【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：2-4

一、选择题

1．(2013·重庆九校联考)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

解析：由①图可知此函数为奇函数，且单调递增，结合选项对应的函数应为y＝x3，由②图可知，此函数为偶函数且过原点，结合选项对应的函数为y＝x2，由③图知，函数的定义域为[0，＋∞)，单调递增，由④图知，为奇函数，定义域为{x|x≠0，x∈R}，所以选B.

答案：B

2．(2013·增城市调研测试)已知函数f(x)＝x－2，则(　　)

A．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调增B．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调增C．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调减D．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调减

解析：∵f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)为偶函数，又f′(x)＝－2x－3，当x∈(0，＋∞)时f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故选C.

答案：C

3．已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－1)＝f(3)，则(　　)

A．f(－3)解析：由已知可得二次函数图象关于直线x＝1对称，则f(－3)＝f(5)，c＝f(0)＝f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f(－3)＝f(5)>f>f(2)＝f(0)＝c.

答案：D

4．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0] B．[2，＋∞)

C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]

解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0, f′(x)＝2a(x－1)≤0，x∈[0,1]，

所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.答案：D

5．(2013·温州模拟)方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)

A. B．(1，＋∞)C. D.

解析：令f(x)＝x2＋ax－2，

由题意，知f(x)的图象与x轴在[1,5]上有交点，则解得－≤a≤1.答案：C

6．函数f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是(　　)

A．a> B. D．a<

解析：f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1是由函数f(x)＝－x2＋(2a－1)x＋1变化得到，第一步保留y轴右侧的图象，再作关于y轴对称的图象．

因为定义域被分成四个单调区间，所以f(x)＝－x2＋(2a－1)x＋1的对称轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．

所以>0，即a>.故选C.答案：C二、填空题7.

当0解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示．

可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)

8．函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值的集合是________．

解析：当m＝1时， f(x)＝4x－1，其图象和x轴只有一个交点.当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，

即m2＋3m＝0，解得m＝－3或m＝0.∴m的取值的集合为{－3,0,1}．答案：{－3,0,1}

9．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．解析：由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤，令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，则t＝32＋.在上递减，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.答案：三、解答题

10．如果幂函数f(x)＝

(p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．

解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴－p2＋p＋>0，即p2－2p－3<0.∴－1又∵f(x)是偶函数且p∈Z，∴p＝1，故f(x)＝x2.

11．(2013·宁德市质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数，且f(－1)＝－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋(2－k)x在区间[－2,2]上单调递减，求实数k的取值范围．

解：(1)∵二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1为偶函数，∴对称轴x＝－＝0，得b＝0.

由f(－1)＝a＋1＝－1，得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋1.

(2)g(x)＝－2x2＋(2－k)x＋1

∵抛物线g(x)的开口向下，对称轴x＝，∴函数g(x)在上单调递减．依题意可得≤－2，

解得k≥10.

∴实数k的取值范围为[10，＋∞)．

12．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴　∴因此， f(x)＝x2－x＋1.

(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．[热点预测]

13．(2013·河北高三质量监测)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：

①当x∈R时， f(x)的最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)恒成立；②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．

(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；

(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在实数t，当x∈[1，m]时， f(x＋t)≤x恒成立．

解：(1)在②中令x＝1，有1≤f(1)≤1.故f(1)＝1.

(2)由①知二次函数的图象关于直线x＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f(x)＝a(x＋1)2(a>0)．

因为f(1)＝1，所以a＝，所以f(x)＝(x＋1)2.(3)f(x)＝(x＋1)2的图象开口向上，

而y＝f(x＋t)的图象是由y＝f(x)的图象向左或向右平移|t|个单位得到的，要在区间[1，m]上使得y＝f(x＋t)的图象在y＝x的图象下方，且m最大，则1和m应当是方程(x＋t＋1)2＝x的两个根．

令x＝1代入方程，得t＝0或－4.

当t＝0时，方程的解为x1＝x2＝1(这与m>1矛盾，舍去)；当t＝－4时，方程的解为x1＝1，x2＝9，所以m＝9.

又当t＝－4时，对任意x∈[1,9]，y＝f(x－4)－x＝(x－3)2－x＝(x2－10x＋9)＝(x－5)2－4≤0，

即f(x－4)≤x恒成立．所以最大的实数m为9.