2018-2019学年陕西省渭南市白水县高一第一学期期末教学
检测数学试题
一、单选题 1．已知集合A．C．【答案】A
【解析】直接利用集合并集的定义求解即可. 【详解】 因为
,
,
，故选A.
B． D．
,
,则
（ ）
所以，根据集合并集的定义可得【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 2．函数A．
的定义域为（ ） B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据二次根号下多项式不小于零以及分母不等于零，列不等式求解即可． 【详解】 要使函数∴∴
，且
有意义，则
，
，故选D． ，
的定义域为
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数
的定义域为
，则函
第 1 页 共 16 页
数3．已知A．
的定义域由不等式是一次函数，且
B．
求出.
，则C．
的解析式为（ ）
D．
【答案】B 【解析】设【详解】 设∴即所以∴【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
4．在同一直角坐标系中，
与
的图像可能是（ ）
， ，解得，故选B．
，
，
，（
）
， ，（
），利用
两边恒等求出即可得结果．
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】由【详解】 因为
的图象为过点的图象为过点
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
第 2 页 共 16 页
的递增的指数函数图象，故排除选项
；
递增排除
，由
递减排除选项，从而可得结果．
的递减的函数图象，故排除选项，故选B．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．函数A．C．【答案】D
【解析】先根据反函数的定义求出【详解】 ∵函数∴∴
，对；
，对，故选D．
【点睛】
本题考查了反函数的定义和对数函数的运算性质，意在考查对基础知识的掌握情况以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 6．设A．【答案】B
【解析】利用指数函数的性质与对数函数的性质分别判断结果． 【详解】 ∵
，
，
，
∴【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比
第 3 页 共 16 页
，故选B．
与0和1的大小，即可得
，
B．
，
，则、、的大小关系是（ ）
C．
D．
是，
,对错；
（
，且
）的反函数，
，再根据对数的运算性质判断即可．
是
（
，且
）的反函数，则下列结论错误的是（ ） B．D．
较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也
可以两种方法综合应用. 7．在正方体
所成的角为（ ）
中，、分别为棱
和棱
的中点，则异面直线
和
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为原点，体
为轴，
为轴，
为轴，建立空间直角坐标系，设正方和
的方向向量，利用空间向量夹角
中棱长为2，分别求出直线
余弦公式可得结果． 【详解】
以为原点，设正方体
为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
中棱长为2， 和棱，，
的中点， ， ，
所成的角为，
，
∵、分别为棱∴
，
设异面直线和
则，
第 4 页 共 16 页
∴．
和
所成的角为
，故选D．
∴异面直线【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 8．已知直线：是（ ） A．相离 【答案】C
【解析】由直线的方程可得直线恒过定点结果． 【详解】
因为直线的方程为所以直线恒过定点对于点所以
，因为在圆的内部，
，
， ，
，判断点
在圆的内部，从而可得
B．相切
C．相交
D．不确定
，圆：
，则直线与圆的位置关系一定
则直线与圆一定相交，故选C． 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，以及直线过定点问题，属于基础题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，点斜式9．设A．128 【答案】B
【解析】根据题意令可． 【详解】 由
，解得
，
第 5 页 共 16 页
，求出对应函数的自变量的值，再代入函数解析式求解即
直线过定点
，则B．16
.
的值是（ ）
C．8
D．256 ，直线过定点
；（2）
因为所以【点睛】
，故选B．
，
本题考查了对数的运算和求函数的值，属于基础题.对于复合函数求函数值，需要根据解析式求出原函数对应的自变量的值，再代入解析式求函数的值． 10．已知A．若C．若【答案】B
【解析】由与相交、平行或异面判断；由线面垂直的性质定理得由与相交、平行或异面判断；由与相交、平行或异面判断． 【详解】 由
是不同的三条直线，是平面，知：
，，，，
，则与相交、平行或异面，故错误； ，则由线面垂直的性质定理得
，故正确；
，可判断；
，，
是不同的三条直线，是平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
，则，则
B．若D．若
，，
，则，则
在中，若在中，若在中，若在中，若【点睛】
，则与相交、平行或异面，故错误； ，则与相交、平行或异面，故错误，故选B．
本题主要考查线面平行的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
11．关于x的方程A．【答案】B
B．
有解，则a的取值范围是（ ） C．
D．
【解析】有解等价于有解，由于，所以，由此
,可得关于x的方程有解，则的取值范围是
第 6 页 共 16 页
，故选
B.
12．下图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可． 【详解】
解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，
可得几何体的体积为：故选：B．
．
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
二、填空题 13．直线【答案】
【解析】将直线化简为斜截式方程形式，求出直线的斜率，从而可得结果． 【详解】
的倾斜角的大小为__________．
第 7 页 共 16 页
直线截距式方程直线的斜截式方程为所以直线的斜率由
得
， ，
化为
，
即直线的倾斜角为，故答案为 . 【点睛】
本题主要考查直线的方程、斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直
线的斜率，求直线斜率的常见方法有：（1）已知直线上两点的坐标求斜率（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式或斜截式即可. 14．已知函数【答案】
【解析】根据函数的解析式先推导出出结果． 【详解】 ∵函数∴
，
，且
,
，从而
，则
__________．
；
，由此能求
,故答案为．
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现求值．
15．一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2、2、3，则其外接球的表面积为__________． 【答案】
的形式时，应从内到外依次
【解析】长方体的体对角线即为它的外接球的直径，由此可得出长方体外接球的半径径，再利用球体的表面积公式可得出球体的表面积．
第 8 页 共 16 页
【详解】
设该长方体的外接球的半径为，
因为长方体的体对角线即为它的外接球的直径， 所以
，
,
因此，该正方体外接球的表面积为故答案为【点睛】
．
本题主要考查球的表面积的计算，以及长方体的外接球，属于基础题.解答多面体外接球问题时，将所给多面体补成长方体，转化为求长方体外接球问题，往往能起到事半功倍的效果． 16．已知圆：__________． 【答案】
也对称，利用中点坐标公
，圆
与圆
关于点
对称，则圆
的方程为
【解析】两圆关于点对称，则两圆半径相等，圆心关于点式求得【详解】 由圆：设
，因为圆关于点
与圆
，可得关于点
对称，
，
，从而可得结果．
所以与对称，
可得，
， ， ．
所以圆的半径为5，圆心为圆
的方程为
故答案为【点睛】
本题考查了圆的方程，以及中点坐标公式的应用，属基础题．求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标
，根据题意列出关于
的方程即可；②根据几何意义
直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程
第 9 页 共 16 页
或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
三、解答题 17．如图，在正方体
中，、、分别是
、
、
的中点．
（1）求证：（2）求证：平面
； 平面
．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）由能证明平面【详解】 （1）∵在正方体∵、、分别是∴∵∴∴
平面，平面
．
中，
、
、
的中点． ， ，
．
第 10 页 共 16 页
、， ，，
，
、
中， 的中点．
．
，
可得
平面，
，结合
平面
，
；（2）推导出，由此能证明平面
（2）在正方体∵、、分别是∴
，
∴平面
平面
，
【点睛】
本题主要正方体的性质、考查利用线面垂直证明线线垂直、利用线面平行证明面面平行，属于基础题．解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.
18．（1）已知点（2）求过直线直线的方程． 【答案】（1）
；（2）
.
的中点，利用斜率公式求出斜率，结合直线垂
和点
和
，求过直线
的中点且与
垂直的直线的方程；
的
的交点，且平行于直线
【解析】（1）利用中点坐标公式求出
直斜率之间的关系与点斜式进行求解即可；（2）求出直线的交点坐标，结合直线平行的条件求出直线斜率，利用点斜式进行求解即可． 【详解】 （1）与
的斜率为
，
，即
得
，即交点坐标为
的直线的方程为
，则，即直线的方程为
，
．
．
， ，
，
的中点坐标为
，即
，
垂直的直线斜率
则直线的方程为（2）由设平行于直线直线过得
【点睛】
本题主要考查直线方程的求解，以及直线垂直和平行的关性质，属于中档题． 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）
（
）；（2）
第 11 页 共 16 页
（），这类问题尽管简单却容易出错，
特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 19．已知（1）当（2）设
，
是偶函数，求实数的值； ，若函数
存在零点，求实数的取值范围．
.
，即，变形可得
（2）若
，则
，
，从而可得结果；
有零点等价于方程的值域，从而可得结论．
有
．
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由偶函数的性质可得
根，利用指数函数与对数函数的单调性求得函数【详解】 （1）根据题意，若即变形可得：即（2）若若函数
，则，则
存在零点，则方程.
，
，
为偶函数，则
，
， ，
有根，
，
又由若方程
，则，则
，
，
有根，必有
．
即的取值范围为【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的零点以及指数函数与对数函数的性质，属于中档题．已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由
恒成立求解，（2）偶函数由
殊值：奇函数一般由
求解，偶函数一般由
第 12 页 共 16 页
恒成立求解；二是利用特
求解，用特殊法求解
参数后，一定要注意验证奇偶性. 20．已知（1）当（2）若函数【答案】（1）
，在区间
时，求函数
．
的值域；
内有最大值-5，求的值． ；（2）
或
.
【解析】（1）结合二次函数的性质，判断所给区间与对称轴的位置，利用二次函数的单调性即可求解；（2）先将二次函数配方，然后结合对称轴与所给区间的位置关系进行讨论，对每一种情况求出相应的最大值，即可求得值． 【详解】 （1）当
时，时，函数
当当故函数（2）∵①当令
，即
，得
时，
，在
单调递减，
， ，
；
的开口向下，对称轴
，
．
的对称轴
，开口向下，
时，函数有最大值时，函数有最小值的值域
上单调递增，函数取最大值
（舍去）．
②当令③当∴令
，即，得，即时，
时，取最大值为，得
时，． 在
时， 取最大值为，
内递减， ， ，解得
，或
，其中
．
综上所述，【点睛】
或
本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、函数的最值，考查了分类讨论思想，属于中档试题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
第 13 页 共 16 页
21．已知过点所得弦长为
．
的圆的圆心在轴的非负半轴上，且圆截直线
（1）求的标准方程； （2）若过点线的方程． 【答案】（1）
；（2）
.
，求出圆心到直线
所得弦长为
,利用勾股定理列方程可
，结合直线与
且斜率为的直线交圆于、两点，若
的面积为
，求直
【解析】（1）根据题意可得圆的方程为
的距离，结合截直线
得的值，代入圆的方程即可得结果；（2）设直线的方程为圆的位置关系可得
的值，求出点到直线
的距离，由三角形面积公式可得
，解得的值，代入直线的方程即可得结果．
【详解】
（1）根据题意，圆的圆心
且经过点
，则圆的方程为
，
圆心到直线若圆截直线
的距离所得弦长为
， ，
则有解可得：则
则圆的方程为
， ，
，
；
，即
，
（2）根据题意，设直线的方程为
圆的方程为，则圆心到直线的距离，
则，
又由，则到直线的距离，
第 14 页 共 16 页
若解可得：
的面积为
，
，则，
则直线的方程为【点睛】
．
本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系，以及点到直线的距离公式与三角形面积公式的应用，涉及直线与圆相交弦长的计算，属于基础题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式
，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，
圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解. 22．已知三棱柱、、分别是
、
、中，
底面
，
，
，
，
的中点．
（1）求证：（2）求三棱锥
平面； 的体积．
【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】（1）欲证中点，连
，
平面
，根据线面平行的判定定理可知，需证线线平行，取
，从而可得结论；（2）由直棱
，利用平行四边形的性质证明的距离就是到平面
柱的性质可得到三棱锥【详解】 （1）取
的距离，然后再根据棱锥的体积公式求出
的体积．
中点，连，，
第 15 页 共 16 页
∵分别为，的中点，
∴又为则四边形∵∴
，的中点，∴
，
，
， ，
为平行四边形，可得，； 中，由
，
，
平面
，
平面平面
（2）在，可得，
∴到∵∵
的距离为底面，
，即到平面的距离．
，∴，
为直角三角形，
∴则即三棱锥【点睛】
．
．
的体积为．
本题主要考查线面平行的判定定理、以及棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
第 16 页 共 16 页
