2016年内蒙古赤峰市高三期末统一考试理科数学试题(含参)

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2016年赤峰市高三期末统一考试试题 理科数学 2016.1

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。本卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合A{1,0,1}，B{x|lgx0}，则AB （ ） A．{1,0,1} B．{1} C．{1} D．{1,1} 2. 设z11i，复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,则

z1（ ） z2 A. i B. i C. 1 D. 1

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3. 设函数f(x)ex23x（e为自然底数），则使f(x)1成立的一个充分不必要条件是（ ）

D. 3x4

A.0x1 B.0x4 C. 0x3

4. 已知向量a与b的夹角为，a=(2,0），|b| =1，则a－2b=（ ）

3 A.3 B.23

C. 2

D. 4

x225. 若双曲线2y1(a0)的一条渐近线与圆x2(y2)22至多有一个交点，则

a 双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．[2,) B. [2,) C. 1,2 D. (1,2]



6. 执行如图所示的程序框图，若输出的k值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ） A. s3 27 423 1249 24 B. s C. s D. s

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7. 函数fxsinx0,2的最小正周期是，若其图像向右平移

3

个单位后得到的函数为奇函数，则函数fx的图像（ ） A. 关于点,0对称 12

B. 关于直线x12对称

C. 关于点5,0对称 12

D. 关于直线x5对称 12xy08. 已知x,y满足约束条件xy2，若zaxy的最大值为4，则a（ ）

y0 A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 9．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ） A. 9 B. 15 C. 18 D. 21

10. 如图，某地区有7条南北向街道，5条东西街道，从A点走向B点最短的走法中，必 须经过C点的概率（ ） A．

36 B． 7737 D． 1010 C．

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11．如图，有一直角墙角的平面图，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am（0a12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数Sf(a)（单位m）的图象大致是（ ）

2s

s

s

s

A B C D

12. 已知函数f(x)exx2(x0)与g(x)x2ln(ax)的图像上存在关于x轴的对 称点，则a的取值范围为 （ ）

A．,e B．, C．,2e D．,

1e1 2e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分） 13．在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是 .

2, 314. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c,且b7，c5, B 则ABC的面积是 .

15 ．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上, AB4 ，BCCD2,

BCD120,AB平面BCD,则球O的表面积为 .

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16. 已知圆C的方程为x2y24，点M(t,3)，若圆C上存在两点A,B满足

MAAB，则t的取值范围是 .

三、解答题（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分12分）

已知数列an满足a11,a23，an23an12an(nN)． （Ⅰ）证明：数列an1an是等比数列；

12n1（Ⅱ）设bn，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn．

2anan118. （本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位: t)，制作了频率分布直方图， （Ⅰ）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整； （Ⅱ）用样本估计总体，如果90%的居民每月的用水量不超出标准,则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由(精确到0.01)； （Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放

回的抽样），其中月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的人数为X，求X的分布列和均值.

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19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,ADA1B，垂足为D． （Ⅰ）求证：AD平面A1BC； （Ⅱ）若AD3，ABBC1，P为AC的中点， 2求二面角PA1BC的余弦值．

20．（本小题满分12分）

22x2y2已知椭圆C:221(a>b>0)经过点1,，离心率为，过椭圆C的ab22

右焦点F作垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A,B两点，直线l:ymxn与椭圆C交于C,D两点，与线段AB相交于一点（与A,B不重合）． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当直线l与圆x2y21相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出最大值及对应直线l的方程，若没有，说明理由. 21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)axlnx，g(x)（Ⅰ）当a212axx(aR). 21时，求函数f(x)的单调递减区间； 2（Ⅱ）设F(x)f(x)g(x)，若关于x的不等式F(x)1ax恒成立，求整数．．a的最

小值．

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请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC，DE分别是⊙O的切线，切点分别为A，E，

BC交⊙O于E.

（Ⅰ）证明：D为AC的中点；

（Ⅱ）若⊙O的半径为3，CE1，求DE的长.

23．（本小题满分10选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线E1,E2的极坐标方程分别为4cos，cos绕极点将曲线E14，

4逆时针旋转角0,，得到曲线E3.

2（Ⅰ）当时，求曲线E3的极坐标方程； 6（Ⅱ）当E3与E2有且仅有有一个公共点时，求. 24．（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲

设函数f(x)xc.

（Ⅰ）求证：f(x)f()2； （Ⅱ）若c2，不等式f

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1x11xcf(x)1的解集为x1x3，求c的值. 22

2016年赤峰市高三统一考试

理科数学参

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分

1.B； 2.A； 3．A； 4. C； 5．D； 6．C； 7. D； 8. B； 9．C； 10．B； 11．C； 12. A 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 10； 14.

2016.1

153 ； 15. 32 ； 16.33,33

4三、解答题：本大题共6小题，满分70分． 17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明:∵an23an12an∴an2an12(an1an) ………1分 ∵a11,a23，∴

an2an12(nN)． …………………3分

an1an ∴an1an是以a2a12为首项，2为公比的等比数列 …………5分． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an1an2n(nN)，…………………………6分 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1

2n12n2212n1(nN)．………………………8分

2n11112n1 bnnn， ………10分 n1n1anan1(21)(21)22121

Tnb1b2bn

1111111n………11分 n123372121111T． 所以，．………………12分 1nn12221 

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18．（本小题满分12分）……3分

解: （Ⅰ）

（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.83吨.样本中月均用水量不低于2.83吨的居民有 10位，占样本总体的10%，由样本估计总体，要保证90%的居民每月的用水量不超出

标准，月均用水量的最低标准应定为2.83吨. ………7分 （Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是

99B3,() ，则X~

101011 P(X0) PX(1)C10100022319310311011002

243729919 P(X2)C3 P(X3) 10101000101000分布列为

X P 0 1 2 3 1 100027 1000243 1000729 1000E(X)392.7………12分 1019．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，

A1A平面ABC，又BC平面ABC，A1ABC, ………2分

ABAA1A,又ABBCBC面ABA1, ……………………4分

又AD面ABA1又ADBC．ADA1B,A1BBCB

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AD平面A1BC ……………………………………………………5分

z A1C1（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，如图，以B为原点，BC,BA,BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，正向与向量同向建立空间直角坐标系Bxyz ………………………6分 11A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),A1(0,1,3),P(,,0), y 2211则BA1(0,1,3),BP(,,0) ………………7分,

22 设平面PA1B的一个法向量n1(x,y,z)

B1DAx

PCB11nBP01xy02则即2,可得n1(3,3,3) ………………8分 n1BA10y3z0AD平面A1BC,则AD即为平面A1BC的法向量………………………9分

在RtABD中，AD13,AB1,则BD ……………………10分

221333可得D(0,,),AD(0,,)，…………………………………11分

4444nAD27所以cosn1,AD1 7n1AD平面PA1B与平面A1BC的夹角的余弦值是

20．（本小题满分12分）

27 …………………12分 7

11a22b21211c221c21,b21,a21， 解：（Ⅰ）因为22c2caa2b2c2理科数学 第10页 （共 14 页）

x2y21.………………5分 所以椭圆的方程为2（Ⅱ）设C(x1,y1)，D(x2,y2),由已知得AB分

当 m0时，由直线l与圆x2y21相切，可得2,当 m0时，不符合题意；…6

nm211，即m21n2，…7分

ymxn联立x2，消去y，可得

2y1211(m2)x22mnxn210，4m2n24(m2)(n21)2m20 ……8分

222mn2m22mn2m2，x2………………………………………………9x1222m12m1分

S四边形ABCD2m122ABx1x2……………………………112122m12m2m分

当且仅当m26时，此时n 22所以2x2y60或2x2y60…………………………………………12分

21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当a1时 ，函数f(x)的定义域为(1,)…………………………………1分 21x21(x1)(x1)f(x)x ………………………………………3

xxx分

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由f(x)0，得(x1)(x1)0，又x0,所以0x1，

所以f(x)的单调递减区间为(0,1). ………………5分

12F(x)f(x)g(x)axxlnx1ax，对x(0,)恒成立 （Ⅱ）解：

212即lnxax(1a)x10，x(0,)恒成立 ……………………6分

2112令h(x)lnxax(1a)x1，则h(x)ax1a ………………7分

x2当a0时，h(x)0，所以h(x)在(0,)增函数，无最大值 ………………8分

1a(x1)(x)11ax2(1a)xa0，所以x或x1（舍当a0时，h(x)axx11(0,)(去），所以h(x)在增函数，在,)减函数， …………………………9分 aa1111110 …………11分 所以h(x)maxh()lna2(1a)1lnaaa2aa2a即

1lna2alna12a，当

a1时，

2alna不1成立，当a2时，

4ln2114ln2e2a的最小值为2 ………………12分 成立，所以整数422．（本小题10满分）

（Ⅰ）证明：连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，由DE,CA为圆O的切线，

得∠DEA=∠B,∠DAE=∠B，∴∠DEA=∠DAE,∴DE=DA

∵∠CAE+∠C=90°，∠CED+∠DEA=90°∴∠CDE=∠CED，

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∴CD=DA∴D为AC的中点. ……………………5分

（Ⅱ）解：在Rt三角形CAB中， 由CE=1，AB=23，设 AE=x，则BE12x， 由射影定理可得，AE2CEBE，

∴x12x，解得x=3，在Rt三角形CEA中，∵CA=2，又（Ⅰ）D为AC的中点，∴DE=1 …………………………………………………10分 23．（本小题满分10分）

解:令E1:4cos上的点为P(0,0)绕原点逆时针旋转角后点P(,)，则：

2220,0 ，所以 0,0代入E1中，可得4cos()

（Ⅰ）当6时，E3:4cos(6) ………………………5分

cos()4（Ⅱ）由，得cos()cos()1 ， 444cos()此方程有唯一解，则当4时，有4 ……………………10分

24. （本小题满分10分）

111（Ⅰ）证明：f(x)f()xccxcc

xxx1111(xc)(c)xx2x2 ……………………5分

xxxx（Ⅱ）解：g(x)f(xc)1211111f(x)xccxcxxc，则22222理科数学 第13页 （共 14 页）

c2,x0ccg(x)x,0xc，由g(x)1时，又c2，所以x1，

22c2,xcc1312即1x1，所以，所以c4 ……………………10分

c2112

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