第２７卷第２期 ２０１７年６月 洛阳理工学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｕｏｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２７ Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１７ 对求解ｍａｘ．ｍｉｎ模糊关系方程Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ法的简化 吴小瑞 ，宋振明。 （１．西南交通大学数学学院，四川成都６１００３１；２．西南交通大学智能开发中心，四川成都６１００３１） 摘要：在求解ｍａｘ．ｍｉｎ模糊关系方程Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法的基础上，首先对ｙ矩阵的每列元素进行集合的交运算， 缩小解集的范围，再对ｗ矩阵的每列元素进行集合的交运算，使ｗ矩阵从ｍ×ｎ维转化为ｎ×１维，减少一些 无用的计算量，避免解集出现空集，或出现重复解，使计算更加简洁。 关键词：模糊关系方程；ｍａｘ—ｍｉｎ模糊关系方程；Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ法 ＤＯ／：１０．３９６９／ｉ．ｉｓｓｎ．１６７４—５４０３．２０１７．０２．０２１ 中图分类号：０２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４～５４０３（２０１７）０２—００７９—０４ 模糊关系方程在模糊数学理论中占有重要的地位，被模糊综合评判、模糊控制、模糊识别、模糊决 策、模糊系统和数据挖掘等领域广泛应用¨ Ｊ，所以，模糊关系方程的求解问题是一个重要的研究方向。 １９７６年法国学者Ｓａｎｃｈｅｚ提出模糊关系方程理论 ｊ。随后，许多学者在模糊关系方程的求解问题上做 大量的工作，针对ｍａｘ—ｍｉｎ模糊关系方程求解有很多种方法，分别有Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ法、模糊矩阵变换法、有 效路径法、保守路径法、三角法等 。近些年来，模糊关系方程的求解问题被许多国内外学者研究 ， 不同的角度进行推广和完善应用，如谷敏强研究一类泛逻辑蕴涵算子求解模糊关系方程 ｕ；李龙、姚明 臣等人从数值计算的角度出发，利用神经网络的学习过程，提供出一种新算法求解ｍａｘ—ｍｉｎ模糊关系方 程 ；Ｊｅｇｕｓ Ｍｅｄｉｎａ、Ｅｓｋｏ Ｔｕｒｕｎｅｎ等人研究基于覆盖问题的模糊关系方程极小解求解¨ ；屈小兵、孙峰 等人结合矩阵的初等变换求解模糊关系方程¨ ；周雪刚、杨晓鹏等人讨论正项式几何规划问题研究模糊 关系方程 。 Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法是２０世纪７０年代Ｅｔ本学者Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ Ｙ提出的，该方法最突出的优点是最直接、最直 观，但是仍然存在缺陷。计算量随着矩阵方程阶数的增加而呈现指数的增长，且有些计算重复出现，或 者许多计算结果是空集，或者给出重复解，或者给出的解被其他解包含。那么将如何避免这些多余的计 算呢？因此，针对这些问题进行分析，在Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法的基础上对运算进行一些简化，减少一些重复计 算，使计算更简洁、更有效地求得模糊关系方程的所有解。 １预备知识 下面将给出１ＴＩａＸ—ｍｉｎ模糊关系方程的定义及相关的一些定理，简单的介绍如何用Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法 ］ 求解ＩＴＩａＸ—ｍｉｎ模糊关系方程。 模糊关系方程： 模糊矩阵Ａ＝（ａｉｉ） ，。 ∈［０，１］，Ｂ＝（６ ） ，ｂ ∈［０，１］， ：（ｘｉ） ， ∈［０１］称 ，。Ａ＝Ｂ （１） 是模糊关系方程。 收稿Ｅｔ期：２０１６—１１—２３ 作者简介：吴小瑞（１９８７一），女，甘肃平凉人，在读硕士研究生，主要从事智能信息处理方面的研究 基金项目：国家自然科学基金项目（６１１７５０５５）． ８０ Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法： 洛阳理工学院学报（自然科学版） 第２７卷 １）由模糊关系方程（１）构造集值模糊矩阵ｙ＝‘ｙ ） 构造区间值模糊矩阵Ｙ＝（ ，）…，其中， ＝。 ｆ童６ 。 ，其中Ｙ ｆ＝ａｉｊｓｂ ；由模糊关系方程（１） ２）对ｙ的每一列中选定一个非空元素分别代人ｌ，的相应位置上去替换ｙ中的相应的元素，得一矩阵ｗ， 其中矩阵Ｗ的列为区间向 ＝（ａｌｊ童６ 一，０ ｆ奢６ ，ａｉｊｋｂｊ，ａｉ＋ｌｊｋｂｊ，．ｏ ｏ，ａ奎６，） （选取Ｙ中第 列第ｉ个元素）， ｍｊ代换后的矩阵记为 。 ． ＝（彬 ） ，其中 表示选取矩阵Ｙ中第Ｊ．列第ｉ行元素的位置，记为 ：ｉ。 ３）对每个 止，… 矩阵的每一行进行集合的交运算，得矩阵列向量 。 … 便是一部分解向量，最 后对所有的解集合求并，得到最终解的集合。 ２ Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法的简化 由于Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法求解ｍａｘ—ａｒｉｎ模糊关系方程存在很多的不足，如有解是空集；或解被其它解包 含；或出现重复解。为避免出现上述问题，分析Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法求解的过程，利用集合的交并运算，压缩 并确定解集的区间范围，首先确定这样减少一些无用计算，再对模糊矩阵ｙ的列元素进行交运算，得到新 的模糊矩阵，记为ｙ 。下面给出简化后的一些定理及性质。 定理２．１ 若 是模糊关系方程的解，则 ｃ ｌ， 。 证明：根据Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ法，设Ｙ＝（ ） ，Ｙ＝（Ｙ ） 且Ｙ Ｃ Ｙ 将ｙ中每一列中选定一个非零元 素代入ｙ相应的位置上代换ｌ，中相应的元素，得ｗ矩阵，再对 中每行的元素进行集合的交运算，得模 糊关系方程的解Ｘ ．．， 并且每个元素（ｎ ‰）Ｎｙ ｎ（ｎ ｙ ）Ｃ ｎ：： 即Ｘ 【２＿…， ｃ Ｙｎ，所以Ｘ＝ ｕｉ１ ｉ２＂＂ｉｎａ｛１．２，．．， ２．．， ｃＹｎ。 ，定理２．２若ｙ为模糊关系方程的区间值模糊矩阵，那么对ｙ矩阵的每一行元素进行集合的交运算， 得ｙ 是ｍ×１维矩阵且每个元素非空。 证明：ｙ 是 ×１维矩阵。显然，只需证明Ｙ 中每个元素非空。根据式（１），设Ｙ：‘）， ） ，Ｙ ＝ （Ｙ ）ｍ×ｌ，ｂＭ＝ｍａｘ｛ｂ１ｂ２，…，ｂ ）且 ，ｆ［０，１］。 ≤ｂｉ ｙ 。 肋 Ｉ［０．ｂｉ】’ａｉｉ＞６；。 因此［０，ｂＭ］Ｃ Ｙ ，即［０，ｂＭ】Ｃ Ｙ ＝ｎ ｎ Ｙ ，证得 ≠（［０，ｂＭ］，…，［０，ｂＭ１Ｊ ｃ Ｙｎ＝（ｙ ） 。 第二部分得知 ． 是模糊关系方程的解，记置 ．，…， 是Ｔｓｕｋａｍ。 。方法化简后所求得的解，下面 根据这两种解，我们得到 定理２．３若矩阵 。 … ，矩阵 ｌＩｆ：…是公式（１）的解，并且满足条件：Ｊ． ＝ｉ 一√ ：ｉ一有 ， ，．且矩阵个数相等。 证明：（１）矩阵 ． 和矩阵Ｘ【１＿【２ｌ一， 个数相等是显然的。因为矩阵 。 一山和矩阵 ｉＩ ｉ２＂＇＂ｉｎ都是由 ＝ … ：．．．， ，集值模糊矩阵】，中每列非零元素的个数决定。 （２）下面证明解是同一个解。 选取集值模糊矩阵ｌ，第ｓ列的所有元素是相同的，同 根据已知条件： 。＝ｉ 一，Ｊ． ＝ｉ ，即 ＝ｉｓ时， ） ，再与区间值模糊矩阵对应元素进行交运 时替换矩阵Ｊ＝（ “） ｘｎ，ｉ ＝［０，１ Ｊ，得到新矩阵， ：（算，得到矩阵Ｗ， 设 ．止．，． 从而得到矩阵 … ；根据定理２．１，Ｘ ｝２＿…， 矩阵的生成是先分别将矩阵Ｊ 和 ＝（ １） １，其中 １＝（ｎ ｎ：ｌ ） ｎ ， ，矩阵ｙ每行元素进行交运算，得到矩阵Ｗ 。 一 和ｙｎ。 …， ＝‘ｐｄ） ｌ，其中Ｐ ｌ：ｎ ｌ（ｉ ｎ ）；Ｘ ：…，（ｎ ｎ 一 ｉ＇ｉ，），因为集合交运算满足交换律，所以有 ｎ ｎ（ｉ ｎ Ｙ ）＝（ｎ １ｉ ） ｎ（ｎ １Ｙ ）１。 ：：：即Ｐ ｌ＝ 因此矩阵 ＝…． Ｘ …， 。 结合（１）、（２）命题成立。 第２期 吴小瑞等：对求解ｍａｘ—ｍｉｎ模糊关系方程Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ法的简化 ８ｌ 对求解（２）的步骤如Ｆ： 第１步：根据所给的模糊关系方程，确定集值模糊矩阵Ｙ和区间值模糊矩阵Ｙ，再对Ｙ的每一行进 行相交得ｌ， 。 第２步：记Ｉ ：（［０．１］．＿．［０，１］） ，从Ｙ的第Ｊ＿（．Ｊ．＝１，２，…，ｎ）列中选定一个非零元素ｙ 代人 Ｊ中，其中ｉ＝１，２，…，ｍ，去替换Ｊ中第１行第１列的元素，得到一个矩阵，记ｗ 。 若从Ｙ的第＿『列中选定非零元素是似； ＝０ √＝１，２，…，ｎ，这样替换Ｉ 中元素所得的矩阵为 ｗ … ，其中表示选取矩阵Ｙ中第ｓ列第ｉ行元素的位置，记为ｉ ＝ｉ。 注２．１若从ｙ的每列所选的非空元素中，所在同一行有两个或两个以上的，先将他们进行相交之 后，再去替换中相应行的元素。 第３步：将矩阵ｗ 和ｉ， 中相应位置元素相交，所得的矩阵 。 …， ［ 为（１）的解。 第４步：将第三步的解并起来，即： ， 一＾为（ ）的解集。 ０ 。性质２．１ 设ｙ Ｙ沈，…，ｙ （￡≤ｎ）是ｙ第ｉ行中有ｔ个非空元素，并将他们进行两两相交， 如：ＹＯ ｎ ｙ ，那么ｗｌ ：，… …憾…＾ ，其中 。＝ｔ’ｊ ＝ 。 下面给一些例子分别用Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法和利用上述定理及性质所得新算法进行求解，并作了比较。 例２．１解模糊关系方程 ０．３ ０．２ ０．７ ０．８ ０．５ ０．４ ０．４ ０．９ Ｏ．７ （ １ ２ ３ ４ ５）。 Ｏ．３ Ｏ．２ Ｏ．７ ＝（０．７ ０．４ ０．５ ０．８）。 Ｏ．９ ０．６ Ｏ．１ Ｏ．２ Ｏ．８ ０．５ Ｏ．６ Ｏ．４ （ｐ Ｏ．５ 【０．１］ 【０．１］ ［０．１］ ［０．１］ 【０．０．５］ ［０．１］ ［０．Ｉ］ ［０．１】 ［０．０．８】 ［０．４．１】 ［０．１］ ［０，，１】 解：Ｙ＝ ［０．７．１】 ０．７ Ｏ．７ （Ｄ ｆ０．１］ 【０．１】 【０．１］ ０．４ ０．４ ［０．０．７］ ［０．０．４】 ０．５ 【０．１］ ［０．０．７］ ［０．０．４］ ［０．０．５］ （１）方法１。 通过［０，１】 Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法那么就需要计算【０，１】０．５ 【０．８１】、 ，３６ 个 …． 矩阵，即 ＝ ｆ０，１】 ［０．４，１】 ｆ０，１】 【０，０．８】Ｉ 【０．７，１］ ［０，１】 【０，１】 ［０。１］Ｉ，再对的每行进行相交所得解 ［０，０．７］ ［０，０．４】 ［０，１】 ［０，０．７】 【０，０．４］ ［０。０．５］ Ｐ３２“＝（ ［０。１］ｌ 【０１］ ．［０４，０．８】．［０．７，１】［０，０．４］０，０．４） 。 但是由于计算量非常大，通过同样的方法将下面矩阵的计算过程省略。Ｐ础，Ｐ。 Ｐ， ，Ｐ， Ｐ， ， Ｐ４２１ｌ，Ｐ４２５ｌ，尸４４１１，Ｐ４４５１，Ｐ４５１１，Ｐ４５５ｌ，Ｐ５２１ｌ，Ｐ５４ｌ１，Ｐ５２５１，Ｐ５５ｌ２，ＪＰ５５５２，Ｐ３２５２，Ｐ５４５２，Ｐ３４５２，Ｐ３５５２，Ｐ５４５１，Ｐ５５５ｌ， ２１２，Ｐ５５１１， Ｐ４２５２，Ｐ４４１２， ５２，Ｐ４５ｌ２，ＪＰ４５５２，ｐ５２１２，Ｐ５２５２，Ｐ５４ｌ２，以上所得的解都是空集。 Ｐ３２１２ Ｐ３￣１２ （０．５ ０．８．［０７，１】 ［０，０．４］ ［０，０．４】） ，Ｐ３４１２＝（０．５ ０．８．［０７。１］．０．４【００．４］） ， ．（０・５ ０．８ ［０７，１】 【０，０．４］０．４） ，而Ｐ３２ｌ２ ３ Ｐ３４ｌ２，Ｐ３２ｌ２］Ｐ３５ｌ２，因此，解集是Ｐ３２Ｉ２。 （２）方法２。 分析：ｙ中第１列非零元素为３、４、５行，第２列非零元素为２、４、５行，第３列非零元素为１、５ 行，第４列非零元素为１、２行，故可得３６个ｗ 矩阵。Ｙ中每行非零元素进行两两相交得空集有第１行 ３、４列，第４行１、２列，第５行１、２、３列，则就有９个Ｗ’ ｌ，１（￡１＝３４，５；ｉ２＝２，４，５）中第１行元 ，素是 ，那么就有９个置 ：】Ｉ】＝ 。同理，有４个 ，，．电＝ （ ｌ＝１，５；ｉ２＝１，２）；有６ Ｘ５５ ＝ （ｉ１＝２，４，５； ２＝１，２）；有１个Ｘ５２＝ ；有４个Ｘ ５５１，５， ：＝ （ｉ１＝３，４；ｉ２＝１，２），总计有２３个 ，， ，８２ 洛阳理工学院学报（自然科学版） 第２７卷 中有一个元素是空集。 因此现在只列出１３个矩阵Ｗ Ｗ＇３２１２ Ｗ ３２５２ （０．５ ０．８（［０１】，．，分别如下： ［０，１］） ， 姗＝（【０８，１］．［Ｏ７，１］．．［０，１】［０．４，１】．ｔＯ．７．１】［０１１ ０．５） ， ．０．８［０７，１］ ［０，１］０．５） ，Ｗ ３４ｌ２＝（０．５ ０．８，［０７．１】０．４．［０．１ １） ， Ｗ ３４５ｌ＝（［０８，１］ ［０，１］ ［０．７，１］０．４ ０．５） ，Ｗ ３４５２＝（［０１］０．８［０７．１１ ０．４ ０．５） ， 【０１］） ， ．Ｗ ３５１２＝（０．５ ０．８［０７，ｌ】 ［０。１】０．４） ，Ｗ ４２ｌ２＝（０．５ ０．８．［０１］０．７．Ｗ ４５ｌ２＝（０．５ ０．８．［０１】０．７ ０．４） ，Ｗ ５２１２＝（０．５ ０．８，【０１】 【０．１】０．７） ， ，．Ｗ ４２５ｌ＝（［０８，１ １ ［０．４，１ １ ［０，１ １ ０．７ ０．５） ，Ｗ ４２５２＝（［０１】０．８［０１】０．７ ０．５） ， ．ｗ ５４１２＝（０．５ ０．８ ［０，１１ ０．４ ０．７） ，又因为ｗ ３２１２ Ｗ ３４１２，ｗ ３２１２ Ｄ ｗ ３５１２，Ｗ ３２５２］Ｗ ３４５２， 与ｙｎ对应元素相交，所得的解分别有：Ｘ３ ５２， ｗＰ４２ ２］ｗ ４５ ２，ｗ ５２１２］Ｗ ５４１２，所以只有８个ｗ ２５１， ３４５１， ２５１， ２５２， ，４２１２， ２１２，为空集，Ｘ３２１２＝（Ｏ．５ ０．８ 【０．７，１］ ［０。０．４ｌ ［０．０．４１），所以模糊 关系方程的解是Ｘ３２ ２＝（Ｏ．５ ０．８［０．７．１】 【０．０．４】 【０。０．４］）。 通过上述两种方法的比较，第２种明显减少了一些无用计算，并通过定理及性质能够更快解得解是空 集，这样既减少了计算的时间，又减少了占用的空间。 ３结语 模糊关系方程的求解是一个重要的计算工具。何鹏和王学平研究矩阵覆盖，在［０，１］格上研究模 糊关系方程极小解的求解问题 。本文分析Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法，利用蕴涵逻辑公式，减少矩阵的维数，简化 矩阵，在Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ方法的求解过程作了一些简化，得到一种新的方法。 参考文献： ［１］谢季坚，刘承平．模糊数学方法及其应用［Ｍ］．３版．武汉：华中科技大学出版社，２００６：１６８—１７４． ［２］胡宝清．模糊理论基础［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２００４，１０：２２３—２６３． ［３］宋晓秋．模糊数学原理与方法［Ｍ］．３版．北京：中国矿业大学出版社，２００４：１３７—１４９． ［４］Ｓａｎｃｈｅｚ Ｅ．Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９７６（３０）：３８—４８． ［５］Ｂｏｕｒｋｅ Ｍ Ｍ，Ｆｉｓｈｅｒ Ｄ Ｇ．Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｍｏ，ｘ—ｐｒｏｄｕｃｔ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ Ｓｙｓｔ，１９９８ （９４）：６１—６９． ［６］姜静，李长青．区间值ｍａｘ． 模糊关系方程的完全解［Ｊ］。模糊系统与数学，２０１３（２７）：１２１—１２６． ［７］Ｗｕ Ｙ Ｋ，Ｇｕｕ Ｓ Ｍ．Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍａｘ—ｓｔｒｉｃｔ—ｔ—ｎｏｒｍ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ［Ｊ』．Ｆｕｚｚｙ Ｏｐｔｉｍ Ｄｅｃｉｓ Ｍａｋ，２００４（３）：２７１—２７８． ［８］Ｗｕ Ｙ Ｋ，Ｇｕｕ ｓ Ｍ．Ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ ａ ｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ａ ｆｕｚｚｙ ｍａｘ—ａｉｒｎ ｒｅｌａｔｉｏｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ［Ｊ］，Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ Ｓｙｓｔ，２００５， １５０：１４７—１６２． ［９］Ｙａｎｇ Ｊ Ｈ，Ｃａｏ Ｂ Ｙ．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｗｉｔｈ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ［Ｃ］／／ｉｎ：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００５：５５７—５６０． 『１ ０］Ｌｉｕ Ｃ Ｃ，Ｌｕｒ Ｙ Ｙ，Ｗｕ Ｙ Ｋ．Ｓｏｍｅ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｂｉｐｏｌａｒ ｍａｘ—ｍｉｎ Ｆｕｚｚｙ Ｒｅｌａｔｉｏｎａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］＿Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１５，２２１６（１）：３９４—３９４． ｆ１１］谷敏强．一类模糊关系方程的求解问题［Ｊ］．汕头大学学报（自然科学版），２００９，２４（１）：１３—２１． ［１２］李龙，姚明臣，胡伯霞．求解模糊关系方程的一种数值方法［Ｊ］．黑龙江大学自然科学学报，２０１４（５）：６０２—６０６－ 『１ ３］Ｍｅｄｉｎａ Ｊ，Ｔｕｒｎｎｅｎ Ｅ．Ｕｓｉｎｇ ｃｏｖｅｒｓ ｔｏ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｌｉｎｅａｒ ｃａｒｒｉｅｒｓ［Ｃ］／／７ ｔｈ Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１５：７５—８１． ［１４］Ｑｕ ｘ Ｂ，Ｓｕｎ Ｆ．Ｍａｔｉｒｘ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｓｏｆｔ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１５ （３１）：２５—２９． ［１５］Ｚｈｏｕ Ｘ Ｇ，Ｙａｎｇ Ｘ Ｐ．Ｐｏｓｙｎｏｍｉａｌ ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ｍａｘ—ｍｉｎ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｌ Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１６（３２８）：１５—２５． 『１６］何鹏，王学平．覆盖矩阵和合成模糊关系方程的极小解［Ｊ］．模糊系统与数学，２０１５，２９（２）：１０９—１１７． （下转第９３页） 第２期 杨琼等：～类理想化主动磁轴承不对中转子系统的动力学分析 ９３ ４个磁极 ６个磁极 ８个磁极 （ｂ） 图４偏角一时间变化的响应图 参考文献： ［１］Ｚｈａｎｇ Ｗ，Ｙａｏ Ｍ Ｈ，Ｚｈａｎ Ｘ Ｐ．Ｍｕｌｔｉ－ｐｕｌｓｅ ｃｈａｏｔｉｃ ｍｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｒｏｔｏｒ—ａｃｔｉｖｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｂｅａｒｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｓｔｉｆｎｅｓｓ ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ Ｓｏｌｉｔｏｎｓ Ｆｒａｃｔｌａｓ，２００６，２７：１７５—８６． ［２］Ｅｉｓｓａ Ｍ Ｈ，Ｈｅｇａｚｙ Ｕ Ｈ，Ａｍｅｒ Ｙ Ａ．Ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａｎ ＡＭＢ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｒｏｔｏｒ ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｍｏｄｅｌ，２００８，３２：１３７０～８０． ［３］Ｂｏｕａｚｉｚ Ｓ，Ａｔｔｉａ Ｈ Ｍ，Ｍａａｔａｒ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｕｒ ｏｆ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｊｏｕｒｎａｌ ｂｅａｒｉｎｇｓ ｉｎ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｒｏｔｏｒ ｓｐａｔｉａｌ ａｎｇｕｌａｒ ｍｉｓｌａｉｇｎｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｍｅｃｈ Ｍａｃｈ Ｔｈｅｏｒｙ，２００９，４４：１５４８—５９． ［４］Ｂｏｕａｚｉｚ Ｓ，Ａｔｉｒａ Ｈ Ｍ，Ｍａａｔａｒ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ａｎｇｕｌａｒ ｍｉｓａｌｉｇｎｍｅｎｔ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｊｏｕｒｎａｌ ｂｅａｒｉｎｇｓ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｂｅｈａｖｉｏｕｒ［Ｊ］．Ｉｎｔ Ｊ Ｅｎｇ Ｓｉｍｕｌ，２００７，８（１）：３—１０． ［５］Ｓｌｉｍ Ｂ，Ｎａｊｉｂ Ｂ Ｍ，Ｍｏｈａｍｅｄ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ａ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａ ｍｉｓｌｉａｇｎｅｄ ｒｏｔｏｒ ｗｉｔｈ ａｃｔｉｖｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｂｅａｒｉｎｇ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，２０１１，２１：８９９—９０７． ［６］黄文虎，武新华，焦映厚，等．非线性转子动力学研究综述［Ｊ］．振动工程学报，２０００，１３（４）：４９７—５０９． ［７］李明．平行不对中转子系统的非线性动力学行为［Ｊ］．机械强度，２００５，２７（５）：５８０—５８５． Ｉｄｅａｌｉｚｅｄ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｂｅｈａｖｉｏｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｍｉｓａｌｉｇｎｅｄ Ｒｏｔｏｒ ｗｉｔｈ Ａｃｔｉｖｅ Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｂｅａｒｉｎｇｓ ＹＡＮＧ Ｑｉｏｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｍｅｎｇｊｉａ （Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，ａ ｔｗｏ－ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｄｅａｌ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａ ｍｉｓａｌｉｇｎｅｄ ｒｏｔｏｒ ｗｉｔｈ ａｃｔｉｖｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｂｅａｒｉｎｇｓ ｗａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｏｒｃｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｔｏｒ，ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｕｒｒｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｔｏｒ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｍｅａｎ・ ｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｍｏｄｅｌｅｄ ｗｉｔｈ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｒｅｃｔ ｃｒｏｓｓ ａｘｅｓ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ，ｄａｍｐｉｎｇ ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｓｆ ａｎｄ ｔｈｅ ａｉｒ ｇａｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｏｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｈａｆｔ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｍｉｓａｌｉｇｎｅｄ ｒｏｔｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ＭＡＴＬＡＢ ｔｏ ｔｅｓｔ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｍｉｓａｌｉｇｎｅｄ ｒｏｔｏｒ ｗｉｔｈ ａｃｔｉｖｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｂｅａｒｉｎｇｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｇｎｅｔｉｃ；ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｏｒｃｅｓ；ｍｉｓａｌｉｇｎｍｅｎｔ ｄｅｆｅｃｔ；ｄｙｎａｍｉｃ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ （上接第８２页） Ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｍａｘ—ｒａｉｎ Ｆｕｚｚｙ Ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＷＵ Ｘｉａｏｍｉ．ＳＯＮＧ Ｚｈｅｎｇｍｉｎｇ （Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００３１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｖｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆｒ ｔｈｅ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｃｏｌｕｍｎ ｏｆ Ｙ ｍａｔｉｒｘ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｒ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ Ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｖｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｃｏｌｕｍｎ ｏｆ Ｗ ｍａｔｒｉｘ ａｓ ｗｅｌｌ，ｍ ｎ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｉｎｔｏ ｎ １ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｎ Ｗ ｍａｔｒｉｘ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｕｓｅｌｅｓｓ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｖｏｉｄ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ，ｏｒ ｄｕｐｌｉｃａｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｕｓ，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｘ—ｍｉｎ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｉｍｐｌｉｉｆｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｍａｘ—ｍｉｎ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｔｓｕｋａｍｏｔｏ ｍｅｔｈｏｄ
