(完满版)高三数学函数专题复习策略
高三数学试卷中函数专题复习策略
一、《考试说明》对函数部分的要求
1. 函数 . 理解函数的看法、定义域、值域、奇偶性，认识函数的单调性、周期性、最大值、最小值；
2. 基本初等函数 . 认识幂函数的看法及图象， 理解指数函数、 对数函数的看法及图象和性质，理解指数及对数的运算 .
3. 函数与方程 . 认识函数的零点与方程根的联系，可以用二分法求相应方程的近似解 . 4. 函数模型及应用 . 理解常有的函数模型在实责问题中的应用.
5. 理解导数的几何意义 , 会依照公式、四则运算法规、复合函数求导法规求函数的导数，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，函数的极大值、极小值，闭区间上函数 的最大值、最小值 .
二、函数部分命题特点
近 3 年高考函数题观察情况
年份
题型题号 考点
2010 年
2011 年
2012 年
填空题 5,8,11,14
；解答题 20
函数的奇偶性； 分段函数的单 调性；函数的最值； 函数的切
线方程； 函数的导数及其应
用
填空题 2,8 ， 11,12 ；解答题
17,19
函数的单调性； 函数的看法和
性质；导数及其应用
填空题 5, 10
解答题
，13,14 ； 17,18
函数的定义域， 值域；函数的 周期性；函数的看法和性质； 导数及其应用；函数的零点
函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，作为高中数学中最重要的知识模块，贯穿着中学数学的向来 . 综观近几年的高考情况，函数命题表现以下特点：
1. 知识点覆盖面全 . 近几年高考题中，函数的所有知识点基本都考过，特别是函数的图象性 质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考 . 2. 题型难度涉及面广 . 在每年高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且填空、解答题型都有 .
3. 综合性强 . 为了突出函数在中学数学中的主体地位，近几年来高考增强了函数对其他知识 的浸透，比方，解析几何中经常涉及函数的值域的求法，三角、数列实质上也是函数问题 三、函数复习中关注方面
（一）关注函数的定义域
定义域的求法实质上就是解不等式， 考生必定可以做到以下两点： 一是熟知定义域常有
要求，如分式的分母不为零；偶次根号下非负；对数的真数大于零，底数大于零且不等于 1； 零次幂的底数不为零； 三角函数中的正切、 余切的定义域等等； 二是熟练掌握常有不等式的 解法，如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式 . 例 1. （ 2012 年江苏卷） 函数 f (x)
.
1 2log 6 x 的定义域为
．
【解析】 依照二次根式和对数函数有意义的条件，得
1
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x > 0
1 2log 6 x 0
x > 0
x > 0
x
1 2
1 2
log
0 < x
= 6
6 。
6
x 6
相关定义域问题最重要的是定义域优先原则，
即研究函数的任何问题都要第一考虑其定义域.
. 其他，在进行换元 比方研究函数的单调性和奇偶性，函数的最值等都需要第一确定定义域
时，应先确定“新元”的范围，尔后再在其范围内谈论各种问题，这也是定义域优先的详尽 表现 .
（二）拓展求函数值域最值的方法 求函数值域素来是函数的重要观察方向， 它的丰富多样的求解方法和数学思想， 将函数所有的性质融为一体， 拥有很强的综合性 . 常有两种题型， 一种题型是详尽函数求值域问题， 另一种是将其他问题转变成求函数值域 （或最值） 问题， 比方不等式恒成立求参数范围的问 题，最后都是转变成函数的最值的问题 . 因此，考生必然要在复习中间重视不同样结构的求值域问题 .
例 2．（ 2012 年上海春季高考） 函数 y log2 x
【解析】 Q x [2, 4]， log 2 x
[1,2] ，设 t
求导可得函数在 t [1,2] 时单调递减，故 例 3. 关于 x 的方程 22 x 【解析】 令 2x
t
， x [2, 4] 的最大值是
log 2 x
4
log 2 x ，则 y t ，
t 1y
时，
获取最大值 5.
4
.
mg2x
4 0 在 [0,1] 内有解，求实数 m 的取值范围 .
. 事实上，
t, t
[1,2] ，原问题转变成 t 2 mt 4 0 在 [1,2] 上有解，这属于二次方程
t
根的分布问题，需要结合二次函数图象，利用分类谈论进行求解，但是计算繁琐 求参变量范围的问题 . 我们还可以考虑 “分别参变量”， 即 m
4
即 m 在函数 g(t) 的值域内，注意到函数
g (t) 在 [1,2] 上递减，
t
g(t) [4,5],
=g(t ) ，所谓方程有解，
即 m [4,5] .
（三）灵便应用函数的性质
函数性质是函数的重点内容，包括函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性。关于函数
的各种性质的定义， 考生必定完满认识并深刻理解。 除了可以判断函数的各种性质之外， 还要可以灵便应用函数的性质，灵便应用的前提是可以鉴别函数的四大性质，并能自如应用，要有应用函数性质的意识。
例 4. （ 2012 年江苏卷） 设 f (x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [
1，1] 上，
f ( x)
ax 1， 1≤ x 0 ，
a，b R ．若 f bx 2 ，其中
，
0 ≤ x ≤ 1
1
2
， f 3
2
x 1
则 a 3b 的值为 ．
【解析】 ∵ f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，∴
f
1
f 1 ，即 a
1= b 22
① .
又∵ f
3
2
f
1 = 2
1
a 1， f
2
1 2
f 3 ，
2
∴
1 2
a 1=
b 3
4
②。
联立①②，解得， a=2. b=
例 5. （ 2010 年江苏卷） 设函数 ( )
4。∴ a
f x
( x
x e ae
3b= x )
10 .
是偶函数，则实数
a
( x R)
=________
2
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【解析】 观察函数的奇偶性的知识
. g ( x)
ex ae x 为奇函数，由 g(0) 0 ，得 a 1 .
例 6. （ 2012年新课标卷） 设函数 f (x)
( x 1)2
x2
sin x
1
的最大值为 M , 最小值为 m ，则
M
m
(x 1)
x2
2
【解析】 f (x)
sin x 1 1
2x sin x
关于奇函数来说其最大值与最小值之和为
，令 g( x) 2x ，则 g (x) 为奇函数，
x2 1 x2 1
0，即 g( x)max g( x) min 0, 因此
sin xf ( x)max +f ( x) min 2
（四）增强识图、画图能力以及用图意识
函数的图象是最直观反响函数性质的方式，要可以经过函数的性质以及图象变换画出函数的草图。其他，还要有应用图象的意识，养成函数问题画图的习惯。 例 7. （ 2012年高考辽宁理） 设函数 f ( x)( x
3
R) 满足 f ( x) f (x) f (x) f (2
g( x) f (x) [
x) , 且当
x [0,1] 时 , f ( x) x . 又函数 g ( x) | x cos( x) | , 则函数 h( x)
的零点个数为
.
13
, ] 上
2 2
【解析】 Q x
[0,1] 时， f (x) x3 ，
[0,1], f (x)
当 x [1,2] ，（2 x) 当 x [0,
1f (2
且 f (0)
] 时， g (x) x cos( x), 当 x [ , ] 时，注意到函数 f (x), g (x) 都是偶函数， 2
132 3
12x) (2
x) 3
g(0), f (1) g(1), g( ) g( ) 0 ，作出函数 f (x), g( x) 的大体图象， 函数 h(x) 2 2
除了 0、1这两个零点之外， 分别在区间 [ 1 ,0] 、 [0, ] 、 [ ,1] 、 [1, ] 上各有一个零点，
113
共有 6个零点 .
（五）熟练掌握二次、指数、对数、幂函数等基本函数的知识
在高中阶段，考生主要学习的详尽函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、
2 2 2 2
幂函数、 三角函数以及它们之间进行的四则运算和复合， 我们必定熟练掌握这些基本函数的各种性质、图象以及相互之间的关系。
例 8. （ 2012年新课标卷） 设点 P 在曲线 y
1
2
ex 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |最
小值为
【解析】 函数 y
1
ex 与函数 y ln(2 x) 互为反函数，图象关于直线
y x 对称，因此只需 x 的切线与直线 y x
求点 P 到直线 y
2 x 的最小距离即可，即 y
的距离，令 y = ex
1
1 ex 的平行于直线 y 2
1，得 xp ln 2,
P(ln 2,1), 可求得点 P 到直线 y x 的距离为
2
2
2
(1 ln 2) ，因此 PQ 的最小值为
（21 ln 2) .
例 9. 已知图 1是函数 y＝ f ( x) 的图象，则图 2中的图象对应的函数可能是
________( 填序号 ) ．
图 1
图 2
3
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① y＝ f (| x|) ；② y＝ | f ( x)| ；③ y＝f ( － | x|) ；④ y＝－ f ( － | x|) ． 【解析】 由图象的变化知， 原图保留了 y 轴左边的部分， 并把 y 轴左边的部分关于
y 轴对称
到 y 轴右边．①中，当 x>0 时， y＝ f (| x|) ＝ f ( x) ，当 x<0 时， y＝ f ( － x) ，因此应是把 y
轴右边部分对称到 y 轴左边，故①错． ②中是把 x 轴下边部分对称到 x 轴上边，故②错． ③项中当 x >0 时， ＝ ( －| x |) ＝ f ( － x ) ，当 <0 时，
y f
x
y＝ f ( － | x|) ＝ f ( x) ，因此保留了 y 轴左边部分，并作 y 轴左边部分关于 y 轴对称的图象，
故③对．
例 10.(2012 年湖南改编 ) 已知两条直线 l 1： y
m
8
和 l 2：y＝ ( m>0) ，l 1与函数 y＝ |log
2m＋ 1
2
x|
的图象从左至右订交于点
A，B，l 2与函数 y＝ |log 2x| 的图象从左至右订交于点
b
C，D. 记线段 AC
和 BD在 x轴上的投影长度分别为
a， b. 当 m变化时， a的最小值为 ________．
8
【解析】 由题意得 xA
1 m m
( ) , xB 2 ， xC 2
1
m
1
2m 1
8
, xD
2
8
2 m 1
.
2
8
a xA
xC
1
2 m 1
,b xB
xD
2
m
2
2 m 1
.
2
8 2m 1
2
8
b
2m 2
8
m
a 2 m 2
8 2 m 1
22m 1?28
m
22 m 1 .
∵ ＋ ＝ (2 ＋1) ＋ － ≥2(2 ＋1) ×
2m＋ 1 2 2m ＋ 1 m 2 m 2 m
8
1 1 1
8
－ ＝ ，
1 7 2
2m＋1 2
2m＋ 1 当
8
3
7
2 ＝2m＋ 1，即 m＝ 2时取等号．
22 8 2
Q 的最小值为
b
a
( 六 ) 庄重用好导数工具
导数最重要的价值， 在于导数是一种方便研究函数性质的工具， 比方求曲线的切线， 求函数
的单调区间，求函数的极值和最值，不等式恒成立问题等等。作为一个重要的工具，导
数运算必然要正确， 要对已知函数进行正确求导。 同时， 正确掌握导数与单数单调性以及极值之间的关系 .
例 11（ 2012年福建卷文） f ( x) ax sin x
3
2
(a R) 且在 [1,
] 上的最大值为 2
3 . 2
（ 1）求函数 f (x) 的解析式；
（ 2）判断函数 f (x) 在 (0, ) 内零点的个数，并加以证明
.
【解析】 当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值 问题转变成恒成立问题， 而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法． 零点个 数的判断主若是依照零点存在定理．
【评析】 给定含有参数的函数以及相关的函数性质， 求解参数的值或范围， 用导数这一工具，对问题推行正确的等价转变，列出关于参数的方程或不等式． 参问题的求解过程中，逆向思想的作用特别重要．
需要我们灵便运
在此类含
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a例 12（ 2012 年四川理） 已知 a 为正实数 , n 为自然数 , 抛物线 yx2 n
与 x 轴
2
正半轴订交于点
A , 设 f ( n) 为该抛物线在点
A 处的切线在 y 轴上的截距 .
( Ⅰ) 用 a 和 n 表示 f (n) ;
( Ⅱ) 求对所有 n 都有
f (n)
1 n3 成立的 a 的最小值 ; f (n)
1
n3 1
1n
( Ⅲ) 当 0 af ( n)
时 , 比 较
1
与 27 gf (1)
的大小 , 并说明原由 .
k 1
f (k ) f (2 k) 4 f (0)
f (1)
【解析】 本题第（Ⅰ）问较基础老例，而第（Ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数
问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题．【评析】 本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要观察了导数的应用、不等式、数列等基础知识；观察了思想能力、运算能力、解析
问题与解决问题的能力和创新意识能力； 且又深层次地观察了函数、 变换与化归、 特别与一般等数学思想方法．
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