以“角的度量”的课前小研究为例
一． 提出问题
“度量”是小学阶段要学习的一类重要内容，从长度、面积、体积到质量、时间等都是度量的内容。那么，小学生是如何形成“度量意识”的？长度是度量知识体系中最基础的内容，其基础性体现在哪些方面？它是如何影响后续度量内容（在小学阶段最能直观体现“度量”的学习内容是“长度”，然后是“角度”，面积和体积主要通过“计算”得到而不是通过“度量”）的学习的？此次研究正式学习“角的度量”之前的学生课前小研究为例，分析学生已有的长度度量经验如何影响角的度量的学习，寻找有效教学的切入点。
角度和长度一样，学生在生活中经常听到并用到，学生对“角”有丰富的生活经验，例如，“张开嘴巴”“桌角”“墙角”等。但真正认识“角”并不容易。在学生学习了时间（也许学生从未意识到“时间”也是一个可度量的量）、长度、面积以及质量之后，教材将度量的对象扩展到“角”，测量对象、测量单位、测量工具都发生了本质变化。那么，学生在学习角的度量前已有的测量经验（主要是用直尺测量长度，学生意识不到钟表是在测量时间、秤是在测量质量，学生对这两个量的度量缺少直观与生活经验）对测量角度有哪些影响？能否凭借直觉意识到测量角的本质是测量工具上的角与要测量的角的重叠？学生对量角器有哪些已有的认识？认识“直尺”的经验对认识量角器有哪些负向影响？学生使用量角器量角的真正困难是什么？为什么“不少学生上课会量，下课就忘；前一天对了，过一天又错”？技能的教学到底怎么教？为此，我们做了系列的学前调研，以期了解学生在学习角的度量之前已有的知识与经验储备，诊断出学生量角过程中的“真问题”，发现学生的“度量意识”的现状，为学习角的度量寻找教学的切入点。
二． 研究目的
为了解决如上问题，我们在学生学习角的度量之前，陆续做四次学生课前研究，其目的依次是：
1. 了解学生对“图形”是否有直觉洞察力，即学生是否意识到“角”在图形中的作用，角的个数与大小决定了图形的形状？
2. 学生是否知道测量角的工具？是否会用量角器测量角的大小？在测量过程中是否受测量长度的正向或负向影响？
3. 学生对直角似乎有天生的直觉洞察，但学生会用量角器来判定长方形的四个角是否是直角吗？学生在量角器上能找到直角吗？
4. 学生能否在量角器上找到“角”？学生是否能够凭借度量长度的经验和直觉，感知到测量角的本质是量角器上的“角”与待测量的“角”的重叠？
三、四次研究的过程、主要结果与分析
（一）、 第一次调研：为什么随手画出来的长方形往往是歪的？
【研究对象】按照平时的学习成绩以及课堂表现，选优等生、中等生、学困生各4名进行过程观察和访谈。
【研究分析】
1、学生能迅速地判断出“歪的长方形”是由于“角度”问题。特别是没有直接回答老师的提问，而是先追问老师“歪是什么意思”，然后明确地表示与角度有关。反映出这些学
生观察的方向准确，对图形的直觉洞察力比较强，能敏锐地意识到角度在图形中的作用。
2、学生没有直接说出是角度问题，而是考虑到“线段的位置，是倾斜的还是垂直的”、“尺子没放平，眼睛看不出来”。这些仍是对图形外在“现象”的描述，但孩子观察的角度也是对的。当然还有一名学生由于受“错觉”的影响，认为同样是一厘米长的线段，放置的位置不一样，长度就不一样。
3、学生观察的方向分别是：直不直、是否是封闭图形、所有边的长度是不是一样以及是不是端正（“不端”）。可见这些学生观察的方向是分散的，他们更注意比较明显的外在特征，而对不怎么明显甚至是隐藏的“角度”不予注意。
4、学生都没有直接将关注点聚焦于图形的“角度”的大小，而是关注位置与线段的长短等容易感知的量。因此，在学习用量角器量角的过程中，这些孩子最容易受到量角器曲边的影响，很难“洞察”到量角器上存在大量的“角”。
（二）、 第二次调研：学生真的会用量角器量角吗？
【研究分析】在此次调研中，学生的自我认识与实际操作的差距非常大。以此次调研的数据为例，认为自己会使用量角器的学生约占到总人数的70％，而实际上能比较准确测量的仅约占28.6％。排除部分学生为了炫耀或从众的情况，学生真的会使用量角器吗？是曾经会使用现在忘记了吗？
个别访谈的5名学生中，有3人明确表示“忘了”，并且都没有动手去尝试操作，但是却都有观察量角器的过程。表明这部分孩子在观察量角器之后做出了“不能量”的结论，而“忘了”只是对这个结论的掩饰。是什么让他们做出了不能量的判断呢？进一步访谈这
几位学生，他们认为量角器的形状与角的形状不一样：角是尖的，两条边是直直的；而量角器没有“尖”，一条边还是曲的（半圆），因此不能测量。
2名尝试使用量角器的孩子最终选择了放弃，道理也是一样的。之前的学习经验使学生习惯了直接使用测量工具上的刻度去测量，而量角器恰恰是在曲边上标有刻度，因此使用曲边上的刻度去测量角的一条直边的长短或者两条边“叉开”的长度，成了学生量角的“必然”选择，而这都是不可能的：“曲的”怎么能量“直的”呢？同时也反映出学生对角的大小的概念不认同，还是将“两条边叉开的程度”理解为“两条边之间线段的长短”，即这些孩子在内心深处还是认为角的两条边越长，那么角就越大。
学生“看不见”量角器上众多的“角”，也就不能将待测量的角与量角器上的角叠合，更不能读出量角器上角的度数。是不是“角”太多而使学生“视而不见”？或者很多量角器的中部都是“镂空”的找不到角的“边”呢？将学生的关注点聚焦在经常见到的特殊直角是否能使学生找到量角器上的“角”呢？因此，我们在第三次调查中将直角作为重点的调查对象，希望学生能比较轻松地在量角器中找到直角，从而找到学习用量角器量角的突破口。
（三）、 第三次调研：量角器上有直角吗？
【研究分析】上述三种“错误”都是一致的：学生所找的“角”都是由直线与曲线所夹而成的，只是“位置”不同。但仍坚持是“角”的学生的观点很有意思，从某种意义上说该生的观点是正确的：看“一点儿”时，“曲边”就是“直边”，局部的“曲”可以看做是“直”。该生的错误有其合理性，教师不能轻易根据学生的外在行为来判断其思维的对与错，有时“错误”的行为背后可能是正确的思维，错误也有其“合理性”。我们不能轻易地认为该生仅仅是对“角”的概念不清楚，这样的学生在学习角的度量时的困难或许更大，
有可能该生更想用这些“角”来量“角”。该生“合理性”的错误对正确度量角起到干扰作用，加深了准确找到量角器上测量时所需要的“角”的难度。
另外，量角器曲边上的刻度（不是每个刻度都与中心点相连）与直尺上的刻度如此的相近，使用直尺的经验加深了学生对曲边的关注，而忽略了量角器上的其他刻度线（刻度与中心点相连形成刻度线，在量角器上只有“整十”刻度才画出了刻度线，因此学生不知道“刻度线”是什么，不知道刻度线有什么用），甚至得出量角器上没有直角的结论。
在以往的学习经验中，学生直接用“长度”测量长度（如用直尺），用“小面积单位”测量面积（如“单位小正方形”的密铺），这也反应出了一种朴素的度量态度--通过相同属性的物体进行比较。用量角器测量角的大小，从本质上说是用“角”来量角。当用“角”测量角的时候，由于量角工具形状的变化，学生一时找不到相同形状（相同属性）的两个物体，因此也就造成了度量角的大小的困难，学生的测量经验不能正确地进行迁移。教师的“教”就应该体现在如何促进学生测量经验的正向迁移上。
四、基于学生课前小研究的教学建议
1. 以直角为标准角，降低学生学习的难度
基于以往的教学经验，学生对量角器中1度的标准角或10度角缺少经验，认识起来有一定的困难。通过本次调研以及教学经验，发现学生对直角最容易感知。因此，教学中将最初度量角的标准量定为90度的直角，可以最大限度地利用学生的已有经验，体会用角量角的度量本质。然后通过对90度角的不断“二分”得到更小的度量单位，从而体现出度量单位越小度量结果越精确，可适用条件越广。
用小正方形中的“直角”作为最初标准角还可以突破量角器半圆形的。从调研中可以明显反映出量角器的半圆形形状给初次使用量角器的学生带来了很大的困难：受半圆形形状的影响，学生根本找不到量角器中的角。量角器是不是只能做成半圆形的呢？其实量角器完全可以做成正方形或长方形，只不过这样的量角器每两条刻度线之间的长度是不相等的。只有做成圆弧形，每两条刻度线之间的弧长才是相等的。
如果用90度的角做标准角，那么可以利用两条直角边将量角工具制成正方形，再在这个正方形之上对直角进行多次“二分”，形成这样的初始量角工具（如右图）。
2. 在改造量角工具的过程中体会度量的价值
工具从产生到最后的成熟要经历一个不断改进、完善，最终得到普及的过程，这一定是在使用工具的过程中产生的。学生在使用自制工具量角时就会发现：标准角的大小影响测量的结果——标准角太大，测量结果太粗糙；标准角太小，又不便于操作。标准角的个数也影响测量——个数太少，不方便测量较大的角；个数太多，又不便于计数。要想更方便地使用工具，就要对原有的工具进行必要的改造，如确定既方便比较大小又比较精确的标准角、规定标准角的个数、对个数做标记（刻度）等。最后，将所有标准角的边统一长度就会出现与量角器形状相同的半圆形。这时再引入量角器，学生会比较轻松地找到量角器中的标准角、标准角的个数，以及理解刻度。在这一过程中，使用、改造工具将使度量的价值得到更多的凸显。
