基本不等式教案

3.4 基本不等式：

第一课时

一、教学目标：

1、知识与技能：①探索并掌握基本不等式的形式，了解基本不都是的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最（大）小值的问题。

2、过程与方法：通过所给出的实例抽象出基本不等式的形式，让学生体会从特殊到一般的思想方法。

3、情感、态度和价值观：通过实例探索，让学生体会数学源于生活，又服务于生活的思想，体会出数学的应用价值，同时提高学生对数学的兴趣。

二、教学重难点：

1、重点：①应用数形结合的思想理解基本不等式； ②从多方面对基本不等式进行证明。 2、难点：①通过实例抽象出基本不等式的过程；

②利用基本不等式求解实际问题中的最大值与最小值。

三、教学方法：讲授法与启发式教学法相结合。

四、教具：PPT与黑板

五、教学过程：

abab 2（一）问题引入： 如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，徽标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

ABFGEH

DC

(二)问题探索： 问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=ab，

问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=2ab

22问3：S与S’有什么样的关系？

从图形中易得，s > s’,即 ab2ab

在这个过程中，让学生进行探索，根据图像中的信息抽象出不等式 ab2ab. 再通过动画，让学生探讨并体会当a=b时，不等式左右两端相等。

2222（三）得出结论： 2ab时，等号成立。 （1）1、重要不等式：一般地，a b22ab，当且仅当

问：那么， 若a0,b0,那么我们用a,b,代替a,b,得到什么结论呢？2、基本不等式：若a0,b0 ，那么就有 ab2ab即 abab，等且仅当 ab时，等号成立。 2（2）让学生自行探索其证明过程，根据教师的语言提示，寻找多种方法证明： 作差法： 证明：

a2abb(ab)20ab2ab

分析法：（课件已给出）具体以填空的方式进行。 对该基本不等式进行阐述： 说明：

①适用范围：a>0,b>0;

②阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数; ③当且仅当 a=b 时，等号成立。

（3）进行归纳总结： 2ab时，等号成立。 1、重要不等式：一般地，a b22ab，当且仅当

2、基本不等式：若a0,b0 ，那么就有 ab2ab即 abab，等且仅当 ab时，等号成立。 2（四）例题讲解： 例1：

（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

DCyAxB

• 分析：

2xy）• （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：知 xy,求（min

• （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大： 知（2xy）,求xymax 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100,篱笆的长为2（x+y）m. 由 可得

x+y2100,

2(x+y) 40.

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m；

（2）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2（x+y）=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为

2

xy m.

. 由

xy  xy, 2xyxy18==9， 22可得

xy81,

当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立。

2

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m。

（练习1）

1x 的值最小？最小值是多少? 1. x0，当 x取什么值，

x2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两直角边的和最小，最小值是多少？ 例2：

f(x)3x的最小值。 已知 x0，求 x 解：

x0

f(x)123x2123x12;xx

当且仅当123x,即x2时取等号；x

12. f(x)最小值为4已知x3,求f(x)x的最大值。（练习2）

12（五）课堂小结： 1.基本不等式的形式。

2.基本不等式应注意的条件。

x33.基本不等式的应用。

（六）作业： A组 1、4；B组 2 (选作)

（七）板书设计：

六、课后反思