维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第２期 周口师范学院学报 ２００８年３月 Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．２ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｏｕｋｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｍａｒ．２００８ 一维趋化模型方程的精确解 刘法贵，闫春风 （华北水利水电学院数学系，河南郑州４５００１１） 摘 要：研究了一类简化的Ｋｅｌｌｅｒ—Ｓｅｇｅｌ趋化模型，对于双曲趋化模型的Ｃａｕｃｈｙ问题，给出了经典解整体存 在的充分必要条件．对于抛物模型，利用试探函数的方法给出了它们的精确解． 关键词：趋化现象；经典解；精确解；试探函数 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码： Ａ 文章编号：１６７１—９４７６（２００７）０２—００２６—０３ 趋化现象是指生物或生物组织由于环境中某 种化学物质浓度变化作出的迁徙反映，这是生物学 —ｅ户一＋ｎ（户 ） ， 中一种普遍的现象． Ｗｔ— 户叫一锄． 本文考虑的趋化现象用以描述微生物对聚集 其中ａ，ｂ， （≠０），ｅ（ ０）是常数．令 素及其梯度的反映．这种现象在实验中已得到充分 一Ｉｎ Ｗ，ｑ一譬， （３） 的研究，如对阿米巴（Ａｍｏｅｂａｅ）的实验观察ｌｉ 以及 对白血球（Ｌｅｕｃｏｙｔｅｓ）的研究瞳］．对趋化现象的数 则 一 ，Ｗ ：一ＷＷ ‘ｔ一 一６， ｑ‘ ｌ：譬：Ｐ ． 学研究见文献Ｅ３—４］，其后，针对不同的模型，许多 由此，方程组（２）可化为如下形式 作者给予了研究，并得到了许多好的结果ｌ５ ］．但 Ｐ—ａｌ‘Ｐｑ ＋￡户一’ 对于其精确解的研究尚未见到有关文献． （４） ｌ 一Ｐ ． 本文考虑Ｋｅｌｌｅｒ和Ｓｅｇｅｌ建立的抛物趋化模 其中ａｌ—ｈａ． 型［４］．首先考虑双曲趋化模型的Ｃａｕｃｈｙ问题，利用 Ｓｍｏｌｌｅｒ定理得到了整体经典解存在的充分必要条 ２ ￡一０的情形 件．其次，考虑抛物趋化模型，利用试探函数的方法 此时方程组（４）可改写为 给出了它的精确解． （ ）＋Ａ（ ）－ｏ，Ａ：（ 一 １ 预备知识 （５） Ｋｅｌｌｅｒ和Ｓｅｇｅｌ建立了如下趋化模型以刻画物 考虑（５）的具下列初始数据 种的趋化行为 ｔ一０：Ｐ：Ｐ０（ｚ），ｑ—ｇ。（ｚ） （６） ： （Ａ（“，ｓ） “一Ｘ（ｕ，ｓ）ｕ ｓ）＇ … 的Ｃａｕｃｈｙ问题，其中Ｐ。（ｚ），ｑ。（ｚ）∈Ｃ （Ｒ）且具 Ｉ 一Ｄ△５＋ｆ（ｕ，５）． 有有界的Ｃ 模，（口ｌ ｑ。（ｚ））。＋４ａｌＰ０（ｚ）＞０，即初 其中第一个方程刻画物种的密度ｕ（ｘ，￡）的变化， 始时刻方程组（５）是严格双曲型的． 第二个方程刻画聚集素的扩散、产生、衰减或消失． 容易计算，当（口 ｑ）。＋４ａ Ｐ＞０时，方程组（５） 如果感应系数 （“，ｓ）为正，则物种沿聚集素增加 是严格双曲型方程组，且其特征值为 的方向移动．ＭｕｒｒａｙＣ。 对模型（１）进行了简化，得 Ａ、一一一口１—————————— ————————一ｑ一￣／（口１ｑ）。＋４ａ１Ｐ／ ‘＼ 到如下方程组 －ａｌｑ ｑ－／ （ａ）ｚ＋－４ａｌｐ一￣—ｌｑ————＿——一， （７） 收稿日期：２００７—０４—１５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（Ｎｏ．１ ９０７１０２４） 作者简介：刘法贵（１９６５一），男，河南南阳人，教授，博士，主要从事偏微分方程研究 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第２期 刘法贵，等：一维趋化模型方程的精确解 ２７ 对应的左右特征向量分别为： 一（１， ），ｚ 一（１， 一 ）；ｒａ一（一 ，１） ， 一（一 ，１）Ｔ．经计算， ａ１ ６一一 ［１－ｔａｎｈ（一 （ ）一ｃ（１＋ｅ—Ｄ２ 。＋ａｂ ） ）］． ｅ ， （２０） 将式（１９）代入式（１４），即得 一 ａｌ— 口≠０， 丽。 （８） 因此，当 时，方程组（５）是真正非线性严格双曲型方程组．这 样，根据文献［９－Ｉ，如果设Ｗ， 是方程组（５）的Ｒｉｅ— 一 其中Ｃ为任意常数． 定理２方程组（２）具有如下精确解 （口ｌｑ）。＋４ａｌ Ｐ＞０ 户（ｚ，￡）一百Ｄｚ＋ａｂ× ｍａｎｎ不变量，则 』 ＋ —Ｏ’ （９） ｌＷ ＋ｆｆｗ 一０． 其中砌， 满足： ＾一０， 一０， ｗＡ一 Ｗ， ｚＡ— ． 注Ｉ经计算，Ｗ， 满足 Ｗ一（一 ，ａｌ户）， ｚ一（一 ，ａｌ户）． 设 ｔ一０：Ｗ—Ｗｏ（ｚ）， —ｚｏ（ｚ）． （１０） 由此，根据文献［１０］，即得如下定理． 定理１在假设式（８）之下，Ｃａｕｃｈｙ问题（９）一 （１０）在上半平面ｔ ０上存在整体经典解的充分必 要条件是 ２ａｚ ｏ（ｚ） ０，Ａａｗ ｏ（ｚ）三三三０， ∈Ｒ．（１１） ３ ￡＞０的情形 令 ｐ（ｘ，￡）一户（ ），ｗ（ｘ，￡）一 （ ）， —ｚ—ｃｔ＋ ， （１２） 其中Ｃ为行波速度， 为任意常数．由式（２）即得封 ｅＤｐ （ ）＋（Ｄ ＋ａｂ）ｐ （ ）一 ２Ａａｐ（ ）户 （ ）一０， （１３） 一Ｄｗ （ ）＝Ａｐ（ ） （ ）一知（ ）． （１４） 假设式（１３）具有如下形式的解 ）一 ， ） 其中Ｍ，ｉｒｎ为待定系数．由式（１５），即得 一 ． （１６） 将式（１５）、（１６）代入式（１３），并利用函数的线性无 关性，得到关于Ｍ，ｍ的代数方程组 ｅｒｎＤ＋Ｄ ＋ａｂ一０， Ｄ ＋ａｂ—ｅｒｎＤ一２ＲａＭ一０． （１７） 由此得 Ｍ一 Ｄｚ＋ａｂＤｚ＋ａｂ，ｍ一～ ． （１８） ＾口 ｅＬ， 从而有 ［ 一ｔａｎｈ（一 ｃｚ一叫］， －． ｗ（ｘ ，￡）一，￡）一Ｃ １＋ｅ－ （１（＋— ‘（一ｎ ）｝ｅ台（一…）ｉ ｅ ‘一 一…．． （２２） 注２如果假设（１３）具有如下形式的解 一 ， 其中Ｍ，Ｋ，ｍ是待定系数，同理得到 一 ． 由此可以看到，当Ｋ＜０时，方程组（２）关于ｐ（ｘ， ￡）具有爆破解． 假设（１３）具有如下形式的解 户（ ）＝Ｂ＋ｔａｎ（Ａ车）， （２３） 其中Ａ，Ｂ为待定系数． 同理可得 一 ＋ｔａｎ（ ）， （ ）一 Ｄ２－－ａｂ ｃ。ｓ （ ）． （２５） 定理３方程组（２）具有如下精确解 一 ＺＡ ａ＋ｔａｎ（、 （ｅｌ一， ｚ一 ））， ， （ ）一 Ⅲｃ。ｓ寺（ （ｚ一 ））． 参考文献： ［１］ＯＨＭＥＲ Ｈ Ｇ，ＳＣＨＡＡＰ Ｐ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ ＣＡＭＰ Ｓｉｇ— ｎａｌｉｏｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ Ｄｉｃｔｙｏｓｔｅｌｉｕｍ ｄｉｓｃｏｉｄｅｕｍ ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｅｎｔｓ ｏｎ Ｔｈｅｏｒ．Ｂｉｏ．，１９８５（５）：１７５—２８２． ［２］ＧＡＬＬＩＮ，ＱＵＩＥ Ｐ Ｇ．Ｌｅｕｋｏｃｙｔｅ ｃｈｅｍｏｔａｘｉｓ：ｍｅｔｈ— ｏｄｓ，ｐｈｙｓｉｏｌｏｇｙ，ａｎｄ ｃｌｉｎｉｃａｌ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｒａｖｅｎ Ｐｒｅｓｓ，１９７８：４７—５１． ［３］ＰＡＴＬＡＫ Ｃ Ｓ．Ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋ ｗｉｔｈ ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｅｘ－ ｔｅｒｎａｌ ｂｉａｓ［Ｊ］．Ｂｕｌ１．Ｍａｔｈ．Ｂｉｏｐｈｙｓ，１９５３，１５：３１１— ３３８． ｒ４］ＫＥＩ ＬＥＲ Ｅ Ｆ，ＳＥＧＥＩ Ｌ Ａ．Ｉｎｉｔｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｌｉｍｅ ｍｏｌｄ ａｇｇｒｅｇａｔｉｏｎ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａｎ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｊ．Ｔｈｅｏｒ．Ｂｉ— ｏｌｏｇｙ，１９７０，２６：３９９—４１５． ［５］ＨＩＩ Ｉ ＥＮ Ｔ，ＬＥＶＩＮＥ Ｈ Ａ．Ｂｌｏｗ—ｕｐ ａｎｄ ｐａｔｔｅｒｎ ｆｏｒ一 维普资讯 http://www.cqvip.com ２８ 周口师范学院学报 （１）：５３—５８． ２００７年３月 ｍａｒｉｏｎ ｉｎ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ ｃｈｅｍｏｔａｘｉｓ ｉｎ １－ＤＥＪ］． Ｚ．ａｎｇｅｗ Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ．，２００３，５４：８３９—８６８． ［８］ＭＵＲＲＹ Ｊ Ｄ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｂｉｏｇｙ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９８９：２７２—２９３． Ｅ６］ＬＥＶＩＮＥ Ｈ Ａ，ＳＩ ＥＥＭＡＮ Ｂ Ｄ．Ａ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｒｉｓｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ［９］ＳＭＯＩ Ｉ ＥＲ Ｊ．Ｓｈｏｃｋ Ｗａｖｅｓ ａｎｄ Ｒｅａｃｔｉｏｎ—Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ Ｅ— ｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］，ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１ ９９４． ［１０］Ｉ Ｉ Ｔ．Ｇｌｏｂａｌ Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ Ｈｙ－ ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．，１９９７，５７： ６８３—７３０． ［７］罗光洲，郭金海，陈化．一维Ｃｈｅｍｏｔａｘｉｓ模型双曲组解 的存在性及抛物组的行波解［Ｊ］．数学杂志，２００５，２５ ｐｅｒｂｏｌｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅ－ ｍａｔｉｃｓ，ＭＡＳＳＯＮ／Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ，１９９４． Ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｈｅｍｏｔａｘｉｓ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｌ—Ｄ Ｉ ＩＵ Ｆａ—ｇｕｉ。ＹＡＮ Ｃｈｕｎ—ｆｅｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ ａｎｄ ＨｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００１ １，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｃｏｎｃｅｒｎｓ ｗｉｔｈ Ｋｅｌｌｅｒ—Ｓｅｇｅｌ Ｃｈｅｍｏｔａｘｉｓ ｍｏｄｅｌ ｉｎ １－Ｄ，ｆｏｒ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｍｏｄｅｌ，ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｇｕａｒａｎｔｅｅｉｎｇ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ，ａｎｄ ｆｏｒ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｍｏｄｅｌ，ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｓｏｍｅ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｏｆ ｔｒｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｈｅｍｏｔａｘｉｓ；ｅｘｐｌｉｃｉｔ ａｎｄ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｔｒｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ （责任编辑：段广森） （上接第２０页） 参考文献： ［１］孙明宗．线性矩阵方程（组）的理论［Ｊ］．益阳师专学报， １９９３（５）：２５—３０． ［４］孙明宗．２ 元域上的方程∑（一１） 口 一ｌ—ｏ［Ｊ］．山 东科技大学学报，２００１（１）：１０—１２． ［５］孙明宗．２ 元域上的二次方程根的公式［Ｊ］．数学的实 践与认识，２００１，３１（６）：７３１—７３３． Ｉ ［２］孙明宗． （七≥３）元域上的二次方程根的状况［Ｊ］．数 学的实践与认识，１９８３（４）：２９—３１． ［６］孙明宗．Ｐ 元域上的二次方程∑口 一 一０与 ∑（一口） ｚ一 一０［Ｊ］．商丘师范学院学报，２００５（２）： ５７—５９． ［３］孙明宗． 元域上的二项方程和三项方程根的状况 ［Ｊ］．内蒙古师范大学学报，１９９１（３）：２Ｏ一２４． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｅｑｕｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ａ ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｐ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ＳＵＮ Ｚｏｎｇ—ｍｉｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔａｉｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｉａｎ Ｓｈａｎｄｏｎｇ ２７１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔ￣ｃｔ：Ｌｅｔ Ｆ ｂｅ ａ ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｐ ｅｌｅｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ｔｈｅ Ｆ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｆ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｐ ｅｌｅｍｅｎｔｓ；ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （责任编辑：段广森）
