般的方法难以求得结果，如利用积分的观点和d—等于时间。

解：（1）老鼠行进的速度与它到洞穴的距离成反比，用数学式子可表示为：v数，则有：v1d1v2d2k

v2

11图象来解决就简单多了，因为，从积分的观点出发，dvvk，其中k为比例常dd1v1 d25

（3） 作d—1图，图线与坐标轴包围的面积即是所用时间，即： vt(d1d211)() 2v2v1将v2d1v1代入： d22d2d12 t2d1v1总之在高中物理中应用数学方法甚多，如分析法、归纳法、极值法等等，在此不一一赘述。教师应根据不同的物理问题作恰当的选择，潜移默化地渗透数学方法，以加深对物理概念、规律的理解，提高应用数学的解题能力，让数理思维有机的结合起来，使数学、物理这两门学科互相渗透、互相促进、相得益彰

数学是与物理联系最为密切的学科之一，数学知识对物理学科来说，绝不仅仅是数量分析和运算的工具，更是物理概念的量化表达及物理定理的推导工具。运用数学方法解物理问题的能力是提高物理学习的目标之一，既能根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导、求解。下面笔者就谈谈几种常见的解决物理问题的数学方法。

一、 在物理学习中会常见到求解极值问题，而这种问题通常会用到数学的三角函数、二次

函数及均值不等式。 1、三角函数法 例：如图所示，在粗糙水平面上的物体m，受到斜向上 的拉力F,做匀速直线运动。已知物体与水平面的动 摩擦因数u，问：F最小值为多少？ 解析：对受力分析，列平衡方程得 u(mgFsina)Fcosa

Fumg

cosausina设tan1 uFumgu21(sincosacossina)umgumgu21u21sin(a)当sin(a)1时，Fmin 6

2、二次函数法

例：如图2所示，光滑半圆轨道竖直固定放置，半径为R，一水平光滑轨道与半圆轨道相切，物块A在光滑轨道上以4m/s的速度向右运动，然后从轨道最高点水平抛出。分析当半圆轨道半径R多大时，平抛水平位移最大，并求出最大植。g取10m/s2

解析：物体的运动过程分成两部分，一个是运动到最高点，一个是平抛过程。 运动到最高点过程： 设物体到最高点速度v，根据动能定理得

1212mvmv02mgR22平抛过程：水平：xvt竖直：2Rx12gt2

4v2R16R2gb0.2m时，xmax0.8m2a6.4R16R2R3、均值不等式法

例：如图3所示，电源电动势为E，内阻为r，可变电阻R ，当R为何值时，电源输出功率最大？

解析：电源的输出功率

E2RP(Rr)2r2R2rRE24rE2

r2E2 当R时，取等号，即Rr时，PmaxR4r

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二．相似三角形法

高中物理特别是力学部分，通常利用矢量三角形与集合三角形相似，分析力的变化情况 例：如图4所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一个固定的质点A，在Q的上方P点用丝线悬挂着另一质点B。A、B两质点因带同种电荷而排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A、B两质点的带电量逐渐减小，在电荷漏完之前，悬线对P的拉力大小如何变化？

解析：对球受力分析如图所示，几何三角形PQB和矢量三角形BEF相似，即

mgT PQPB

所以T不变

三、 数学归纳法

物理习题中常会遇到项累加的问题，可以通过建立等差或等比数列模型，然后求和，解决相关问题。

例：一固定的直轨道上A、B两点间距S，将S作n等分，令质点从A出发由静止以加速度a（常量）向B运动，当质点到达每一等分段末端时，它的加速度增加a/n，试求质点到达B点时的速度vB。

解析：设质点到达每一等分段末端时的速度为v1、v2、v3······vB.分别对每一段应用运动学公式：

2as2第一段：v0 0n2as12第二段：v2v12(1)

nn2as222 第三段：v3v2(1)

nn2as322第四段：v4v3(1)

nn ·

· ·

第n段：vBvn1222asn1(1) nn12vBas(3)上式相加整理得：n

1vBas(3)

n 8

四、图像法

图象法是物理中常用的方法之一，它可以使解题简洁明了。

例：蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与

到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m的A处时，速度是v1=2cm/s，试问蚂蚁继续由A点爬到距巢中心L2=2m的B点需要多长时间？ 解析：蚂蚁运动的速度与蚂蚁离巢的距离成反比，做出图像如图所示，为一条通过原点的直线，将连线分成相等的足够小的段，每一小段的时间其数值对应图像中矩形面积，当时矩形面积之和即等于梯形面积，故蚂蚁从到的时间为

2L2L1 T2

2L1v1

以上几种方法，是笔者在教学中总结的基本方法。希望爱好物理学习的朋友，在以后的学习中能够体会数学方法在物理学习中的重要性。

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