2016北京海淀清华附中实验班高一(上)期中数学

数 学

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知集合A1,2,3,4，B1,3,5，则AIB（ ）．

A．1,3

2B．2,4,5

C．1,2,3,4,5

D．

2．计算83=（ ）．

11 A． 4 B．  C． 4 D．

4413．函数f(x)的定义域为（ ）．

93x

A．(,2] A．6个

B． (,2) B．7个

C．(0,2] C．8个

D． (0,2) D．10个

4．满足条件AUa,b,ca,b,c,d,e的集合A共有（ ）．

1x5．函数f(x)2x的零点在区间（ ）．

4 A．(3,2) B． (2,1)

33 B． a≤ 22C．(1,0)

D． (0,1)

6．函数f(x)x22ax1，且有 f(1)f(2)f(3)，则实数a（ ）． A．aC．a1 D． a≤1

7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（ ）． A．

pq(p1)(q1)1 B． C． pq 22D． (p1)(q1)1

1,xA8．定义全集U的子集A的特征函数fA(x)对于任意的集合A、BU，下列说法错误的是（ ）．

0,xA A．若AB，则fA(x)≤fB(x)，对于任意的xU成立

B．fAIB(x)fA(x)fB(x)，对于任意的xU成立 C．fAUB(x)fA(x)fB(x)，对于任意的xU成立 D．若AðUB，则fA(x)fB(x)1，对于任意的xU成立 二、填空题（每小题5分，共30分）

2x,x≤09．已知函数f(x)2，则ff(2)__________．

x,x0【答案】16

【解析】解：f[f(2)]f(4)16．

10．已知函数f(x)kx1，若对于任意的x[1,1]，均有f(x)≥0，则实数k的取值范围是__________． 11．若函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x2，则不等式f(x)≤0的解集为__________． 12．已知函数f(x)ax22ax1在[3,2]上的最大值为4，则实数a__________．

13．已知映射f:NN满足：①f(1)2，f(2)3；②对于任意的nN，f(n)f(n1)；③对于任意的n≥3，nN，存在i，jN，1≤ijn，使得f(n)f(i)f(j)

（1）f(5)的最大值__________．

1 / 9

（2）如果f(m)2016，则m的最大值为__________． 14．已知函数f(x)2x，给出下列命题： ①若x0，则f(x)1；

②对于任意的x1，x2R，x1x20，则必有(x1x2)[f(x1)f(x2)]0； ③若0x1x2，则x2f(x1)x1f(x2)； ④若对于任意的x1，x2R，x1x20，则三、解答题

215．已知全集UR，集合Ax|x10，Bx|xa0．

f(x1)f(x2)2xxf12，其中所有正确命题的序号是_____． 2（Ⅰ）当a1时，求集合(ðUA)IB．

a（Ⅱ）若(ðUA)IB，求实数的取值范围．

2216．已知集合Ax|xaxxa0，Bx|x6x80．

（Ⅰ）当a3时，求AIB．

（Ⅱ）若AIB中存在一个元素为自然数，求实数a的取值范围．

17．已知函数f(x)ax(a0,a1)． （Ⅰ）若f(1)f(1)5，求f(2)f(2)的值． 28（Ⅱ）若函数f(x)在[1,1]上的最大值与最小值的差为，求实数a的值．

3

18．已知yf(x)的图像可由yx2x的图像平移得到，对于任意的实数t，均有f(t)f(4t)成立，且存在实数

m，使得g(x)f(x)mx2为奇函数．

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式．

（Ⅱ）函数yf(x)的图像与直线ykxk有两个不同的交点A(x1,y1)， B(x2,y2)，若x11，x23，求实数k的取值范围．

2 / 9

19．已知函数yf(x)的定义域为R，且满足： （1）f(1)3．

（2）对于任意的u，vR，总有f(uv)f(u)f(v)1． （3）对于任意的u，vR，uv0，(uv)[f(u)f(v)]0． （Ⅰ）求f(0)及f(1)的值．

（Ⅱ）求证：函数yf(x)1为奇函数．

12（Ⅲ）若fm2f2

1m2，求实数m的取值范围．

2Y(y1,y2,y3,...,yn)，Sn(x1,x2,x3,L,xn)|xi0,1,iN*,i≤n．20．对于给定的正整数n，对于X(x1,x2,x3,...,xn)，

有：

（1）当且仅当(x1y1)2(x2y2)2(x3y3)2L(xnyn)20，称XY． （2）定义XYx1y1x2y2x3y3..Lxnyn．

（Ⅰ）当n3时，X(1,1,0)，请直接写出所有的YS3，满足XY1．

（Ⅱ）若非空集合ASn，且满足对于任意的X，YA，XY，均有XY0，求集合A中元素个数的最大值． （Ⅲ）若非空集合BSn，且满足对于任意的X，YA，XY，均有XY0，求集合B中元素个数的最大值．

3 / 9

数学试题答案

一、选择题（每小题5分，共40分） 1． 【答案】A

【解析】解：∵集合A1,2,3,4，B1,3,5， ∴AIB1,3， 故选：A． 2． 【答案】D 【解析】解：8故选：D． 3． 【答案】

【解析】解：要使函数有意义，则x需满足93x0，解得：x2， ∴函数f(x)的定义域是(,2)． 故选：B． 4． 【答案】C

【解析】解：∵AUa,b,ca,b,c,d,e，

∴dA，eA，a，b，c每一个元素都有属于A，不属于A2种可能， ∴集合A共有238种可能，故选：C． 5． 【答案】B

2323(2)3221． 411111121【解析】解：∵f(2)2(2)0，f(1)20，

442424∴函数f(x)的零点在区间(2,1)．故选：B． 6． 【答案】A

【解析】解：∵f(x)x22ax1，

∴f(1)22a，f(2)54a，f(3)106a， ∵f(1)f(2)f(3)， ∴22a54a106a， 解得a3． 2故选：A． 7． 【答案】D

4 / 9

【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x，则(1p)(1q)(1x)2， 解得：x(1p)(1q)1． 故选：D． 8． 【答案】C

【解析】解：当xA且xB时，fAUB(x)1，fA(x)1，fB(x)1， 所以fAUB(x)fA(x)fB(x)， 所以C选项说法错误，故选C．

二、填空题（每小题5分，共30分） 9．

【答案】16

【解析】解：f[f(2)]f(4)16． 10．

【答案】[1,1]

【解析】解：若f(x)kx1，对于任意的x[1,1]，均有f(x)≥0， f(1)k1≥0则， f(1)k1≥0解得：1≤k≤1，

故：实数k的取值范围是[1,1]． 11．

【答案】(,10)U[0,1]

【解析】解：作出yf(x)的图像如图所示：

11x

故不等式f(x)≤0的解集为：(,10)U[0,1]． 12．

3【答案】或3

8【解析】解：当a0时，f(x)1，不成立．

当a0时，f(x)ax22ax1，开口向上，对称轴x1，

3当x2时取得最大值，所以f(2)4a4a14，解得a．

8当a0时，f(x)ax22ax1，开口向下，对称轴x1， 当x1时，取得最大值，所以f(1)a2a14，解得a3．

5 / 9

3综上所述：或3．

8 13．

【答案】（1）13；（2）2013 【解析】解：（1）由题意得：f(1)2，f(2)3，f(3)5，f(4)7或f(4)8， ∴f(5)最大f(3)f(4)5813．【注意有文字】

（2）若m取最大值，则f(n)可能小，所以：f(1)2，f(2)3，f(3)5，f(4)7，f(5)8， f(6)9，f(7)10Ln≥3时f(n)n3，

令m32016，m2013． 故m的最大值为2013． 14．

【答案】见解析 x【解析】解：f(x)2x12， 对于①，当x0时，1x2(0,1)，故①错误．

x对于②，f(x)12在R上单调递减，所以当x1x2时f(x)f(x2)，

即：(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，故②正确．

x对于③f(x)x表示图像上的点与原点连线的斜率，由f(x)12的图像可知，

当0x1x2时，

f(x1)xf(x2)，即：x2f(x1)x1f(x2)，故③错误． 1x2对于④，由f(x)得图像可知，

f(x1)f(x2)fx1x222，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．

三、解答题 15．

【答案】见解析

【解析】解：（1）当a1时，集合Ax|x210x|x1或x1，ðUAx|1≤x≤1， ∴(ðUA)IBx|1x≤1． （2）集合ðUAx|1≤x≤1，Bx|xa， 若(ðUA)IB，则a1，即：a1． 故实数a的取值范围是：(1,)． 16．

【答案】见解析

【解析】解：（1）当a3时，集合Ax|x24x3≤0x|1≤x≤3，

Bx|x26x80x|2x4，

6 / 9

Bx|x10x|x1，

∴AIBx|2x≤3．

2（2）集合Ax|xaxxa≤0x|(xa)(x1)≤0，Bx|2x4，

若AIB中存在一个元素为自然数，则3A． 当a1时，A1，显然不符合题意．

当a1时，Ax|a≤x≤1，3A，不符合题意， 当a1时，Ax|1≤x≤a，若3A，则a≥3． 综上所述，实数a的取值范围是[3,)． 17． 【答案】见解析

【解析】解：（Ⅰ）∵f(x)ax，f(1)f(1)∴f(1)f(1)a5， 2151，解得：a2或， a221722当a2时，f(x)2x，f(2)f(2)22，

4117111当a时，f(x)，f(2)f(2)，

42222故f(2)f(2)x2217． 4（Ⅱ）当a1时，f(x)ax在[1,1]上单调递增，

81∴f(x)maxf(x)minf(1)f(1)aa，化简得3a28a30，

31解得：a（舍去）或a3．

3当0a1时，f(x)ax在[1,1]上单调递减，

81∴f(x)maxf(x)minf(1)f(1)aa，化简得3a28a30．

31解得：a3（舍去）或a．

31综上，实数a的值为3或．

3 18．

【答案】见解析

1【解析】解：（Ⅰ）yx2x的图像关系x对称，f(x)关于x2对称，

255∴可设f(x)xx6

222255xb 4215x24xb，

4x25x又存在实数m，使得g(x)f(x)mx2为奇函数， ∴f(x)不含常数项．

7 / 9

故f(x)x24x．

（Ⅱ）∵f(x)的图像与ykxk有两个不同交点， ∴x24xkxk有两个解， ∴(4k)24k0，

解得：k625或k625，

3∵x11，x23，f(3)3，(1,0)和(3,3)连线的斜率为，

43∴k．

43综上所述，实数k的取值范围是,．

4 19．

【答案】见解析

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u，vR，都有f(uv)f(u)f(v)1， ∴令u0，v1，得f(1)f(0)f(1)1， ∴f(0)1．

令u1，v1，则f(0)f(1)f(1)1， ∴f(1)1．

（Ⅱ）令ux，vx，则有f(0)f(x)f(x)1， ∴f(x)f(x)2，

令g(x)f(x)1，则g(x)f(x)1，

∴g(x)g(x)f(x)f(x)20，即：g(x)g(x)． 故yg(x)f(x)1为奇函数．

（Ⅲ）∵对于任意的u，vR，uv0，(uv)[f(u)f(v)]0， ∴f(x)为单调增函数，

12∵fm2f21m2

21fm2[f(2m1)1]2

21fm22f(2m1)10

21fm2f(1m)10

21fm212m0．

21且f(1)f21∴f0，

212∴fm12m21f， 21f11， 2121∴m12m， 22 8 / 9

即：m24m30， 解得m1或m3．

故实数m的取值范围是(,1)U(3,)． 20．

【答案】见解析

【解析】解：（Ⅰ）Y11,0,0，Y21,0,1，Y30,1,0，Y40,1,1．

（Ⅱ）若非空集合ASn，且满足对于任意的X，YA，XY，均有XF0，则A中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,0L0)，(1,0,0,0L0)，(0,1,0L0)，(0,0,1L0)L(0,0,0L1)共有n1个． 故A中元素个数的最大值为n1．

（Ⅲ）不妨设Xx1,x2x3Lxn其中x30,1，0≤n，X1x1,1x2L1xn， 显然若XS，则XX0， ∴XB与XB不可能同时成立， ∵S中有2n个元素， 故B中最多有2n1个元素．

9 / 9