初中数学辅助线添加方法及刷题注意事项

三角形中常见辅助线的添加

1.与角平分线有关的

(1) 可向两边作垂线。

(2) 可作平行线，构造等腰三角形

(3) 在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2.与线段长度相关的

(1) 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

(2) 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

(3) 倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

(4) 遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3.与等腰等边三角形相关的

(1) 考虑三线合一

(2) 旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°

四边形中常见辅助线的添加

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形，在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

1.和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

(1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形

(2) 利用两组对边平行构造平行四边形

(3) 利用对角线互相平分构造平行四边形

2.与矩形有辅助线作法

(1) 计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题

(2) 证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

3.和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

(1) 作菱形的高

(2) 连结菱形的对角线

4.与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线

圆中常见辅助线的添加

1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：

①利用垂径定理

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量

2.遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3.遇到90度的圆周角时 ，常常连结两条弦没有公共点的另一端点

作用：利用圆周角的性质，可得到直径

4.遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点

作用：

①可得等腰三角形

②据圆周角的性质可得相等的圆周角

5.遇到有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6.遇到证明某一直线是圆的切线时

(1) 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：若OA=r，则l为切线

(2) 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）

作用：只需证OA⊥l，则l为切线

(3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

7.遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点

作用：据切线长及其它性质，可得到

①角、线段的等量关系

②垂直关系

③全等、相似三角形

8.遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：利用内心的性质，可得

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

②内心到三角形三条边的距离相等

9.遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等

10.遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识

11.遇到两圆相交时 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用：

①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识

②利用圆内接四边形的性质

③利用两圆公共的圆周的性质

④垂径定理

12.遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线

作用：

①利用连心线性质

②切线性质等

13.遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线

作用：可利用连心线性质

14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

常常添加辅助圆

作用：以便利用圆的性质

数学刷题注意事项

01

刷题的目的是什么

1.记忆公式

我们学习一个公式，刚开始对公式不熟悉，可能做题时需要对照课本来将数值带入公式，因为我们记不住。

但是当我们对照的多了，便不需要再看书，而是直接写下来。我们会在做题的时候不知不觉地背下公式，因此我认为，公式不要死记硬背，而是多用，自然就背过了。

2.熟悉题型，把握命题规律及考查的知识点

某种程度上说，每年的中考题决定着千千万万名学生的命运，下一年的考题中，考查的知识点，题型的难度分配都是决定考生命运的关键。

出题的专家非常谨慎，其中的知识点会有变化，但是不会很大；其中的题型会有变化，也不会很大。因此刷题就是我们把握命题规律的重要方法。

3.做！对！题！

说到底，我们的目的只有一个，那就是：做对题！刷题的关键不在于做了多少题，而是做对了多少题。做题后找出错误，分析原因和应对方法，归类整理后再进行巩固，才算是练到了家。

02

刷题中的重要工作

1.做题不能硬“抠”，要运用知识点

1)做题时，通过读题，抽取可用知识点；

2)通过一个可用知识点，回忆与其能够产生关联的其他知识点。

示例：题目中有“中点”一词，则可排列出通过中点作中位线；直角三角形斜边中线等于斜边一半；垂直平分线；有中点出现时，常会出现等底等高但形状不同的两个三角形，这两个三角形面积相等四个知识点。

2.刷题顺序

1)按照知识点练习，针对自己知识点的薄弱区，来练习错题。

2)按照题目难度练题，看看自己在哪个难度以后正确率上不去，准确把握自己目前水平，针对性突破。

3.学会总结归纳

在刷题过程中，将每一次做错的错题按照题型进行分类，并标注好每道错题运用的知识点，总结该知识点规律和自己做错的原因，将积攒起来的错题归纳成一本错题集，下次刷题直接用上自己归纳好的题集。

集错本的使用：

A.集错主要集平时练习及考试中的错题；

B.完成错题后，要注明当时做错的原因（如看错题、没有掌握方法等），并归纳出完成这一类题的基本思路或方法！

刷题其实就是一个逐渐累积经验的过程。当练习的次数多了经验也就丰富、处理的方式也就多、

思维也广阔，可以说在题海战术的过程中我们的能力会有很大的提高。

03

温馨提示

1.刷题之前打好基础很重要

比如基本的公式、方式方法，这些都要提前熟知。还有一些解题的方法技巧，可以在刷题中慢慢总结、学习，有效的“题海战术”才是完美诀窍。

2.重质量而非数量

很多同学认为复习做题越多越好，很多小伙伴也不看题怎么样，买了一堆题，质量参差不齐，或者网上的一些题库，就开始盲目的刷起题来，这样的刷题效果是大打折扣的。

建议同学们不要贪多，先不说试题的质量，埋身题海很容易使人疲倦，因此要适量。所以说，不要去大面积地乱做题，最好选择相对权威的题库来钻研，更能达到事半功倍的效果。