应用均值不等式求最值的几种技巧
摘 要:均值不等式≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值及值域的问题。但是,有些题目必须进行必要的变形才能利用均不等式求解,现本文将讨论均值不等式的应用技巧,供广大师生参考。 关键词:均值不等式 最值 技巧
均值不等式≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值及值域的问题。但是,有些题目必须进行必要的变形才能利用均不等式求解,现本文将讨论均值不等式的应用技巧,供广大师生参考。 1 常数的巧引
例1:当00,利用均值不等式求最值,必须和为定值,或积为定值,此题为两个式子的积的形式,但其和不是定值,注意到2x+(8-2x)=8为定值,故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。 解:y=x(8-2x) =[2x(8-2x)]≤]2=8。
当且仅当2x=8-2x时,即x=2取等号 ∴当x=2,函数y=x(8-2x)的最大值为2。 2 项的巧拆
例2:求y=(x≠-1)的值域。 解:y=
= =(x+1)++5
当x+1>0即x>-1时,y≥2+5=9 当且仅当x=1时取“=”号 当x+10 ∴f(x)=4x-2+ =-(5-4x+)+3 ≤=-2+3=1
当且仅5-4x＝即x=1时等号成立。 故当x＝1时,函数f(x)取得最大值1。 4 结构的巧调
例4:已知a>0,b>0,a+2b=1,求t=的最小值。 解:t＝=()·1=()·(a+2b) =1+ 当且仅当 故a=。 例5:求函数y= 解: =4+2
又y>0,∴,当且仅当2x-1=5-2x,即时,取“=”,∴当时,函数取得最大值。
总之利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。
