第2章 质点动力学
一、质点：
是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。
二、力：
是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。 1、弹性力：
（
为形变量）
2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。 固体间的静摩擦力： 固体间的滑动摩擦力：3、流体阻力：4、万有引力：
或
。
（最大值）
。
特例：在地球引力场中，在地球表面附近： 式中R为地球半径，M为地球质量。 在地球上方（较大）， 在地球内部（
），
。
。
三、惯性参考系中的力学规律 牛顿三定律
牛顿第一定律：惯性系。 牛顿第二定律： 普遍形式：
； 时，
。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了
经典形式：牛顿第三定律：
（。
为恒量）
牛顿运动定律是物体低速运动（础。
）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基
四、非惯性参考系中的力学规律
1、惯性力：
惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。 2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律：
五、求解动力学问题的主要步骤
恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出分量式的运动方程。
变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。
第3章 机械能和功
一、功 1、功能的定义式： 恒力的功：变力的功：2、保守力
若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关
系的力称保守力：
3、几种常见的保守力的功： （1）重力的功：（2）万有引力的功：（3）弹性力的功：4、功率
二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所具有的能量称之为势能。
1、常见的势能有 （1）重力势能 （2）万有引力势能 （3）弹性势能 2、势能与保守力的关系 （1）保守力的功等于势能的减少
（2）保守力为势能函数的梯度负值。
（3）势能曲线
势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力
随位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。
三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律
功可分为：外力的功1、 质点动能定理：2、质点系动能定理：3、功能原理：4、机械能守恒定律：
，
时，
、保守内力的功
、和非保守内力的功
第4章 动量和角动量
一、动量定理
1、动量
和
均为描述机械运动的状态量，但两者有重要区别：
是物体之间传递
机械运动的量度；度。
是物体的机械运动形式与其他运动形式相互转换的一种量
2、冲量：冲量是力对时间的累积，导致机械运动的传递。 3、动量定理： 质点：质点系：
。
二、动量守恒定律
矢量式：
； 分量式：
利用某一方向上的动量守恒分量式常可简捷地解决力学问题。
三、碰撞问题
满足动量守恒定律：
满足牛顿规则（沿碰撞方向）；恢复系数
。
四、火箭飞行问题
箭体运动方程：火箭飞行速度：
。
五、质心：质心是质点系中运动特别简单，能代表质点系整体运动的特殊点。
1、质心位置
2、质点系动量
3、质心运动定理
或
。
六、质点角动量及其规律
1、角动量： 角动量是与各质点动量和参考点位置有关的状态量。 （1）质点：（2）质点系：2、角动量规律 （1）转动动力学方程：（2）角动量定理：（3）角动量守恒定律：
。
。
。
第5章 刚体力学基础
一、刚体定轴转动的运动学描述 角位移
，角速度
，角加速度
为常数时有：
；
在匀变速转动条件下，即角加速度
；
角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中r处点的线速度的矢量关系：
角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中r处点的线加速度关系：
其中：
为切向加速度：
为法向加速度。
二、转动定律 1、力矩
力矩一般说来是一空间矢量，在定轴转动中，角速度方向已经确定，沿转动轴方向，刚体
转动状态的改变只与力矩在这一方向上的分量有关。在定轴转动中，力矩可简化为代数量。 其量值：2、转动惯量 J
转动惯量是表示物体转动惯性的物理量，它与物体的质量大小、质量的分布及转轴位置都有关系，是转动问题中的一个重要的物理量： （1）定义式：
不连续分布的质点系： 质量连续分布的物体： （2）平行轴定理：
任意物体绕某固定轴O的转动惯量为
，绕通过质心C而平行于固定轴O的转动惯量为
，
O轴与C轴间距为d，转动物体的总质量为m，那么：（3）垂直轴定理： 在量为
平面上，有一薄形板，薄板饶
轴的转动惯量为
平面的
，薄板饶轴的转动惯
，那么，薄板饶通过
。
轴的交点O垂直于轴的转动惯量：
转动惯量除上述的计算方法，对于匀质简单形状的几何体可查表查得它的转动惯量，对于非匀质或不规则的物体我们可以经过实验方法来测定。 3、转动定律： 一般形式为：在刚体定轴转动中：
转动定律是转动问题中的基本规律，它的地位与质点动力学牛顿第二定律相当。用转动定律的解题步骤也与牛顿第二定律类同。仍为分析研究对象，画出隔离体受力图，选取合适坐标，列出相应方程，和求解讨论。因注意到
、、
相对同一轴而言，
是
个代数式。
三、角动量原理
1、刚体定轴转动角动量： 2、角动量原理： 一般形式： 刚体定轴转动： 3、角动量守恒定律：
系统（质点系或物体组）受到的合外矩为零，则系统的角动量守恒。
物体组绕z轴做定轴转动时：
应用角动量守恒定律时应注意：
（1）合外力矩为零的条件而不是合外力为零的条件 （2）适用于惯性参照系（或质心参照系），对同一转轴而言 （3）适用于刚体也适用于非刚体 （4）适用于宏观也适用于微观
四、转动中的功能关系
1、力矩的功： 2、刚体的转动动能： 3、功能定理：式中
和
是质心的平动动能与
恒量 恒矢量
是指内力、外力、内力矩、外力矩的总功，而动能
刚体或非刚体绕质心转动动能的总和。
4、机械能守恒
非保守内力、内力矩、非保守外力和外力矩不作功时系统的总机能保持不变。
恒量
五、刚体的平面运动
刚体中某一平面，被在一固定平面内运动，有三个自由度，处理刚体平面运动有如下的方法：
方法一，刚体平面运动可以分解为以质心运动为代表的平动和绕过质心的垂直轴的转动。 质心运动服从质心运动规律。
绕质心轴转动服从质心系转动定律和动能定理
方法二，刚体平面运动可视为饶瞬时转轴P作纯转动。 对瞬轴的动能定理
； 式中
但对瞬轴的转动定律，只有在和球作纯滚动时，
是个常数的条件下才能成立，例如圆柱体
，则对瞬时轴的转动定律才成立。
六、刚体的进动
进动是刚体的一种非定点运动，绕自转轴转动的回转仪在重力矩作用下，非但不会倾倒；
而且自转轴还会旋转。
1、回转仪进动的物理实质（在转动参照系中观察）
重力矩作用使回转仪倾倒；回转仪倾倒而产生垂直于自转轴的惯性力矩，使回转仪进动；回转仪进动又产生与重力矩平衡的惯性力矩，使回转仪不再倾倒，继续进动。 2、回转仪进动方向的规则
回转仪的进动使其自转角速度的指向，具有向外加力矩指向靠拢的趋势。
3、回转仪进动角速度：
对于给定刚体，进动角速度的大小，与外加力矩成正比，与刚体自转角速度成反比。
第6章 振动力学基础
一、产生谐振动的动力学条件
物体受到的合外力或合外力矩为零的位置，我们称之为平衡位置。当物体偏离平衡位置时，物体受到与位移成正比与位移方向相反的恢复力（与角位移方向相反的恢复力矩（
），或受到与角位移成正比
）作用时物体将作谐振动。
1、弹簧振子（图6-1）
这微分方程的解为：
式中圆频率由此可得振动周期
2、复摆（物理摆）
式中b为支点到质心的距离，也常用这微分方程的解为：式中圆频率
表示。
，由此可得振动周期
3、其他类型简谐振动的一般求解步骤： （1）选取合适的坐标，找出平衡位置。
（2）写出在平衡位置处物体所受各力的平衡条件，（在此较简单的情况下这一步可省略）。 （3）给一微扰使物体偏离平衡位置，画出物体的受力图，找出回复力或回复力矩的表达式。
（4）列出动力学微分方程，与标准谐振动微分方程比较系数，可得谐振动的圆频率和周期。
二、谐振动的运动学描述有三种形式：
1、解析式 谐振动的运动方程为
将此式分别对时间求一次，二次导数可相应得到振子的速度和加速度a随时间的函数表达式： 事实上速度和加速度a还应是位移x的函数： 在运动方程中圆频率
，
是由初始
或周期T是由力学条件所确定的，而振幅A和初相位
条件所确定的。将由此可解出：
代入位移和速度的表达式可得：
，
2、用旋转矢量（即参考圆）描述 旋转矢量
，以匀角速
逆时针旋转，矢端M点在X轴上的投影P点的运动方程：
在X
却好是谐振动方程，且M点匀速圆周运动的速度和加速度
轴上的投影
和
也却好是P点在X轴上作谐振动的速度和加速度。所以用参考圆来描
述谐振动比较简单直观，容易记忆（如图6-3所示）。3、用谐动图线描述
谐振动的位移、速度和加速度随时间变化的曲线如图 4 所示。一般要求看懂位移x和速度和加速度
三条曲线的相位关系依次超前
三、谐振动的能量
弹性势能： 动能：
弹簧振子系统的总能量：
四、谐振动的合成
1、同方向同频率两个谐振动的合成 设谐振动
。
合成后的谐振动 式中：
；
此关系式用旋转矢量图6-5则很容易理解和记忆。 当：
则
则
2、同方向频率相近的谐振动合成 合成后的圆频率为其平均圆频率的拍频
。
或其频率
，合成后产生
3、互相垂直的谐振动合成
两个相互垂直的同频率谐振动合成的质点运动轨迹一般为椭圆，在一定条件下也可能为圆或直线。轨迹的形状决定于两振动的相位差与振幅，当两个谐振动频率不相等，但有简单的整数比时，质点的运动轨迹为李萨如图形。
五、阻尼振动
当弹簧振子在振动过程中受到的阻力与速度大小成正比与速度方向相反的阻力作用时，振子的动力学方程为： 式中
为阻尼系数。若令
，
则上式可改写为：
在小阻尼情况下，即其中
在大阻尼情况下（即
的条件下其微分方程的解为：；可得周期
）就不再是周期运动了。
，
六、有阻尼的受迫振动
有阻尼的受迫振动的动力学方程为：
式中H为强迫力的最大值，p为强迫力的圆频率。若令式可写为：该微分方程的解为：
；
；
上
前项就是阻尼振动，随时间的增加而很快消失，后项是稳定的振动，其中振幅B由下式表示：
由此式可知当强迫力频率率
与固有频率
相差很大时强迫振动振幅就很小，而强迫力频
和固有频率接近时，强迫振动的振幅就很大，这种情况称之谓共振。
第7章 狭义相对论基础
一、狭义相对论基本假设
1、狭义相对性原理：物理定律对一切惯性系等价。
2、光速不变原理：真空中光速与光源或观察者的运动无关。
二、时空相对性 1、动钟变慢效应：
2、动尺缩短效应：
三、相对论运动学
1、洛仑兹坐标变换式：
； 。
2、爱因斯坦速度变换式：
； 。
四、相对论动力学
1、相对论质量：2、相对论动量：3、相对论动力学方程：
五、相对论能量
1、相对论能量：2、相对论动能：3、相对论静能：
六、相对论能量与动量关系
第8章 热力学平衡态
一、理想气体状态方程 1、平衡态的概念
系统与外界没有能量交换，系统内部也没有任何形式的能量转换，气体各部分具有相同的温度和压力，而且温度和压力也不随时间而变化的这种状态叫平衡态。 2、理想气体的状态方程
这状态方程只适用于平衡态。 式中理想气体普适常数：
3、压力与单位体积内分子数与温度的关系： 式中 （式中
，表示单位体积内的分子数，
，称为玻尔兹曼常数。 ，为阿伏枷德罗常数）
二、气体分子运动论 1、宏观量与微观量
气体的温度、压力是大量分子热运动的集体表现，这些描述大量分子集体特征的物理量叫做宏观量。组成气体的每一分子具有一定的质量、体积、速度、能量等，这些描述单个分子的物理量叫做微观量。
气体分子运动论就是根据理想气体分子模型用统计的方法研究气体的宏观现象的微观本质，建立宏观量与微观量的平均值之间关系的理论。 2、理想气体的微观模型。
（一）力学假设：
（1）气体分子的线度远小于分子间距。
（2）气体分子可看作为弹性小球，它的运动规律遵守牛顿运动定律。 （3）除碰撞瞬间外，分子间相互作用力可忽略不计。 （二）平衡态时的统计假设：
（1）分子向各个方向运动的机会均等。
（2）分子速度在各个方向上分量的各种平均值也相等。 有 3、理想气体的压力公式
4、气体分子的平均平动动能与温度的关系
它揭示了宏观量温度是气体分子无规则运动量度的物理本质。 5、能量均分原理
任一自由度上的平均能量都是
，这叫能量均分原理。
表示平动自由度，表示其转动自由度，S表示其振动自由度，分子的总自由度： （1）单原子分子：
（2）在温度不太高的条件下，双原子分子可看成刚性分子，振动自由度S取零得： 刚性双原子分子 （3）刚性多原子分子 6、理想气体的内能
理想气体的内能是系统状态的单值函数。
三、麦克斯韦速率分布
1、麦克斯韦速率分布函数的意义
表示单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。 2、麦克斯韦速率分布函数
它满足归一化条件 3、三个统计速率 （1）最可几速率： （2）平均速率： （3）均方根速率
4、麦克斯韦速率分布曲线主要特点： （1）曲线与速度轴所包围的面积为1。
（2）最可几速率附近的分子数比率最大，速率很大或很小的分子数比率都很少。 （3）温度升高曲线右移，曲线比较平坦；温度降低曲线左移，曲线比较陡。
（4）同温度下分子量较大的气体分子的速率分布曲线在分子量较小的速率分布曲线的左边。
时
四、麦克斯韦速度分布
在速度区间的比率：
分子对器壁单位面积上碰撞的频率：
到
，
到
，
到
内的总分子数占总分子数
五、玻耳兹曼统计分布
式中
称为玻耳兹曼因子，其中
和
表示分子动能和分子在外场中的
势能。重力场中粒子按高度分布：
第9章 热力学定律
一、热力学第一定律 1、热力学第一定律：
热力学第一定律是包括热现象在内的能量守恒和转换定律。它的数学表达式为：
（微分形式）
（积分形式）
热力学第一定律表明了：系统吸收的热量一部分使系统的内能增加，另一部分使系统对外作功。应用热力学第一定律时必须要注意各物理量的正负号。系统吸热取“+”号，放热取“-”号。系统对外作功取“+”号，外界对系统作功取“-”号。 2、热力学第一定律在理想气体等值过程中应用的比较表：
过过程方程 程 等容 等压 等温 绝热 吸收热量Q 内能增量 对外作功A 摩尔热容C 0 或 或 0 或 0 或0 多方 或 这“比较表”的主要特点：
（1）内能E是系统状态（温度）的单值函数
内能是个状态量。内能的增量只决定于初末两个状态，与所经历的过程无关。所以表中内能增量的表达式都是：
（2）功A是通过宏观位移来传递能量的过程量。所以表中功的表达式因过程不同而不同，但功都可从功的定义求得，即：
（3）热量Q是通过分子间相互作用来传递能量的过程量。表中Q都可由热力学第一定律来求得：
或者：
式中C为摩尔热容量。由于Q是过程量，因此式中C要与具体的过程量相对应。
（4）摩尔热容：
；定压摩尔热容：
；
定容摩尔热容： 比热容比：
摩尔热容C为常量的过程为多方过程。在多方过程中：
可见，当n=0时为等压过程，n=1时为等温过程 当n=
时为绝热过程，
时为等容过程
二、循环过程 1、循环过程的特点：
（1）每经历一个循环，系统内能没有改变； （2）每一循环所作的功在数值上等于（3）热循环的效率： 式中2、卡诺循环
表示系统所放出的热量。 图封闭曲线所包围的面积。
表示系统所吸收的热量，
（1）卡诺循环由两绝热过程和两等温过程组成 （2）卡诺循环的效率 （3）卡诺循环的意义
指出了所有热机的效率都小于1，提高热机效率的有效途径是提高高温热源的温度。卡诺循环为确立热力学第二定律奠定了基础。 3、致冷循环
（1）与热机相反方向的循环为致冷循环。P-V图上逆时针循环所包围曲线的面积为外界所作的功A。 （2）致冷系数：
对卡诺致冷机而言：
（3）要从低温热源吸取热量向高温热源送，外界必须要消耗功为代价，对卡诺致冷机而言，外界所需作的功： （4）供热系数：
三、热力学第二定律： 1、可逆过程与不可逆过程
某一过程P中一物体从状态A变为状态B，如果我们能使状态逆向变化。从状态B回到初态A时，周围一切也都各自回复原状。过程P就称为可逆过程。如果物体不能回复至原状
态A，或当物体回复到原状态A时而周围并不能回复原状。那么过程P称为不可逆过程。 满足机械能守恒的纯力学过程是可逆过程。
热力学过程中准静态变化过程也是可逆过程。只有理想过程才能是可逆过程。一切实际过程都是不可逆过程。热力学中从非平衡状态到平衡态（如热传导、扩散、气体自由膨胀等）都是不可逆过程。机械运动转化为热运动也是不可逆过程。 2、卡诺定理
（1）在相同高温热源（温度为
）与相同低温热源（温度为
。
）之间的一切可逆机。不
论用什么工作物质效率都相同。都等于
（2）在相同高温热源和相同低温热源之间工作的一切不可逆机的效率不可能高于可逆机，即
。
3、热力学第二定律
热力学第二定律的二种说法：
（1）开尔文说法：不可能制造成一种循环动作的热机，只从一个热源吸热使之完全变化为有用的功，而其他物体不发生任何变化。
（2）克劳修斯说法：热量不能自动地从低温物体转向高温物体。
这二种说法不同，其实质是等价的。热力学第二定律表明了自然过程进行的方向和条件。用热力学第二定律可以判别哪些过程是可以实现的，而哪些过程是不可能实现的。 4、熵和熵增加原理。
（1）克劳修斯等式：对任意可逆循环过程都有：
（2）熵，熵是一态函数，以符号S表示。定义为：
，力学问题中势能
上式只表明了熵差，我们关心的也只是熵差（就象计算内能的改变
改变一样）
熵是描述平衡态的状态函数，系统状态确立之后该系统的熵也唯一地确定下来了。因为熵是一个态函数。在计算两态的熵差时与过程无关。所以可以设计一个连接同样初态和终态的任一可逆过程进行计算。 （3）理想气体的熵
引入熵概念后热力学定律方程可写成：
（4）温熵图
熵函数曲线下面的面积与热量相当。正循环过程中温熵图中闭合曲线的面积大小为净吸热或为系统对外所作的净功。 （5）熵增加原理
在封闭系统中发生任何不可逆过程导致熵的增加，熵只有对可逆过程才能不变的，这叫熵增加原理。
对不可逆循环有克劳修斯不等式：
当系统和环境有能量交换时，系统从状态1到2，系统和环境（封闭系统）总的熵变：
这两式也可称作热力学第二定律的数学表达式。 熵的增加反映了能量的退化，作功机会减少。
（不可逆过程） （可逆过程）
5、热力学第二定律的统计意义：
一个不受外界影响的封闭系统，其内部发生的过程总是由几率小的状态向几率大的状态进行。由包含微观状态少的宏观状态向包含微观状态多的宏观状态进行。熵和微观状态的数目
之间的关系是：
式中
是玻耳兹曼常数。
四、三个热力学态函数的比较：
态函数 反映系统的属性 统计意义 状态量性质 与过程量的关系 相关的规律 温度（T） 热运动剧烈程度 内能（E） 热运动能量 熵（S） 热运动无序性 内涵量 守恒量 演进量 第零定律 第一定律 第二定律
