欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学 立体几何的难点突破 2球的接切问题 试题

外接球、内切球和棱切球

【例3】有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点,那么三个球面积之比为．

【解析】设正方体棱长为a,那么有内切球半径R1a; 2棱切球其直径为正方体各面上的对角线长,那么有R22a; 2外接球直径为正方体的对角线长,∴有R323a, 2所以面积之比为1:2:3221:2:3.

【评注】正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如下列图．设正方体的棱长为a，那么内切球半径|OJ|＝r＝；正方体的棱切球：|GO|＝R＝a；正方体的外接球：那么|A1O|＝R′＝a.用构造法易知：棱长为a的正四面体的外接球半

径为

6a. 4【变式1】构建正方体求解三棱锥有关问题

假设正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，那么该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.

1.

31:3.【解析】设正三棱锥侧棱长为a，纳入正方体中易知外接球半径为

3a,2a3体积V6，内切球球心将正三棱锥分成四个高为内切球半径的三棱锥，那么

a31a23Vr3632433ra,R:r2a,6231. 3【变式2】构建正方体利用等积法求点到面的间隔

正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上．假设PA，PB，PC两两互相垂直，那么球心到截面ABC的间隔为________．

2.3【解析】由条件可知，以PA，PB，PC为棱可以补充成球的内接正方体，故而PA＋PB＋PC＝32

2

2

2，

由PA＝PB＝PC,得到PA＝PB＝PC＝2,VP－ABC＝VA－PBC⇒h·S△ABC＝PA·S△PBC,得到h＝，故而球心到截面ABC的间隔为R－h＝.

【变式3】构建正方体求解正四面体的外接球的体积

三棱锥

ABCD的所有棱长都为2，那么该三棱锥外接球的体积是________.

【解析】如图构造正方体

3.32ANDMFBEC，那么∵三棱锥

外接球半

ABCD的所有棱长都为2，∴该正方体的棱长为1，∴三棱锥ABCD的

径：R=

34333.故所求V球(). 2322【变式4】通过等价转化求解正方体的内切球的截面圆面积

如图，球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，那么平面ACD1截球O的截面面积为()

A.B.

C.π

D.π

4.A【解析】：根据正方体的几何特征知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公一共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD1内切圆的半径是×tan30°＝，故所求的截面圆的面积是π×＝.

【例4】(2021)直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．假设AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，那么球O的半径为．

【解析】∵AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，那么长方体的对角线l＝＝2R，R＝.

【评注】利用底面为直角三角形的直三棱柱补成长方体求外接球半径,长方体的模型可以使抽象问题详细化.

【变式1】利用三棱两两垂直的四面体补成长方体求解

在四面体

ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=3,AD=2,AC=5，那么该四面体外接球的外表积为．

1.12【解析】由球的对称性及AB,AC,AD两两垂直可以补形为长方体ABDCDCAB,长方体的对称中心

即为球心,∴2RAB2AC2AD235423，∴S43212.

【变式2】如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA,OB,OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱

为

OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次S1,S2,S3的大小关系为________________．

2.S3S1,S2,S3，那么

S2S1【解析】由题意OA,OB,OC两两垂直，可将其放置在以O为一

OA,OB,OC分别为

O

C

顶点的长方体中，设三边

abc，从而易得

A

111ab2c2，S2ba2c2，S3ca2b2，2221221122∴S1S2aba2c2b2a2b2c2c2a2b2，又ab，

444S1B F

C

∴S122即S1S2．同理，用平方后作差法可得S2S3．∴S3S2S1． S20，

【变式3】利用特殊的四棱锥补成长方体求解 点2O

BD

EA

P，A，B，C，D是球O外表上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为

3PA26,那么△OAB的面积为

3.3，B，C，D是球O外表上的点，PA⊥平面ABCD，∴点P，A，B，C，D为球O内接长3【解析】∵点P，A方体的顶点，球心O为长方体对角线的中点.

∴△OAB的面积是该长方体对角面面积的∵

1. 41AB23,PA26，∴PB6,∴SOAB=236=33.

4【变式4】利用半球的内接正方体补成球的长方体求解

半球内有一个内接正方体，那么这个半球的体积与正方体的体积之比为() A.π∶6

B．π∶2 C．π∶2

D．5π∶12

4.B【解析】将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a，球的半径为R，那么

(2R)＝a＋a＋(2a)，即R＝a.

2

2

2

2

∴V半球＝×πR＝π＝πa，V正方体＝a.

3

3

3

∴V半球∶V正方体＝πa∶a＝π∶2.

3

3

【变式5】利用半球的内接三棱柱运用截面圆性质求解

(2021·统考)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面

BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，那么侧面ABB1A1的面积为()A．2B．1 C.D.

5.C.【解析】由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中心．设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴＋＝1，即x＝，那么AB＝AC＝1，∴S矩形ABBA2

2

11＝×1＝.

【例5】正四面体的内切球、与棱相切的球、外接球的三类球的半径比为．

【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径依次为R,r，由正四面体三个球心重合

及其特征，那么正四面体的高

6Rr3,其体积为

163V334,另一面

613，而与棱相切Vr4,那么内切球和外接球的半径比1：3，其和为正四面体的高334的球直径为对棱的间隔

22，那么内切球、与各棱都相切的球、外接球的半径之比为

(61263)::()1:3:3. 34434【变式1】利用正四面补成正方体求解体积 正四面体ABCD的外接球的体积为43，那么正四面体ABCD的体积是_____.

1.843.【解析】由于外接球的体积为43r43r3，故其内接正方体的棱长为2，故正方体体积为331V3正方体8，正四面体的体积为

8 3.

【变式2】利用正四面体的高与外接球半径的关系求球的外表积

正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，那么这个球的外表积是________． 6π【解析】正四面体的外接球半径R为其高的

3，且正四面体的高为4，那么R＝3，S＝4πR＝36π. 42

【变式2】利用正四面体补成正方体求解的球心角

半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，那么

A与B两点与球心连线的夹角余弦值为．

2.1.【解析】设正四面体棱长2a，将其纳入正方体中,其正方体棱长33a，所求角为对角面内两条对角线的夹角为

2a22a231APB，AP=BP=a,AB2a，由余弦定理cosAPB4.

2332a24【变式3】利用正四面体补成正方体求异面直线所成的角

如图，正四面体A-BCD中，E、F分别是AD、BC的中点，那么EF与CD所成的角等于〔〕 A．45°B．90°C．60°D．30°

3.A【解析】如图，将正四面体补形为正方体，答案就脱口而出，应该选A. 【变式4】利用长方体的性质确定折叠四面体的外接球球心

(2021·四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A­BCD，那么四面体A­BCD的外接球的体积为________．

4.【解析】设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OA＝OB＝OC＝OD，∴外接球的半径r＝＝，从而体积V＝×＝.

3

【变式5】(2021·一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，那么该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．

5．【解析】设等边三角形的边长为2a，那么V圆锥＝·πa·a＝πa；

2

3

又R＝a＋(a－R)，所以R＝a，故V球＝·＝a，那么其体积比为.

2

2

2

3

3

【变式6】利用正六棱柱的对称性求外接球的体积

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。该六棱柱的顶点都在同一个球面上，六棱柱的体积为为3，那么这个球的体积为．

6.9，底面周长843【解析】因为该六棱柱的顶点都在同一个球面六棱柱的体积

98，底面周长为3，由

21931，可得到正六棱柱的高为，底面边长为，注意球心的特殊位置，那么半径3h6,h328422413； 那么球体积为r1,3222【变式7】利用球的截面性质求球的内接四棱锥的体积

(2021届月考)矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且体积为．

AB6,BC23,那么棱锥OABCD的

7.83【解析】如下列图，OO垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O，连接OB，OB，OOB中，由OB＝4,OB23，可得

DOO那么在RtCOO＝2,VOABCD11SOO623283. 33AB【变式9】正三棱锥的高为1，底面边长为2积；

〔2〕这个正三棱锥内切球的体积．

6，内有一个球与它的四个面都相切〔如图〕．求：〔1〕这个正三棱锥的外表

9.【解析】底面正三角形中心到一边的间隔为

13262，那么32，

正三棱锥侧

面的斜高为

12(2)23，∴

1S侧326392213S底=(26)263，∴S表9263．

22（2）设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP,OA,OB,OC，而O点到三棱锥的四个面的间隔都为球的半

径r，∴VPABC1VOPABVOPBCVOPACVOABCS表r(3223)r．

3，∴

又

113VPABC(26)2123322r23623223，∴内切球的体积

48Vr3(9622)．

33