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新高考背景下解答三角函数考点的策略
作者：张昕 董晓明 刘珍
来源：《新智慧·中旬刊》2019年第05期
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【摘要】三角函数这部分知识是幂指函数的承接，它在数学与其他学科都占有相当重要的位置。如今国内外所发表的论文大多研究如何教，如何记忆，研究题目的难度也大多在高考之上，而研究学生如何灵活解题论文却寥寥无几。故本文从学生个体出发，主要通过对三角函数中有解题难度但却有解题技巧的题型展开讨论，从而拓宽学生思维，达到简化三角函数的目的，从而使学生轻松应对三角函数的学习。 【关键词】三角函数;小题速解;灵活解题
在这之前，学生有必要先对三角函数这部分知识进行一个整体把握，即在学习三角函数之前，学生需要了解在现阶段引入任意角、弧度制的必要性、终边相同的角的集合表示法，以及三角函数两种定义的意义所在[1]。了解这些基本概念后，学生开始接触一些简单的三角函
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数，之后学生会学习三角函数的诱导公式，目的在于把与有关的复杂角化解为之前所学习的简单三角函数。学生掌握了这些基础知识后，便可对三角函数从函数本质上研究学习其图像、性质，解决三角函数综合性问题[2]。笔者结合高考三角函数高频考点讲解学生应怎样灵活解题。
一、用单位圆及三角函数线灵活解题
该部分内容作为学生学习三角函数的开始，习题中比较难解答的就是诸如例题所示的证明题。此类问题比较抽象，大部分学生无从下手。但此前学习的单位圆及三角函数线却可以使学生很直观地从图上感知三角函数并且理解三角函数的值可以由某线段的长度表示。由此可见，学生充分理解单位圆及三角函数线在三角函数中发挥的重要意义，将为解决此类比较抽象的证明题提供极大的方便。
例1：已知α为锐角，求证：sinα
分析：对于这道题，不止一种解法，但在对三角函数进行初步学习后，学生应该选择最简单的方法解决题目。学生应该思考怎样能把sinα的值与tanα的值放在一起直观地看出其大小呢？此时便首选单位圆，画图在单位圆中分别找到sinα、α、tanα的位置进行比较分析。观察右图可知：弧AP=α（L=a·r），sinα=|PM|，tanα=|AT|，因弧AP>PM，所以α>sinα;比较α与sinα大小时用面积法：扇形AOP的面积小于三角形AOT的面积，即得所证。 二、灵活解决求值问题
高考是一场既考察能力又考察速度的公平竞赛，所以学生的解题速度非常重要，求值问题在高考题多以选择题、填空题的形式出现，而通过猜题法的具体应用，可以提高学生对数字的敏感度。这里的猜题指根据一些特殊值（即满足sin2α+cos2α=1的值）去猜，笔者将这些特殊值分为三类，并分别列举其具体应用：
1.特殊角的三角函数值：±12与±32;±22与±22等;
2.给定勾股数想其三角函数值：±35与±45;±513与±1213等;
3.给定正切值为整数时想其三角函数值：tanα=2→±55与±255。tanα=3→±1010与±31010。 例2：（1）sinα=5，求tanα的值;
（2）已知sinαcosα=1225，求sinα+cosα的值; （3）sin8α+cos8α=41128，α∈（0，π2），求α。
分析：猜（1）：题目出现5首先想到数组±55与±255可能为其sinα、cosα的值。
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验（1）：cosα=55;sinα=255时符合题意，此时tanα=2。 猜（2）：sinα、cosα值的积为1225，很自然猜到：±35与±45。
验（2）：sinα=35，cosα=45或sinα=-35，cosα=-45符合题意，此时sinα+cosα=±75。 猜（3）：按命题人的逆向思维去猜，既然最后求α，即α一定是个特殊角，不妨猜几个特殊角的函数值：sinα=12、22、32分别代入sin8α+cos8α=41128去验证，直接得出α=π6或π3。
对于三角函数的学习，本文根据三角函数常考知识点结合相关例题，着重分析了哪种题型可快速解题从而培养学生的灵活性思维[3]。现在高考对于三角函数的考察更偏向于考察学生的基础知识，学生可适当放弃做一些过偏、过难的习题，而把时间精力多花费在基础题上。学生在学习三角函数时可能会觉得公式很多、涉及到的计算也很复杂，但其实只要掌握了它的本质以及内部规律，在学习过程中不断总结，便会发现这个周期函数非常容易学。 参考文献：
[1]唐明超.从考题中来回到课本中去——例谈高考三角函数复习备考策略[J].中学教研（数学），2019（02）：44～46.
[2]Library W E.Differentiation of Trigonometric Functions[J].Journal of Experimental Medicine，1984，160（5）：1558～157.
[3]張灵依.巧学三角函数之我见[J].学周刊，2019（07）：68.
