无锡市第一中学2020~2021学年度第一学期期中试卷高一数学含答案

高 一 数 学

符合题目要求的．

1．设集合A={a，6}，B={3，4，5}，A∩B={3}，则A∪B=A．{3，4，5，6}

B．{3}

C．{3，6}

D．{3，4，5}

B．x∈R，x2-2x+1≥0D．x∈R，x2-2x+1<0B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

B．2

C．4

D．8

2．命题“x∈R，x2-2x+1≥0”的否定是A．x∈R，x2-2x+1≥0C．x∈R，x2-2x+1<03．“a>b>0”是“a2>b2”的A．充分不必要条件C．充要条件A．1A．0

2020.11

命题：黄荣 审核：冯一成一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

4．已知幂函数f (x)的图象经过点A(4，2)，B(16，m)，则m=5．已知集合A={x│mx2+4x+1=0}仅有一个元素，则m的值是B．4C．0或4

1

6．已知a=20.4，b=20.6，c=log2，则a，b，c的大小关系是

2

A．a2

D．不能确定

D．c则函数h(x)大致图象是

g(x)，f(x)>g(x)，

f(x)，f(x)≤g(x)，

A．B． C． D．

8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是A．若a>0，则a2+1>(a-1)(a+2)C．若a>b，且<，则ab>0

B．若a>b>0，则ac2>bc2

1

a1b

>D．若a>b>0，则22

aa+1bb+1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

·1·

9．已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞，-2)∪(4，+∞)，则A．a>0C．a+b+c>0

B．不等式bx+c>0的解集为{x│x<-4}

D．不等式cx2-bx+a<0的解集为{x│x<-或x>}

1

412

10．下列函数中是偶函数的有

A．y=x2+1C．y=x-1

B．y=2x+x



+1-xD．y=x+1+x-1



1

2

11．如图，某河塘浮萍面积y(m2)与时间t(月)的关系式为y=kat，则下列说法正确的是

A．浮萍每月增加的面积都相等B．第4个月时，浮萍面积会超过25m2C．浮萍面积蔓延到100m2只需6个月

D．若浮萍面积蔓延到10m2，20m2，40m2所需时间分别为t1，t2，t3， 则t1+t3=2t2

12．对于给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，a-b∈M，则称集合M为F集合，则下列说

法中正确的有

A．集合M={1，0，-1}为F集合B．有理数集为F集合

C．集合M={x│x=2k，k∈Z}为F集合D．若集合A，B为F集合，则A∪B为F集合

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．



13．函数y=2x-1的定义域为 ▲ ．

14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若

某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量

▲

m3．

水价3元/m36元/m39元/m3

每户每月用水量不超过12m3的部分超过12m3但不超过18m3的部分

超过18m3的部分

x2-2ax+6，x≤2，15．已知函数f(x)=a是R上的减函数，则a的取值范围为 ▲ ．

，x>2x

1-2x-1，16．已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=若关于x的方程f (x2+x+1

5

3]上有解，则t的最大值为 ▲ ．4x+t)=在[1，

3

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

·2·

17．(本题满分10分)

求值：(1)32+83+()0+()

5

114-2；

29

(2)log354-log32+log23⋅log34．

2▲ ▲ ▲

18．(本题满分12分)

已知集合A={x│2(2)若a>0，设命题p：x∈A，命题q：x∈B．已知命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值围．

▲ ▲ ▲

19．(本题满分12分)

已知x>0，y>0，且+=1．(1)求x+y的最小值；

(2)若xy>m2+6m恒成立，求实数m的取值范围．

▲ ▲ ▲

1x4y

20．(本题满分12分)

某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本

10x2+400x，01004x+-9800，40≤x≤100，

x

售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．

(1)求制造商所获月利润L(x)(元)关于月产量x(台)的函数关系式；

(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．▲ ▲ ▲

·3·

21．(本题满分12分)

xe+a设a∈R，函数f(x)=(e为常数，e=2.718 28…)．ex-a

(1)若a=1，求证：函数f (x)为奇函数；(2)若a<0．

①判断并证明函数f (x)的单调性；

②若存在x∈[1，2]，使得f (x2+2ax)>f (4-a2)成立，求实数a的取值范围．

▲ ▲ ▲

22．(本题满分12分)

关于函数对称性的问题，有如下事实：

①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的对称性．例如，证明函数图象关于y轴对称，就是证明图象上的任一点关于y轴的对称点也在图象上．

②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图象上．③偶函数图象关于y轴对称这个结论可以推广．例如，函数图象关于直线x=1对称的充要条件是函数y=f(x+1)是偶函数．

请根据上述信息完成以下问题：(1)从偶函数定义出发，证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；(2)求函数g(x)=x4+4x3+6x2+4x的对称轴；

(3)已知函数y=h(x+2)为偶函数，且y=h(x)在(2，+∞)上单调递减，若函数h(x)图象上两点A(m，y1)，B(1-2m，y2)满足y1>y2，求实数m的取值范围．

▲ ▲ ▲

·4·

无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷

高一数学参

一、选择题．

1．A5．C

2．D6．D10．ABD

3．A7．D11．BCD

12．BC

4．C8．C

二、选择题．

9．ABD

三、填空题．

13．[0，+∞)

14．16

]15．[2，

3

2

209

16．-7

四、解答题．

17．解：(1)原式=2+4+1+=………………………………………………………………………5分

(2)原式=log3log3+log24

=5 ………………………………………………………………………10分

18．解：(1)a=1时，B=(1，3)， …………………………………………………………2分

则∁RB=(-∞，1]∪[3，+∞)…………………………………………………4分

所以(∁RB)∩A=[3，4)． ………………………………………………………6分(2)a>0时，B=(a，3a)．

因为命题p是命题q的必要不充分条件，则AB， ………………………8分所以

17

2

542

a≤2，

4

解得≤a≤2，4≤3a，3

a=2和4=3a不同时成立，

4

所以实数a的取值范围为[，2]．…………………………………………12分

3y144x

所以x+y=(x+y)(+)=5++≥5+2

xyyxy4x

当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，

yx

y4x⋅=9，yx

19．解：(1)因为x>0，y>0，

所以x+y的最小值为9． ……………………………………………………6分(2)因为x>0，y>0，所以1=+≥2

1

x4y

144，⋅=xyxy

所以xy≥16． ……………………………………………………………………9分又因为xy>m2+6m恒成立，

·1·

所以16>m2+6m，解得-8所以m的取值范围为(-8，2)． ………………………………………………12分20．解：(1)当0+9800-3000当40≤x≤100时，L(x)=1000x-1004x-

10000=6800-(4x+)．

x

-10x2+600x-3000，0………………………6分所以L(x)=10000

6800-(4x+)，40≤x≤100.

x

10000x

(2)①当0所以当x=30时，L(x)max=L(30)=6000． ……………………………………8分

②当40≤x≤100时，L(x)=6800-(4x+)

10000

≤6800-24x⋅=00，

x10000，当且仅当4x=即x=50时取等号．x

10000x

因为00>6000，所以x=50时，L(x)最大． ………………………………11分答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为00元． …12分

x

e+121．解：(1)当a=1时，函数f(x)=，ex-1

因为ex-1≠0，则x≠0，所以f (x)定义域为{x│x≠0}，对任意x≠0，

-xx

e+11+e

f(-x)===-f(x)-x

e-11-ex

x

e+1所以f(x)=是奇函数．…………………………………………………4分ex-1

(2)①当a<0时，f (x)为R上的单调增函数，证明如下：证明：a<0时，ex-a>0恒成立，故函数f (x)定义域为R．

任取x1，x2∈R，且x12a(ex2-ex1)2a2a因为f(x1)-f(x2)=(1+x1)-(1+x2)=x1<0，x2

e-ae-a(e-a)(e-a)

所以f(x)为R上的单调增函数． ………………………………………………8分

②设命题p：存在x∈[1，2]，使得f (x2+2ax)>f (4-a2)成立．下面研究命题p的否定：

¬p：x∈[1，2]，f (x2+2ax)≤f (4-a2)恒成立．

若¬p为真命题，由①，f(x)为R上的单调增函数，故x∈[1，2]，x2+2ax≤4-a2恒成立．

设g(x)=x2+2ax+a2-4，x∈[1，2]，

·2·

g(2)≤0，

a<0，

g(1)≤0，解得-3≤a<0．

因为p为真，则¬p为假命题，

所以实数a的取值范围为(-∞，-3)．………………………………………12分(注：其他解答酌情给分．)

22解：(1)①先证充分性(如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．)设函数y=f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(-x，f(-x))．因为函数的图象关于y轴对称，

所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即f(x)=f(-x)，所以函数y=f(x)为偶函数．

②再证必要性(如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称．)设y=f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称，

即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，设P(x，y)为f(x)图象上任意一点，则y=f(x)，此时P关于y轴的对称点P：(x'，y')，则x'=-x，y'=y，

又函数f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，即y=f(x)=f(-x)=y′，所以点P′(x'，y′)在函数f(x)图象上．

所以函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．……………6分(2)g(x)=(x+1)4-1，设x=a为g(x)的对称轴，

由题意，g(x+a)=(x+1+a)4-1为偶函数．任取x∈R，g(x+a)=g(-x+a)，

所以(x+1+a)4-1=(-x+1+a)4-1，

所以[(x+1+a)2+(x-1-a)2][ (x+1+a)2-(x-1-a)2]=0，所以[(x+1+a)2+(x-1-a)2]4(1+a)x=0恒成立，故1+a=0，则a=-1，

所以g(x)的对称轴为直线x=-1． ………………………………………………9分(3)因为函数y=h(x+2)为偶函数，且y=h(x)在(2，+∞)上单调递减，

所以│m-2│<│1-2m-2│，解得m<-3或m>，

所以m的取值范围(-∞，-3)∪(，+∞)． …………………………………12分

1

3

13

·3·