2015届高考数学(文)基础知识总复习课时精练：第3章 第5节 三角函数的图象与性质]

第五节 三角函数的图象与性质

题号 1 2 3 4 5 答案

π

1．下列函数中，周期为的是( )

2

A．y＝sin B．y＝sin 2x

2C．y＝cos D．y＝cos 4x 4

6 7 xx 2π

解析：利用公式 T＝ 即可得到答案D.

ω

答案：D

2．(2013·潮州二模)下列函数中，周期为1的奇函数是( )

π2

A．y＝1－2sinπx B．y＝sin2πx＋ 3

π

C．y＝tan x D．y＝sin πxcos πx 2

解析：因为y＝1－2sinπx＝cos 2πx，为偶函数，排除A.

因为对于函数



≠－sin2π



y＝sin2π

ππ

x＋，f(－x)＝sin－2πx＋

33

2

π

x＋，不是奇函数，排除B.

3ππ

对于y＝tan x，T＝＝2≠1，排除C.

2π

212π

对于y＝sin πxcos πx＝sin 2πx，为奇函数，且T＝

22π

＝1，满足条件．故选D.

答案：D

3．(2013·广州一模)函数y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)是( )

π

A．奇函数且在0，上单调递增 2

π

B．奇函数且在，π上单调递增 2

π

C．偶函数且在0，上单调递增 2

π

D．偶函数且在，π上单调递增 2

22

解析：y＝sinx－cosx＝－cos 2x，可见它是偶函数，并且π

在0，上是单调递增的． 2

答案：C

π

4．(2013·肇庆二模)已知函数f(x)＝Asinωx＋(A＞0，6

ω＞0，x∈R)的最小正周期为2，且f(0)＝3，则函数f(3)＝( )

A．－3 B.3 C．－2 D．2

2π

解析：由题意可得：函数的最小正周期T＝＝2，解得ω

ω

π1

＝π，又f(0)＝Asin ＝A＝3，可得A＝23，故函数的解

62ππ

析式为：f(x)＝23sinπx＋.故f(3)＝23sin3π＋＝66

ππ1

23sinπ＋＝－23sin ＝－23×＝－3.故选A.

662

答案：A

5．(2013·东莞二模)已知函数y＝sin x＋cos x，则下列结论正确的是( )

π

A．此函数的图象关于直线x＝－对称

4

B．此函数的最大值为1

ππ

C．此函数在区间－，上是增函数 44D．此函数的最小正周期为π

π

解析：因为函数y＝sin x＋cos x＝2sinx＋， 4

π

当x＝－时函数值为0，函数不能取得最值，所以A不正

4

确；

ππ

函数y＝sin x＋cos x＝2sinx＋，当x＝时函数取

44

得最大值为2，B不正确；

3πππππ

，因为函数x＋∈－，，即x在－上函数是24442

ππ

增函数，所以函数在区间－，上是增函数，C正确．函数44的周期是2π，D不正确；故选C.

答案：C

6．“φ＝π”是“函数f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A

7．(2013·惠州模拟)如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧

AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为( )

解析：如图，

取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d＝2sin θ，又l＝2θR＝2θ，所以d＝2sin ，根据正弦函数的图象知，选项C中的

2

图象符合解析式．故选C.

答案：C

π

8．(2013·太原模拟)若函数f(x)＝2tankx＋的最小正3周期T满足1l

ππ

解析：因为T＝，所以1<<2，即kk2

数，所以k＝2或3.

答案：2或3

2

9．(2013·苏州模拟)函数y＝sin x＋16－x的定义域为________．

解析：因为sin x≥0，所以2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，因

2

为16－x≥0，所以－4≤x≤4，

取交集得[－4，－π]∪[0，π]． 答案：[－4，－π]∪[0，π]

πxπxπx10. (2012·广东两校联考)设Mcos ＋cos ，sin

353

πx＋sin (x∈R)为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f(x)＝

5

|OM|，当x变化时，函数f(x)的最小正周期是__________．

解析：∵f(x)＝|OM|＝ πxπxπxπx22cos ＋cossin ＋sin ＋＝ 3535

πxπx2πxπx－＝ cos 2＋2cos21＋cos ＝2 ，351515

画图易知函数f(x)的最小正周期为15. 答案：15

44

11．函数y＝sinx＋cosx的单调递增区间是____________．

kππkπ

－，答案：(k∈Z)(开区间也可) 242

22

12．(2013·潮州二模)已知函数f(x)＝3(sinx－cosx)－2sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

π

(2)设

πx∈－3π

，，求f(x)的值域和单调递增区间． 3

22

解析：(1)∵f(x)＝－3(cosx－sinx)－2sin xcos x

π

＝－3cos 2x－sin 2x＝－2sin2x＋. 3∴f(x)的最小正周期为π.

ππππ(2)∵x∈－，，∴－≤2x＋≤π，

3333

π3

∴－≤sin2x＋≤1. 32∴f(x)的值域为[－2，3]．

π

∵当y＝sin2x＋递减时，f(x)递增． 3ππππ∴≤2x＋≤π，即≤x≤. 23123

ππ

故f(x)的递增区间为，. 123

π

13．(2013·南通质检)已知a>0，函数f(x)＝－2asin2x＋

6

π

＋2a＋b，当x∈0，时，－5≤f(x)≤1. 2

(1)求常数a，b的值； (2)求f(x)的单调区间．

πππ7解析：(1)∵x∈0，，∴≤2x＋≤π，

2666

π1

∴－≤sin2x＋≤1， 62

又∵a>0，－5≤f(x)≤1，

－2a＋2a＋b＝－5，∴a＋2a＋b＝1，

a＝2，

即b＝－5.

ππ

＋2kπ≤2x＋≤

62

ππππ

＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，由＋2kπ≤2x＋

3626

3π2

≤π＋2kπ，得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z， 263

π2

∴f(x)的单调递增区间为＋kπ，π＋kπ(k∈Z)， 36

ππ

单调递减区间为－＋kπ，＋kπ(k∈Z)． 36

14．已知向量a＝(sin x，cos x), b＝(sin x，sin x)，c＝(－1,0)．

π

(1)若x＝，求向量a与c的夹角θ；

33ππ1

(2)若x∈－，，函数f(x)＝λa·b的最大值为，842

求实数λ的值．

31π

解析：(1)当x＝时，a＝， ，322

3－2a·c3

所以 cos θ＝＝＝－. |a||c|1×125π

因而θ＝.

6

2

(2)f(x)＝λ(sinx＋sin x cos x) λ

＝(1－cos 2x＋sin 2x) 2

πλ

＝1＋2sin2x－，

42

3ππππ

，，所以2x－∈－π，因为x∈－. 8444

π

(2)f(x)＝－4sin2x＋

6π－1，由－2

λ11

当λ>0时，f(x)max＝(1＋1)＝，即λ＝.

222λ1

当λ<0时，f(x)max＝(1－2)＝，即λ＝－1－2.

22

1

所以λ＝或λ＝－1－2.

2