第十章 导数及其应用
§10.1导数及其运算
一、知识导学
1.瞬时变化率：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应地改变 ，如果当 趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数 在点 的瞬时变化率。
2.导数：当 趋近于零时， 趋近于常数c。可用符号“ ”记作：当 时， 或记作 ，符号“ ”读作“趋近于”。函数在 的瞬时变化率，通常称作 在 处的导数，并记作 。
3.导函数：如果 在开区间 内每一点 都是可导的，则称 在区间 可导。这样，对开区间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 。于是，在区间 内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 的导函数。记为 或 （或 ）。
4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。
2）函数积的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3）函数的商的求导法则：设 ， 是可导的， ，则
5.复合函数的导数:设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数 ,则复合函数 在点 处有导数,且 .
6.几种常见函数的导数：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
二、疑难知识导析
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
2.运用复合函数的求导法则 ,应注意以下几点
（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.
(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如 实际上应是 。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如 选成 ， 计算起来就复杂了。
3.导数的几何意义与物理意义
导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。
4.
表示 处的导数，即 是函数在某一点的导数； 表示函数 在某给定区间 内的导函数，此时 是在 上 的函数，即 是在 内任一点的导数。
5.导数与连续的关系
若函数 在 处可导，则此函数在点 处连续，但逆命题不成立，即函数
在点 处连续，未必在 点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函数 在 处的导数，表示曲线在点 处切线的斜率，因
此，曲线 在点 处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： ，如果曲线 在点 的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 .
三、经典例题导讲
[例1]已知 ,则 .
错因：复合函数求导数计算不熟练,其 与 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为: .
正解：设 , ,则
.
[例2]已知函数 判断f(x)在x=1处是否可导？
错解： 。
分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .
解：
∴ f(x)在x=1处不可导.
注： ，指 逐渐减小趋近于0； ，指 逐渐增大趋近于0。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 ，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.
[例3]求 在点 和 处的切线方程。
错因：直接将 ， 看作曲线上的点用导数求解。
分析：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值；
点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．
解：
即过点 的切线的斜率为4，故切线为： ．
设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ，
故 ， 。
即切线 的斜率为4或12，从而过点 的切线为：
点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．
[例4]求证：函数 图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.
分析： 由导数的几何意义知，要证函数 的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.
解：（1） ，即对函数 定义域内的任一 ，其导数值都小于 ，于是由导数的几何意义可知，函数 图象上各点处切线的斜率都小于1.
（2）令 ，得 ，当 时， ；当 时， ，
曲线 的斜率为0的切线有两条，其切点分别为 与 ，切线方程分别为 或 。
点评： 在已知曲线 切线斜率为 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是 的导数值为 时的解，即方程 的解，将方程 的解代入 就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程 有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.
[例5]已知 ，函数 ， ，设 ，记曲线 在点 处的切线为 .
（1）求 的方程；
（2）设 与 轴交点为 ，求证：
① ； ②若 ，则
分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .
解：（1）
切线 的方程为
即 .
（2）①依题意，切线方程中令y=0得，
②由①知 ，
[例6]求抛物线 上的点到直线 的最短距离.
分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点 到直线的距离表示为自变量 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线 的距离即为本题所求.
解：根据题意可知，与直线 x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（ ），那么 ,∴
∴ 切点坐标为 ，切点到直线x－y－2=0的距离 ，
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为 .
四、典型习题导练
1.函数 在 处不可导，则过点 处，曲线 的切线 （ ）
A．必不存在 B．必定存在 C．必与x轴垂直 D．不同于上面结论
2. 在点x=3处的导数是____________.
3.已知 ，若 ，则 的值为____________.
4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线 上的两点，则与直线 平行的曲线 的切线方程是 _____________.
5.如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程.
6．若过两抛物线 和 的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线 过定点 ，并求出定点 的坐标.
§10.2导数的应用
一、 知识导学
1.可导函数的极值
（1）极值的概念
设函数 在点 附近有定义，且若对 附近的所有的点都有 （或 ），则称 为函数的一个极大（小）值，称 为极大（小）值点.
（2）求可导函数 极值的步骤:
①求导数 。求方程 的根.
②求方程 的根.
③检验 在方程 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极小值.
2.函数的最大值和最小值
（1）设 是定义在区间 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求 在 内的极值.
②将 在各极值点的极值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数 在 上单调增加，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 在 上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值.
二、疑难知识导析
1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数 取值为0的点称为函数 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数 在点 处有极小值 =0，
可是这里的 根本不存在，所以点 不是 的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数 的导数 ，在点 处有 ，即点 是 的驻点，但从 在 上为增函数可知，点 不是 的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.
(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.
2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系
极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间 内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.
三、经典例题导讲
[例1]已知曲线 及点 ，求过点 的曲线 的切线方程.
错解： ， 过点 的切线斜率 ， 过点 的曲线 的切线方程为 .
错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点 凑巧在曲线 上，求过点 的切线方程，却并非说切点就是点 ，上述解法对求过点 的切线方程和求曲线在点 处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.
正解：设过点 的切线与曲线 切于点 ，则过点 的曲线 的切线斜率
，又 ， 。① 点 在曲线 上，
②，②代入①得
化简，得 ， 或 .若 ，则 ，过点 的切线方程为 ；若 ，则 ，过点 的切线方程为 过点 的曲线 的切线方程为 或
[例2]已知函数 在 上是减函数，求 的取值范围.
错解： 在 上是减函数， 在 上恒成立，
对一切 恒成立， ，即 ， .
正解: ， 在 上是减函数， 在 上恒成立， 且 ，即 且 ， .
[例3]当 ，证明不等式 .
证明： ， ，则 ，当 时。 在 内是增函数， ，即 ，又 ，当 时， ， 在 内是减函数， ，即 ，因此，当 时，不等式 成立.
点评：由题意构造出两个函数 ， .利用导数求函数的单调区间，从而导出 及 是解决本题的关键.
[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
解 ： 设BD之间的距离为 km,则|AD|= ,|CD|= .如果公路运费为 元/km,那么铁路运费为 元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费 为: + ,( ).对该式求导,得 = + = ,令 ,即得25 =9( ),解之得
=15, =-15(不符合实际意义,舍去).且 =15是函数 在定义域内的唯一驻点,所以 =15是函数 的极小值点,而且也是函数 的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.
点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
[例5]函数 ，其中 是 的导函数.（1）对满足－1≤ ≤1的一切 的值，都有 ＜0，求实数 的取值范围；
（2）设 ＝－ ，当实数 在什么范围内变化时，函数 ＝ 的图象与直线 ＝3只有一个公共点.
解：（1）由题意
令 ，
对 ，恒有 ，即
∴ 即
解得
故 时，对满足－1≤ ≤1的一切 的值，都有 .
（2）
①当 时， 的图象与直线 只有一个公共点
②当 时，列表：
极大 极小
∴
又∵ 的值域是 ，且在 上单调递增
∴当 时函数 的图象与直线 只有一个公共点.
当 时，恒有
由题意得
即
解得
综上， 的取值范围是 .
[例6]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为 的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（ 照度与 成正比，与 成反比）
分析：如图，由光学知识，照度 与 成正比，与 成反比，
即 （ 是与灯光强度有关的常数）要想点 处有最
大的照度，只需求 的极值就可以了.
解：设 到 的距离为 ，则 ，
于是 ， .
当 时，即方程 的根为 （舍）与 ，在我们讨论的半闭区间 内，所以函数 在点 取极大值，也是最大值。即当电灯与 点距离为 时，点 的照度 为最大.
（0， ）
+ -
↗ ↘
点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 =0且在该点两侧， 的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.
四、典型习题导练
1．已知函数 ，若 是 的一个极值点，则 值为 （ ）
A．2 B.-2 C. D.4
2.已知函数 在 处有极值为10，则 = .
3．给出下列三对函数：① ② ，
③ ， ；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是 ， .
4．已知函数 有极大值和极小值，求 的取值范围.
5．已知抛物线 ，过其上一点 引抛物线的切线 ，使 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求 的方程.
6．设 在 上的最大值为 ， ，
（1）求 的表达式；（2）求 的最大值.
§10.3定积分与微积分基本定理
一、知识导学
1．可微：若函数 在 的增量 可以表示为 的线性函数 （ 是常数）与较 高阶的无穷小量之和: （1）,则称函数 在点 可微，（1）中的 称为函数 在点 的微分，记作 或 .函数 在点 可微的充要条件是函数 在 可导，这时（1）式中的 等于 .若函数 在区间 上每点都可微，则称 为 上的可微函数.函数 在 上的微分记作 .
2．微积分基本定理：如果 ，且 在 上可积.则
.其中 叫做 的一个原函数.
由于 ， 也是 的原函数，其中 为常数.
二、疑难知识导析
1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.
1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者 趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成 份，这样只要2其中的使 就可以了.
2）对每个小区间内 的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.
3）求极限的时候，不是 ，而是 .
2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为 .
3．利用定积分来求面积时，特别是位于 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.
三 、经典例题导讲
[例1]求曲线 与 轴在区间 上所围成阴影部分的面积S.
错解：分两部分，在 ，在 ，因此所求面积 为 2+（-2）=0。
分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。
正解：
[例2]用微积分基本定理证明
（ ）
分析：即寻找 的原函数代入进行运算。
解；设 ，则
= =
由微积分基本定理的逆运用可知：上式
所以原式成立，即证。
注：该式可用来求分布在 轴两侧的图形的积分。
[例3]根据等式求常数 的值。
1） 2）
分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入 求解
解：1）
2）
[例4]某产品生产x个单位时的边际收入
（１） 求生产了50个单位时的总收入。
（２） 如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。
分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数 和边际收入 的关系可得
（1）生产50个单位时的总收入为
= =99875
（2）已生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为
答：生产50个单位时的总收入为99875；生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850.
[例5]一个带电量为 的电荷放在 轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿 轴方向从 处移动到 处时电场力对它所作的功。
分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。
解：单位正电荷放在电场中，距原点 处，电荷对它的作用力为
在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知
答：电场力对它做的功为 。
[例6]一质点以速度 沿直线运动。求在时间间隔 上的位移。
分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。
解：
答：位移为 。
四、典型习题导练
1. ( )
A. B. C. D.
2． （ ）
A．0 B.2 C.-2 D.4
3． ，则 。
4．利用概念求极限：
5．求下列定积分；
（1） （2）
6．写出下面函数在给定区间上的总和 及 的表达式
