1--单自由度体系的自由振动

一、无阻尼的自由振动：

如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m，其重量为Wmg，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用ys表示，与ys相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。

1、建立运动方程

建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。

今考虑在振动过程的某一瞬时t，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W，杆件对质量的弹性恢复力S和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S为 sk(yys)

s=-k(y+ys)ysy(t)w=mgF(t)=-m y上式中的K为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s的指向和位移的方向相反。

1而 ysW 即 Wkys

k因此，将sk(yys)和Wkys代入式（1）得

kyF(t)0 （2）

上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。

d2y将F(t)m2代入式（2）得：

dtd2ym2ky(t)0 dtd2ykdyy（加速度） 令 y （速度） 2dtmdt2d2y则 m2ky(t)0 可变为 y2y0 （3）

dt此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。

若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作

d2y为计算位移的起点，则梁在质量m处除惯性力F(t)m2这个假想的

dt外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m处任一运动瞬时的位移为

d2y1y(t)F(t)m2 即 myy(t)0 （4）

dt式中为一常数，代表简支梁上集中质量处在质量的运动方向作用单位荷载时所产生的静力位移。它与刚度系数k称为结构的柔度系数，的关系为  则（4）式可变为 y2y0

式中 21k 与建立质量动平衡方程所得的结果相同。 mm1k

2、运动方程的解

式（3）为二阶常系数线性微分方程，其通解为

y(t)c1costc2sint （5） 取y(t)对时间的一阶导数，则该体系在任一瞬时的速度为 y(t)v(t)c1sintc2cost 式中的常数c1和c2可由初始条件得出。

设t0时，y(0)y0 v(0)v0 则c1y0 c2代入（5）得

y(t)y0costv0v0

sint （6）

y(t)y0sintv0cost （7） 在以上各式中，y0及v0各称为初始位移和初速度。 式（6）也可写成单项式：

y(t)Asin(t) （8） 再将其展开得：

y(t)AsintcosAcostsin （9）

比较（6）和（9）得

y0Asin

vv0Acos

y0) v0 Ay02(0)2 arctan(式y(t)Asin(t)表示一简谐振动，A代表最大的位移，称为振幅；称为初相角，最大位移的初相角均决定于质量的初位移及初速度。在简谐振动中，位移、速度和加速度等物理量均按正弦或余弦规律变化，而正弦或余弦函数是周期函数，所以它们都是周期振动，每经历一定时间，结构出现前后同一运动状态（包括位置、速度等）所需的时间间隔称为振动周期，用符号T表示。

由式（8）可知，在时间由t经过T2以后，该式变为

2y(t)Asin(t)Asin(t)

即在时间由t经过T为T令f22后，结构出现前后相同的运动状态，故周期T，单位为秒。

1，Tf为频率。则2f，称为圆频率，也为自振频率。

g ys据2k1gk得 mmmW此为单自由度体系无阻尼自由振动时自振频率的计算公式。由上式可以看出，自振频率只与反映结构固有属性的结构刚度和质量有关，而与外界引起自由振动的初始条件无关，所以也常将自振频率称为固有频率。结构在振动过程中的许多动力特性，都与反映结构固有属性的自振频率

有关。如果单自由度体系上的质量m维持不变，但增加体系的刚度，则 体系的自振频率将增大；相反，如果体系的刚度维持不变，而是增加体系的质量，则体系的自振频率将减小。在解决实际结构振动问题时，可以根据此规律，通过调整结构的自振频率，达到调整结构动力反应的目的。 例题

1、图示一等截面简支梁，截面抗弯刚度为EI，跨度为l，在梁的跨度中点有一集中质量m，如果忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期T和自振频率。

解：对于简支梁，在集中质量m处施加单位力，即可求出柔度系数：

3l3ml   T2m2 48EI48EIm 148EI 3mlm

2、图示一等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩为I，弹性模量为E，杆端重物重为W，设杆件本身质量可以忽略不计，试分别求水平振动和竖向振动时的自振周期。

W 解：水平振动时

l3Wl3 柔度系数为  T2m2 3EI3EIg 竖向振动时

l sysWl EA T2Wl EAg二、有阻尼的自由振动：

质量的自由振动实际上不可能延续无限长时间，因为质量的振动一般受到阻尼的影响。阻尼可来自不同方面，如介质（空气、液体等）的阻力、支承部分的摩擦等，此处考虑的是一种粘滞阻尼，其与速度成正比，用R表示。

即Rcy

式中c称为阻尼系数，负号表示阻力R的方向与速度y的方向相反。

1、建立运动方程：

考虑阻尼时，在质量上有三种力作用：杆件对质量的弹性恢复力S、阻力R和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，得 SRF(t)0 kycymy0

2ckyy0 即 y2mm 令 c2m2 （阻尼比） 且 k m2 则 y2yy0 （10）

此为二阶常系数齐次线性微分方程 2、运动方程的解：

二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程为

r22r20

2 其根为 r1,210

由于根号里的值可能为正、负或零，所以应分三种情况（即1，

1，1）来讨论方程的解。

（1）当1时，满足这一条件的阻尼，称为小阻尼情况。这时特征方程的根r1、r2是一对复根，即

r1,221i/

则（10）式的通解为：

t// y(t)e(B1sintB2cost) （11）

/2其中 1

常数B1及B2可由初始条件决定。设t0时，y(0)y0，y(0)v0 则（11）式可写成：

y(t)e亦可写为

t(v0y0/sin/ty0cos/t) （12）

t// y(t)eBsin(t) （13）

B及同上方法可求得。

/2 由式（13）可知：有阻尼自由振动的圆频率为 1

//T振动的周期为

2/212。

一般说建筑结构的值很小，约在0.01~0.1之间，它对自振频率的影响不大，因此求自振频率时可略去阻尼的影响，近似取 /。

其次有阻尼自由振动的振幅为Bet，是按指数et的规律衰减。阻尼振动虽然大体上具有周期振动的形状，但并不属于周期振动。因为振幅随着时间的增加在不断减小，但在每一周期T内的振动图形又接近于简谐振动的形式。因此，阻尼振动可被认为是振幅不断减小的简谐振动。

（2）当1时，满足这一条件的阻尼，称为大阻尼情况。这时特征方程的根r1、r2是两个不相等的实根，即：

2 r1,21

/则（10）式的通解为： y(t)c1e(21)tc2e(21)t

这时的解答只包含指数函数，而不再包含简谐振动的因子

sin(/t/)，所以振动将随着t的增大而单调下降，运动已没有振动性，

只是一种衰减运动。

（3）当1时，满足这一条件的阻尼，称为临界阻尼情况。这时方程的通解为

t y(t)(c1c2t)e

与1的情况相同，体系已没有振动性，只是一种衰减运动。 由上述情况可知，当阻尼系数由小逐渐增大时，体系从衰减振动的情况转变为不发生振动的纯衰减运动，而其过渡的临界条件即为



c

1，这时的阻尼系数c称为临界阻尼系数，用cc表示，即 2mcc cc2m 相应地有 2mcc即阻尼比为阻尼系数c与临界阻尼系数cc的比值。

对于大多数在空气中振动的结构来说，一般都属于小阻尼的范围，以后只限于讨论这种情况的振动。

§2 单自由度体系的受迫振动

一、无阻尼的受迫振动： 1、建立运动方程：

P(t) kymyP(t)0 即yy

m22、运动方程的解：

此方程为二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解由齐次通解

y1(t)0和特解y2(t)0两部分相加而成，即

y(t)y1(t)y2(t)

齐次通解为 y1(t)y0cost特解为 y2(t)v0sint

1t0P()sin(t)d 此为杜哈梅积分 m二、有阻尼的受迫振动： 1、建立运动方程：

在有阻尼的受迫振动过程中，质量上有四种力作用：弹性恢复力s、惯性力F(t)、阻尼R、荷载P(t)。据达朗伯原理，其运动方程为：

2mycykyP(t)0 即y2yyP(t) m2、运动方程的解：

由齐次通解y1(t)0和特解y2(t)0两部分相加而成，即 y(t)y1(t)y2(t)

y1(t)et(1y2(t)m/v0y0/t0sin/ty0cos/t)

P()e(t)sin/(t)d

三、由基础运动引起的受迫振动：

当发生地震时，地面运动将引起结构物的受迫振动。 图示为由于基础水平运动引起的单质点体系 某一时刻的变形情况。以xg(t)表示基础的位移；

mx(t)+x(t)gmx(t)表示质量m对基础的相对位移；质量m的

总位移为xg(t)x(t)，则作用于质量m上的 F(t)mx(t)x(t)惯性力为。若考虑阻尼的 gx(t)gx(t)影响，则根据达朗伯原理，作用于质量上的弹性恢复力s、惯性力F(t)、阻尼R应平衡，则动力平衡方程为： SRF(t)0

mx(t)x(t)cx(t)kx(t)0 即 g2或 x(t)2x(t)x(t)xg(t)

P(t)将此式与有阻尼受迫振动方程比较，有：xg(t)相当于，则该方

m程的初始条件为零的解为： x(t)1/t0xg()e(t)sin/(t)d