湖南省永州市2022中考数学试卷

湖南省永州市2022中考数学试卷

阅卷人 得分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）(共10题；共40分)

1．（4分）如图，数轴上点𝐸对应的实数是（ ）.

A．-2 B．-1 C．1 D．2

2．（4分）下列多边形具有稳定性的是（ ）

A． B．

C． D．

3．（4分）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪

纸图形中，是中心对称图形的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

4．（4分）水州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长29.33%，

成为湖南省生猪产业发展高地和标杆、将数7791000用科学记数法表示为（ ）. A．7791×103

B．77.91×105

C．7.791×106

D．0.7791×107

5．（4分）下列各式正确的是（ ）.

A．√4=2√2 B．20=0

C．3𝑎−2𝑎=1 D．2−(−2)=4

6．（4分）下列因式分解正确的是（ ）

A．𝑎𝑥+𝑎𝑦=𝑎(𝑥+𝑦)+1 C．𝑎2+4𝑎+4=(𝑎+4)2

B．3𝑎+3𝑏=3(𝑎+𝑏) D．𝑎2+𝑏=𝑎(𝑎+𝑏)

7．（4分）我市江华县有“神州摇都”的美涨，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内

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腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小.如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（ ）.

A． B． C． D．

8．（4分）准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则

“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（ ）. A．1

6B．1 4C．1 3D．1

29．（4分）如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∠𝐶=60°，点𝐷为边𝐴𝐶的中点，𝐵𝐷=2，则𝐵𝐶的长

为（ ）.

A．√3 B．2√3 C．2 D．4

10．（4分）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学

校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为𝑦米，离校的时间为𝑥分钟，则下列图象能大致反映𝑦与𝑥关系的是（ ）.

A． B．

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C． D．

阅卷人 得分 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）(共8题；共32分)

11．（4分）若单项式3𝑥𝑚𝑦的与−2𝑥6𝑦是同类项，则m= .

12．（4分）请写出一个比√5大且比10小的无理数： .

13．（4分）“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛，在五场小组赛中，该足球队的进球数分别为：

2，0，1，2，3，则此组数据的众数是 .

2114．（4分）解分式方程−去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 .

𝑥𝑥+1=015．（4分）已知一次函数𝑦=𝑥+1的图象经过点(𝑚，2)，则𝑚= .

16．（4分）如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，点𝐶、𝐷在⊙𝑂上，∠𝐴𝐷𝐶=30°，则∠𝐵𝑂𝐶= 度.

17．（4分）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点𝐴为网格线的交点.若线段𝑂𝐴绕原点𝑂顺

时针旋转90°后，端点𝐴的坐标变为 .

18．（4分）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如

图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则𝐴𝐸= .

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阅卷人 三、解答题（本大题共8个小题，共78分.）(共8题；共78分)

得分 𝑥+1>4

19． （8分）解关于𝑥的不等式组：{

2(𝑥−1)−5>1

2

20．（8分）先化简，再求值：𝑥−1÷(𝑥+2−1)，其中𝑥=√2+1.

𝑥𝑥𝑥21．（8分）“风华中学”计则在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能

课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表： 样本中选择各技能课程的人数统计表

技能课程 𝐴：剪纸 𝐵：陶艺 𝐶：厨艺 𝐷：剌绣 𝐸：养殖 20 𝑎 20 人数

请根据上述统计数据解决下列问题： （1）（2.5分）扇形统计图中𝑚=

（2）（2.5分）所抽取样本的样本容量是 .频数统计表中𝑎= .

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（3）（3分）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数.

22．（10分）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的形响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场

训练滑雪，第一次他从滑雪道𝐴端以平均(𝑥+2)米/秒的速度滑到𝐵端，用了24秒；第二次从滑雪道𝐴端以平均(𝑥+3)米/秒的速度滑到𝐵端，用了20秒. （1）（5分）求𝑥的值；

（2）（5分）设小勇从滑雪道𝐴端滑到𝐵瑞的平均速度为𝑣米/秒，所用时间为𝑡秒，请用含𝑡的代数式表示𝑣（不要求写出𝑡的取值范围）.

23．（10分）如图，𝐵𝐷是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线，𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，交𝐶𝐷于点𝐹.

（1）（5分）请用尺规作∠𝐴𝐷𝐵的角平分线𝐷𝐸，交𝐴𝐵于点𝐸（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）：

（2）（5分）根据图形猜想四边形𝐷𝐸𝐵𝐹为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整. 证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶

∵∠𝐴𝐷𝐵=∠ ▲ .（两线平行，内错角相等）. 又∵𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐵，𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，

11

∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐶

22∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐹.

∴𝐷𝐸∥ ▲ （ ）（填推理的依据） 又∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形. ∴𝐵𝐸∥𝐷𝐹.

∴四边形𝐷𝐸𝐵𝐹为平行四边形（ ）（填推理的依据），

24．（10分）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四个位置安装四个自动喷酒

装置（如图1所示），𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）. 方案一：如图2所示，沿正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的三边铺设水管；

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方案二：如图3所示，沿正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的两条对角线铺设水管.

（1）（5分）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短：

（2）（5分）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）， 满足∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐷=120°，𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐹，𝐸𝐹∥𝐴𝐷、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）

25．（12分）如图，已知𝐴𝐵，𝐶𝐸是⊙𝑂的直径，𝐵𝑀是⊙𝑂的切线，点𝐷在𝐸𝐴的延长线上，𝐴𝐶，𝑂𝐷

交于点𝐹，∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐷

（1）（4分）求证：∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶； （2）（4分）求证：𝐴𝐸=𝐴𝐷；

（3）（4分）若△𝑂𝐹𝐶的面积𝑆1=4，求四边形𝐴𝑂𝐶𝐷的面积𝑆.

26．（12分）已知关于𝑥的函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.

（1）（4分）若𝑎=1，函数的图象经过点(1，−4)和点(2，1)，求该函数的表达式和最小值； （2）（4分）若𝑎=1，𝑏=−2，𝑐=𝑚+1时，函数的图象与𝑥轴有交点，求𝑚的取值范围. （3）（4分）阅读下面材料：

设𝑎>0，函数图象与𝑥轴有两个不同的交点𝐴，𝐵，若𝐴，𝐵两点均在原点左侧，探究系数𝑎，𝑏，𝑐应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与𝑥轴有两个不同的交点，所以𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0；

②因为𝐴，𝐵两点在原点左侧，所以𝑥=0对应图象上的点在𝑥轴上方，即𝑐>0；

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③上述两个条件还不能确保𝐴，𝐵两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步抛物线的位置：即需−

𝑏

<0. 2𝑎𝑎>0

2

𝛥=𝑏−4𝑎𝑐>0

综上所述，系数𝑎，𝑏，𝑐应满足的条件可归纳为：𝑐>0

𝑏 −{2𝑎<0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数𝑦=𝑎𝑥2−2𝑥+3的图象在直线𝑥=1的右侧与𝑥轴有且只有一个交点，求𝑎的取值范围.

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答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：∵点E表示的数在-3和-1之间，

∴点E对应的实数不可能为-1，1，2，故C，B，D不符合题意； ∴点E表示的数是-2，故A符合题意； 故答案为：A.

【分析】观察点E在数轴上的位置可知点E表示的数在-3和-1之间，观察各选项，可得答案.

2．【答案】D

【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，故A，B，C不符合题意；

∴D选项符合题意. 故答案为：D.

【分析】利用三角形具有稳定性，可得到具有稳定性的图形的选项.

3．【答案】A

【解析】【解答】解：图①是中心对称图形；图②是中心对称图形，图③是中心对称图形，图④不

是中心对称图形，

∴是中心对称图形的有①②③. 故答案为：A.

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，观察图形，可得到是中心对称图形的选项.

4．【答案】C

【解析】【解答】解：7791000=7.791×106.

故答案为：C.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.

5．【答案】D

【解析】【解答】解：A、√4=2，故A不符合题意；

B、20=1，故B不符合题意； C、3a-2a=a，故C不符合题意； D、2-（-2）=2+2=4，故D符合题意； 故答案为：D.

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【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何不等于0的数的0次幂为1，可对B作出判断；合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对C作出判断；利用减去一个数等于加上这个数的相反数，可对D作出判断.

6．【答案】B

【解析】【解答】解：A、ax+ay=a（x+y），故A不符合题意；

B、3a+3b=3（a+b），故B符合题意； C、a2+4a+4=（a+2）2，故C不符合题意； D、a2+b不能分解因式，故D不符合题意； 故答案为：B.

【分析】利用提公因式法，就是各项中都有的因式，就是公因式，可对A，B，D作出判断；利用完全平方公式，可对C作出判断.

7．【答案】B

【解析】【解答】解：长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为

细小，如图为类似“长鼓”的几何体， ∴它的俯视图是圆. 故答案为：B.

【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形，利用已知条件，观察几何体，可得答案.

8．【答案】C

【解析】【解答】解：∵在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，

∴第一场一共有3种情况，“心理”专题讲座被安排在第一场的只有1种情况，

1∴P（“心理”专题讲座被安排在第一场）=.

3故答案为：C.

【分析】根据题意可知一共有3种结果数，但心理”专题讲座被安排在第一场的只有1种情况，利用概率公式可求出结果.

9．【答案】C

【解析】【解答】解：∵∠C=60°，∠ABC=90°，点D为AC的中点，

∴BD=AD=CD

∴∠BCD是等边三角形， ∴BC=CD=2.

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故答案为：C.

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD=CD，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得∠BCD是等边三角形，利用等边三角形的性质，可求出BC的长.

10．【答案】A

【解析】【解答】解：∵师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，

∴当0≤x≤30时，y随x的增大而增大；

∵用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动 ∴当30＜x≤90时，y是一个定值； ∵之后队伍按原路匀速步行45分钟返校， 当90＜x≤135时，y随x的增大而减小； ∴能大致反映y与x关系的是A， 故答案为：A.

【分析】抓住已知条件：师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，可知y随x的增大而增大；用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，此时y是一个定值；之后队伍按原路匀速步行45分钟返校，可知y随x的增大而减小；据此可得答案.

11．【答案】6

【解析】【解答】解：∵ 单项式3𝑥𝑚𝑦的与−2𝑥6𝑦是同类项

∴m=6. 故答案为：6.

【分析】利用同类项中相同字母的指数相等，可求出m的值.

12．【答案】√7（答案不唯一） 【解析】【解答】解：∵2＜√5＜3

∴ 比√5大且比10小的无理数可以是√7. 故答案为：√7.

【分析】利用估算无理数的大小，可知2＜√5＜3，由此可写出一个比√5大且比10小的无理数.

13．【答案】2

【解析】【解答】解：数据2，0，1，2，3中2出现了2次，是出现次数最多的数，

∴这组数据的众数为2. 故答案为：2.

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【分析】一组数据中出现次数最多的数是众数，可得到已知数据的众数.

14．【答案】x（x+1）

21【解析】【解答】解： 分式方程−=0的最简公分母为x（x+1）.

𝑥𝑥+1故答案为：x（x+1）.

【分析】观察此分式方程中的分母，可得到此分式方程的最简公分母.

15．【答案】1

【解析】【解答】解：∵ 一次函数𝑦=𝑥+1的图象经过点(𝑚，2) ，

∴m+1=2 解之：m=1. 故答案为：1.

【分析】将点（m，2）代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.

16．【答案】120

【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC

∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°. 故答案为：120.

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠AOC的度数，再利用邻补角的定义求出∠BOC的度数.

17．【答案】（2，-2） 【解析】【解答】解：如图，

旋转后的点A的坐标为（2，-2）. 故答案为：（2，-2）.

【分析】将线段OA绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的线段，可得到旋转后的点A的坐标.

18．【答案】3

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【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1， 设AF＝DE＝x， ∴AE＝x−1，

在Rt∠AED中，AE2＋ED2＝AD2， ∴（x−1）2＋x2＝52，

解得：x1＝4，x2＝−3（舍去）， ∴AE=x−1＝3， 故答案为：3．

【分析】利用已知条件可得到AD，EH的长；设AF＝DE＝x，可表示出AE的长；在Rt∠AED中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出AE的长.

19．【答案】解：解不等式（1）得𝑥>3，

解不等式（2），得𝑥>4

所以，原不等式组的解集是𝑥>4

【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集. 20．【答案】解：原式

𝑥2−1𝑥+2−1

=𝑥÷𝑥 =

(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥 ⋅

𝑥𝑥+1=𝑥−1

当𝑥=√2+1时，原式=√2+1−1=√2 【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值

代入化简后的代数式进行计算.

21．【答案】（1）20

（2）200；50

（3）解：20÷10%=200（人）

答：全校有意向选择“养殖”技能课程的学生约200人.

【解析】【解答】解：（1）m％=1-10％-35％-10％-25％=20％，

∴m=20. 故答案为：20.

（2）抽取样本的样本容量为20÷10％=200；

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a=200×25％=50， 故答案为：200，50.

【分析】（1）利用扇形统计图求出m的值.

（2）用选择陶艺的人数÷选择陶艺的人数所占的百分比，列式计算求出抽取样本的样本容量；a=抽取的人数×25％，列式计算可求出a的值.

（3）利用该校的人数×有意向选择“养殖”技能课程的人数所占的百分比，列式计算即可.

22．【答案】（1）解：根据题意，得24(𝑥+2)=20(𝑥+3)

解之：𝑥=3 答：x的值为3.

（2）解：24×(3+2)=120

𝑣=

120𝑡 【解析】【分析】（1）利用路程不变，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.

（2）由（1）可知总路程为120，即可得到v与t之间的函数解析式.

23．【答案】（1）解：（1）如图，

DE就是所求作的图形.

（2）证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶

∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶.（两线平行，内错角相等）. 又∵𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐵，𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，

∴∠𝐸𝐷𝐵=11

2∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐷𝐵𝐹=2∠𝐷𝐵𝐶

∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐹.

∴𝐷𝐸∥𝐵𝐹（内错角相等，两线平行）（填推理的依据） 又∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形. ∴𝐵𝐸∥𝐷𝐹.

∴四边形𝐷𝐸𝐵𝐹为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）【解析】【分析】（1）此题的作法正确，画出图形即可.

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（2）利用平行四边形的性质可证得AD∠BC，利用平行线的性质可推出∠ADB=∠DBC，利用角平分线的定义去证明∠EDB=∠DBF，利用内错角相等，两直线平行，可证得DE∠BF；然后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.

24．【答案】（1）解：方案一：50×3=150（米）

方案二：2√502+502=100√2（米） 100√2<150所以方案二总长度更短

（2）解：如图，作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵，𝐹𝐻⊥𝐶𝐷，垂足分别为𝐺和𝐻.则容易证明（省略）

△𝐴𝐸𝐺≌△𝐵𝐸𝐺≌△𝐷𝐹𝐻≌△𝐶𝐹𝐻(𝐻𝐿)

∵∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐷=120°，

∴𝐴𝐺=𝐵𝐺=𝐷𝐻=𝐶𝐻=25（米），

√325√350√3𝐺𝐸=𝐹𝐻=3⋅25=3，𝐸𝐹=𝐺𝐻−2𝐸𝐺=50−3

50√3

𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐹=

3总长度：4𝐴𝐸+𝐸𝐹=4×503+50−503=50√3+50=50(1+√3)（米）

33√

√

∵50(1+√3)<100√2<150 所以小明的方案总长度最短.

【解析】【分析】（1）利用已知条件可知正方形的边长为50m，利用方案一：沿正方形ABCD的三边

铺设水管，可求出铺设水管的总长度；方案二：沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管，利用勾股定理求出对角线的长，再求出铺设水管的总长度；然后比较大小，可作出判断.

（2）作EG∠AB，FH∠CD，利用HL证明Rt∠AEG∠Rt∠BEG∠Rt∠DFH∠Rt∠CFH，利用全等三角形的性质可证得AG=BG=DH=CH，同时可求出CH的长；再利用解直角三角形求出GE，FH的长，可得到EF，GH的长；然后求出设水管的总长度；比较大小，可得答案.

25．【答案】（1）证明：∵𝐶𝐸是⊙𝑂的直径，𝐵𝑀是⊙𝑂的切线，

∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝑀𝐵𝐶=90°，∠𝐴𝐶𝐵=90° ∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=90° ∴∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶

（2）证明：∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐸 ∵∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐷，∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶 ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸

∵𝐶𝐸是直径，∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶=90°

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∵𝐴𝐶=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(𝐴𝑆𝐴) ∴𝐴𝐸=𝐴𝐷

（3）解：∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷∴𝐴𝐵∥𝐷𝐶 ∴𝐴𝑂=𝐸𝑂=1 𝐷𝐶𝐸𝐶2∴𝐴𝑂=𝐹𝑂=𝐴𝐹=1 𝐷𝐶𝐷𝐹𝐶𝐹2∵𝑆△𝑂𝐹𝐶=4

∴𝑆△𝐴𝑂𝐹=2，𝑆△𝐴𝐷𝐹=𝑆△𝐶𝑂𝐹=4，𝑆△𝐶𝐷𝐹=8

∴𝑆四边形𝐴𝑂𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝑂𝐹+𝑆△𝐴𝐷𝐹+𝑆△𝐶𝑂𝐹+𝑆△𝐶𝐷𝐹=2+4+4+8=18

【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用切线的性质可证得

∠ABC+∠MBC=90°，然后利用三角形的内角和定理和余角的性质可证得结论.

（2）利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACE，可推出∠ACD=∠ACE；利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠EAC=∠DAC=90°；然后利用ASA证明∠AEC∠∠ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.

（3）易证AB∠CD，可推出∠AEO∠∠DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；利用相似三角形的性质可求出∠AOF，∠COF，∠CDF的面积，然后求出四边形AOCD的面积. 1+𝑏+𝑐=−426．【答案】（1）解：根据题意，得{4+2𝑏+𝑐=1

𝑎=1𝑎=1

解之，得{𝑏=2，所以𝑦=𝑥2−2𝑥+1=(𝑥+1)2

𝑐=1

函数的表达式𝑦=𝑥2+2𝑥+1或𝑦=(𝑥+1)2，当𝑥=−1时，𝑦的最小值是0

（2）解：根据题意，得𝑦=𝑥2−2𝑥+𝑚+1而函数的图象与𝑥轴有交点，所以𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=(−2)2−4(𝑚+1)≥0所以𝑚⩽0 （3）解：函数𝑦=𝑎𝑥2−2𝑥+3的图象 图1：

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𝑎<0

(−2)2

−12𝑎>0 𝑎<0𝑎<1

3 −−2

<1即2𝑎 𝑎>1{𝑎−2+3>0 {𝑎>−1所以，𝑎的值不存在. 图2：

𝑎<0 (−2)2

−12𝑎>0 𝑎< 即 0𝑎<1

3的值−1<𝑎<0. −−2

{𝑎−22𝑎>1 𝑎𝑎><−11+3>0 {图3：

𝑎<0 (−2)2

−12𝑎=0 𝑎<0𝑎=1

−2

即3 −{𝑎−22𝑎>1 +3<0 𝑎<1{𝑎<−1所以𝑎的值不存在 图4：

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𝑎>0

𝑎>02

(−2)−12𝑎>0 𝑎<1

3 即−2

−2𝑎>1 𝑎<1 {𝑎−2+3<0{𝑎<−1所以𝑎的值不存在. 图5：

𝑎>0

2

(−2)−12𝑎=0

−>1 2𝑎{𝑎−2+3>0

𝑎>0 𝑎=1

3 即

𝑎<1

{𝑎>−11

所以𝑎的值为 3−2

图6：𝑦=−2𝑥+3函数与𝑥轴的交点为(1.5，0)

所以𝑎的值为0成立.

1

综上所述，𝑎的取值范围是−1＜𝑎≤0或𝑎=.

3【解析】【分析】（1）将a的值及点（1，-4），（2，1）代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程

组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式.

（2）将a，b，c代入函数解析式，由y=0，可得到关于x的一元二次方程，根据函数图象与x轴有

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交点，可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.

（3）抓住已知条件：函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧，与x轴有且只有一个交点，分别画出函数图象，分情况讨论，可得到关于a的不等式组，分别求出不等式组的解集，可确定出a的取值范围.

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